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        利用展開法求非線性方程的精確解*

        2014-09-06 01:23:25董長(zhǎng)紫
        關(guān)鍵詞:慶陽(yáng)隴東行波

        董長(zhǎng)紫

        (隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 慶陽(yáng) 745000)

        董長(zhǎng)紫

        (隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 慶陽(yáng) 745000)

        1 方法簡(jiǎn)述

        對(duì)于偏微分方程

        P(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0,

        (1)

        假設(shè)有如下形式的解:

        u(x,t)=φ(ξ),ξ=k(x-λt+c0),

        (2)

        其中k,λ均是要被確定的參數(shù),c0為任意的常數(shù).(2)式代入(1)式,則只需處理常微分方程

        (3)

        第1步 假設(shè)φ(ξ)有以下的形式:

        (4)

        G=G(ξ)滿足二次微分方程

        G″(ξ)+h0G′(ξ)+h1G(ξ)=0,

        (5)

        其中m0,mi,…,h0,h1均為待定常數(shù),指數(shù)m的值則可以通過(guò)平衡方程(3)中的最高次非線性項(xiàng)和最高次的偏微分項(xiàng)的次數(shù)而確定.

        第4步 解在第3步中得到的代數(shù)系統(tǒng),可得所設(shè)參數(shù)m0,…,mi,h0,h1的值,根據(jù)方程(4),(5)的解得到φ(ξ)的結(jié)果,即方程(1)的行波解.

        2 主要結(jié)果

        2.1Burgers ̄Fisher方程的精確解

        在研究流體物理、等離子體物理、化學(xué)物理中的一些非線性現(xiàn)象時(shí),經(jīng)常會(huì)利用一般形式的Burgers ̄Fisher方程

        ut+aunux+buxx+cu(1-un)=0,

        (6)

        其中a,b,c均為常數(shù).

        首先,對(duì)給定的Burgers ̄Fisher方程(6)做變換

        u(x,t)=φ(ξ),ξ=k(x-λt+c0).

        (7)

        將(7)式代入(6)式可得

        -kλφ′(ξ)+akφ″(ξ)φ′(ξ)+bk2φ″(ξ)+cφ(ξ)(1-φn(ξ))=0.

        (8)

        -kλv′v+ankv2v′+nbk2v″v+bk2(1-n)(v′)2+cn2v2-cn2v3=0.

        (9)

        平衡(9)式中v2v′與vv″的次數(shù)可得M=1.

        (10)

        并將其結(jié)果代入(10)式,則根據(jù)(5)式的解可得方程(6)以下形式的行波解:

        (11)

        文獻(xiàn)[14]中利用Riccati-方程的特殊結(jié)果得到(6)式的一些精確解,相比文獻(xiàn)[14]中的結(jié)果,文中出現(xiàn)的解更具一般性,且含正余弦形式的行波解(11)是新的結(jié)果.

        2.2Konopelchenko ̄Durovsky方程的精確解

        首先,對(duì)給定的Konopelchenko ̄Durovsky方程

        (12)

        作變換

        (13)

        其中:ξ=k(x+ly-λt+c0);k,λ,l為所要計(jì)算的常數(shù);c0為任意常數(shù).

        將(13)式代入(12)式可得

        (14)

        將(14)式中的第2式代入第1式,且關(guān)于ξ積分1次,取積分常數(shù)為0可得

        (15)

        (16)

        并將其結(jié)果代入(16)式,則根據(jù)(5)式的解可得原方程組(12)式以下形式的精確解:

        其中

        (17)

        其中

        3 結(jié)語(yǔ)

        [1] DEBTNATH L.Nonlinear Partial Differential Equations for Scientist and Engineers[M].Boston,MA:Birkhauser,1997.

        [2] WAZWAZ A M.Partial Differential Equations:Methods and Applications[M].Rotterdam:Balkema Publishers,2002.

        [3] WANG Mingliang.The Solitary Wave Solutions for Variant Boussinesq Equations[J].Phys. Lett. A,1995,199:167-172.

        [4] WANG Mingliang.Exact Solutions for a Compound KdV ̄Burgers Equation[J].Phys. Lett. A,1996,213:279-287.

        [5] 范恩貴,張鴻慶.非線性波動(dòng)方程的孤波解[J].物理學(xué)報(bào),1997,46:1 254-1 257.

        [6] FAN Engui.Extended Tanh ̄Function Method and Its Application tonon Linear Equation[J].Phys. Lett. A,2000,277:212-218.

        [7] FAN Engui.Soliton Solutions for a Generalized Hirota Satsuma Coupled KdV Equation and a Coupled MKdV Equation[J].Phys. Lett. A,2001,282:18-22.

        [8] 徐桂瓊,李志斌.構(gòu)造非線性發(fā)展方程孤波解的混合指數(shù)方法[J].物理學(xué)報(bào),2002,51:946-950.

        [9] 徐桂瓊,李志斌.擴(kuò)展的混合指數(shù)方法及其應(yīng)用[J].物理學(xué)報(bào),2002,51:1 424-1 427.

        [10] 郭美玉,高 潔.耦合KdV 方程組的對(duì)稱及精確解[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,21:28-31.

        [11] ZHAO Dun,LUO Honggang,WANG Shunjin.A Direct Truncation Method for Finding Abundant Exact Solutions and Application to the One ̄Dimensional Higher ̄Order Schrodinger Equation[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005(24):533-547.

        [14] SONG Li’na,ZHANG Hongqing.New Exact Solutions for the Konopelchenko ̄Dubrovsky Equation Using an Extended Riccati Equation Rational Expansion Method and Symbolic Computation[J].Applied Mathematics and Computation,2007,187:1 373-1 388.

        [15] LUWAI WAZZAN.A Modified Tanh ̄Coth Method for Solving the General Burgers ̄Fisher and the Kuramoto ̄Sivashinsky Equations[J].Commun Nonlinear Sci. Numer. Simulat.,2009,14:2 642-2 652.

        (責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

        DONG Changzi

        (Department of Mathematics and Statistics,Longdong University,Qingyang 745000,Gansu China )

        1007-2985(2014)03-0015-05

        2013-11-26

        隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項(xiàng)目(XYZK1109)

        董長(zhǎng)紫(1977-),男,甘肅慶陽(yáng)人,隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師,碩士,主要從事數(shù)學(xué)物理方程研究.

        O175.2

        A

        10.3969/j.issn.1007-2985.2014.03.004

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