陳英明，譚明濤，章志敏

(1.淮北師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川 成都 610054；3.吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

Einstein場方程的Schwarzschild求解
——廣義相對論經(jīng)典算例*1

陳英明1,2，譚明濤3，章志敏1,2

(1.淮北師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川 成都 610054；3.吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

Einstein場方程是一個難解的非線性二階微分方程組，其解析求解廣泛應(yīng)用于廣義相對論.求解了Einstein場方程的中心對稱靜態(tài)解，即Schwarzschild解，該解對于廣義相對論的研究具有一定的指導(dǎo)作用.

廣義相對論；Einstein場方程；Schwarzschild解；黑洞

廣義相對論是相對論性的引力理論[1]，強(qiáng)等效原理[1-2](對于一切自然規(guī)律，局域范圍內(nèi)無法區(qū)分引力與慣性力)則是廣義相對論的基本假設(shè)之一.另一個基本假設(shè)是廣義協(xié)變原理[2-3]，即所有的參考系都是平權(quán)的，在任意的坐標(biāo)變換下，一切的物理規(guī)律都是協(xié)變的.因此，在廣義相對論中，坐標(biāo)系統(tǒng)的選取可以是任意的，習(xí)慣上稱dx0為坐標(biāo)時間，dxα(α=1,2,3)為坐標(biāo)距離.

Einstein在20世紀(jì)初建立起來的廣義相對論使得人們對于引力和時空有了全新的認(rèn)識，引力理論及其在相關(guān)領(lǐng)域的研究獲得了空前的發(fā)展，不斷地涌現(xiàn)新的觀念.當(dāng)人們在研究質(zhì)量超過中子星臨界質(zhì)量的恒星時，發(fā)現(xiàn)簡并的中子氣體產(chǎn)生的簡并壓力無法抵抗非常強(qiáng)大的引力作用，從而使得恒星不斷收縮，于是出現(xiàn)了由廣義相對論所預(yù)言的一類由大質(zhì)量恒星演化而來的特殊天體，即黑洞[2-3].筆者引入黑洞這一重要的概念，研究了在廣義相對論中如何通過解析求解Einstein場方程的中心對稱靜態(tài)解.

1 理論推導(dǎo)

場的中心對稱性要求度規(guī)或間隔ds在所有與中心等距離點(diǎn)處必須是一樣的.當(dāng)引力場存在時，時空是非Euclid的，因此這個距離不是坐標(biāo)r.當(dāng)作坐標(biāo)變換φ→-φ或?→-?時ds不變；再考慮到靜態(tài)引力場，t→-t時也有ds不變.于是中心對稱靜態(tài)度規(guī)的形式為[1-3]

ds2=A(r)c2dt2-B(r)(d?2+sin2?dφ2)-C(r)dr2，

ds2=A′(r′)c2dt′2-B′(r′)dr′2-r′2(d?′2+sin2?′dφ′2).

(1)

略去(1)式中坐標(biāo)的撇號(即重新標(biāo)記坐標(biāo))，并令A(yù)′(r)=e2ν,B′(r)=e2λ,其中ν和λ都是r的函數(shù)，進(jìn)而得到間隔為

ds2=e2νc2dt2-e2λdr2-r2(d?2+sin2?dφ2).

則協(xié)變度規(guī)gik的矩陣為

(2)

相應(yīng)的逆變度規(guī)張量為

(3)

其中：x0=ct；x1=r；x2=?；x3=φ.由(2)，(3)式可知完整的克里斯多菲符號為

因?yàn)楫?dāng)i≠k時，總有g(shù)ik=gik=0，所以

容易驗(yàn)算，克里斯多菲符號的64個分量中只有13個分量不為零，其余的51個則均為0，即

(4)

利用克里斯多菲符號還可以進(jìn)一步計算里奇張量為

(5)

將(4)式代入(5)式可知

(6)

考慮Schwarzschild外部解，即引力源以外的區(qū)域，顯然有

Rik=0，

(7)

將(7)式代入(6)式可得

(8)

當(dāng)r→時，時空是平坦的，黎曼空間度規(guī)退化為閔可夫斯基空間度規(guī)，從(8)式的微分方程組可以解得度規(guī)為

相應(yīng)的線元表示為

(9)

(9)式即為Schwarzschild的外部解，描述了球?qū)ΨQ物體外部的引力場.

