董長(zhǎng)紫

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000)

董長(zhǎng)紫

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000)

1 方法簡(jiǎn)述

對(duì)于偏微分方程

P(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0，

(1)

假設(shè)有如下形式的解：

u(x,t)=φ(ξ),ξ=k(x-λt+c0)，

(2)

其中k,λ均是要被確定的參數(shù)，c0為任意的常數(shù).(2)式代入(1)式，則只需處理常微分方程

(3)

第1步 假設(shè)φ(ξ)有以下的形式:

(4)

G=G(ξ)滿足二次微分方程

G″(ξ)+h0G′(ξ)+h1G(ξ)=0，

(5)

其中m0，mi,…，h0,h1均為待定常數(shù)，指數(shù)m的值則可以通過(guò)平衡方程(3)中的最高次非線性項(xiàng)和最高次的偏微分項(xiàng)的次數(shù)而確定.

第4步 解在第3步中得到的代數(shù)系統(tǒng)，可得所設(shè)參數(shù)m0,…，mi,h0,h1的值，根據(jù)方程(4)，(5)的解得到φ(ξ)的結(jié)果，即方程(1)的行波解.

2 主要結(jié)果

2.1Burgers￣Fisher方程的精確解

在研究流體物理、等離子體物理、化學(xué)物理中的一些非線性現(xiàn)象時(shí)，經(jīng)常會(huì)利用一般形式的Burgers￣Fisher方程

ut+aunux+buxx+cu(1-un)=0，

(6)

其中a,b,c均為常數(shù).

首先，對(duì)給定的Burgers￣Fisher方程(6)做變換

u(x,t)=φ(ξ),ξ=k(x-λt+c0).

(7)

將(7)式代入(6)式可得

-kλφ′(ξ)+akφ″(ξ)φ′(ξ)+bk2φ″(ξ)+cφ(ξ)(1-φn(ξ))=0.

(8)

-kλv′v+ankv2v′+nbk2v″v+bk2(1-n)(v′)2+cn2v2-cn2v3=0.

(9)

平衡(9)式中v2v′與vv″的次數(shù)可得M=1.

(10)

并將其結(jié)果代入(10)式，則根據(jù)(5)式的解可得方程(6)以下形式的行波解：

(11)

文獻(xiàn)[14]中利用Riccati-方程的特殊結(jié)果得到(6)式的一些精確解，相比文獻(xiàn)[14]中的結(jié)果，文中出現(xiàn)的解更具一般性，且含正余弦形式的行波解(11)是新的結(jié)果.

2.2Konopelchenko￣Durovsky方程的精確解

首先，對(duì)給定的Konopelchenko￣Durovsky方程

(12)

作變換

(13)

其中：ξ=k(x+ly-λt+c0)；k,λ,l為所要計(jì)算的常數(shù)；c0為任意常數(shù).

將(13)式代入(12)式可得

(14)

將(14)式中的第2式代入第1式，且關(guān)于ξ積分1次，取積分常數(shù)為0可得

(15)

(16)

并將其結(jié)果代入(16)式，則根據(jù)(5)式的解可得原方程組(12)式以下形式的精確解：

其中

(17)

其中

3 結(jié)語(yǔ)

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(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

DONG Changzi

(Department of Mathematics and Statistics,Longdong University,Qingyang 745000,Gansu China )

1007-2985(2014)03-0015-05

2013-11-26

隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項(xiàng)目(XYZK1109)

董長(zhǎng)紫(1977-),男，甘肅慶陽(yáng)人，隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)物理方程研究.

O175.2

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.03.004