2 結(jié)語

Schwarzschild外部解有2個奇點(diǎn)：一個是本性奇點(diǎn)r=0，另一個奇點(diǎn)r=rs=GM/c2為Schwarzschild半徑.Schwarzschild半徑與黑洞密切聯(lián)系，黑洞為廣義相對論的理論預(yù)言[1-3]，但是在早期的研究中，研究者認(rèn)為宇宙中不可能有物體能夠達(dá)到如此高的密度，即全部的質(zhì)量M都集中在Schwarzschild半徑rs=GM/c2之內(nèi).例如，太陽的Schwarzschild半徑rs≈3 km，地球的Schwarzschild半徑rs≈9 mm.rs是一個球面型界面，界面內(nèi)外的時空特性完全不同，此界面被稱作黑洞的視界.黑洞的認(rèn)證十分困難，無光線發(fā)出，只能采用間接的方式來考察.如：雙星系統(tǒng)中有一個是黑洞，則可以利用引力透鏡效應(yīng)來觀察.

1974年霍金在考慮量子效應(yīng)的情況下已證明黑洞也可以存在輻射，緩解了廣義相對論與熱力學(xué)之間的矛盾，同時也揭示了熱力學(xué)、量子力學(xué)[4]與廣義相對論之間的一些聯(lián)系[5].如今，黑洞物理學(xué)已經(jīng)成為宏觀世界的引力理論[6]與微觀世界的量子理論相互聯(lián)系的紐帶，并向量子力學(xué)、熱力學(xué)、弦理論[7]、統(tǒng)計物理學(xué)等學(xué)科與廣義相對論相互交叉的研究領(lǐng)域發(fā)展[1,5,8].

[1] 王永久.黑洞物理學(xué)[M].長沙:湖南師范大學(xué)出版社,2000：1-124.

[2] CHANDRASEKHAR S.The Mathematical Theory of Black Holes[M].New York:Oxford University Press,1983:1-97.[3] RUFFINI R，WHEELER J A.Introducing the Black Hole[J].Phys. Today,1971,76(1):30.

[4] PERES A，TERNO D R.Quantum Information and Relativity Theory[J].Rev. Mod. Phys.,2004,76:93.

[5] 史蒂芬·霍金，羅杰·彭羅斯.時空本性[M].杜欣欣，吳忠超，譯.長沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1996：1-113.

[6] MISNER C W,THORNE K S，WHEELER J A.Gravitation[M].San Francisco:Freeman,1973：1-89.

[7] POLCHINSKI J.String Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,1998:1-45.

[8] TEUKOLSKY S A.Rotating Black Holes:Separable Wave Equations for Gravitational Electromagnetic Perturbations[J].Phys. Rev. Lett.,1972(29):1 114.

(責(zé)任編輯 陳炳權(quán))

SchwarzschildSolutionofEinsteinFieldEquations: A Classical Example for General Relativity Teaching

CHEN Yingming1,2,TAN Mingtao3,ZHANG Zhiming1,2

(1.School of Physics and Electronic Information,Huaibei Normal University,Huaibei 235000,Anhui China;2.Institute of Applied Physics,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 610054,China;3.College of Physics and Electromechanical Engineering,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

Einstein field equations are difficult nonlinear second order differential equations,but its analytical solutions are of considerable practical significance for general relativity teaching.This paper demonstrates the centrosymmetric static solutions of Einstein field equations in details,namely Schwarzschild solutions,which can play a guiding role for the beginners of general relativity and be a reference for the research of general relativity teaching.

general relativity;Einstein field equations;Schwarzschild solution;black hole

1007-2985(2014)04-0031-03

2014-03-21

淮北師范大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(700702)；安徽高校省級自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2013Z287)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (61201089)

陳英明(1979-),男，淮北師范大學(xué)教師，電子科技大學(xué)博士，主要從事時間反演電磁學(xué)研究.

O412.1

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.04.008