趙 凱，高光發(fā)，王肖鈞

(中國科學技術(shù)大學 近代力學系，合肥 230027)

柱殼是被廣泛應用于大型油氣存儲工程，水下航行器，航空航天飛行器，各種殺傷性彈藥武器的典型結(jié)構(gòu)的代表，如何提高柱殼結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能一直以來都是各國工程和防護領(lǐng)域科研工作者的重要研究課題。早期Rath等[1]基于薄殼理論研究了柱殼的振動問題，Qatu[2-3]提出了中厚復合殼的低階近似振動方程，薄壁圓柱殼在動態(tài)和靜態(tài)載荷下的失穩(wěn)屈曲，一直以來都是學者們重點關(guān)注的課題[4-6]。近年來，Ebrahim等[7]采用各種三維剪切理論進一步研究了厚殼的靜態(tài)和震動問題，Liu等[8]基于廣義射線矩陣法和回傳射線矩陣法研究了沖擊載荷下層合柱殼的瞬態(tài)響應問題，Hu等[9]將薄殼理論和流固耦合方法RAVS相結(jié)合，提出了一種研究水中爆炸載荷下層合柱殼的瞬態(tài)響應計算近似方法，戴向勝等[10]用修正的Singace疊縮模型，研究了沖擊載荷下含應變強化效應、應變率強化效應和溫度效應的圓柱殼吸能情況。然而，這些理論方法畢竟具有一定的應用局限性。

在現(xiàn)代科學技術(shù)研究中，許多問題的解決都需要通過大量的實驗才能實現(xiàn)。然而，實物的原型試驗存在復雜性和難度很高、耗資巨大等種種問題，有時甚至是不可能實現(xiàn)的。因此在了解相應物理現(xiàn)象的基本規(guī)律的前提下，需要通過所謂模擬實驗(或數(shù)值模擬)取得所研究問題中的一些基本規(guī)律和特征量，用于實物原型上?；诹烤V分析中的相似律[11]，能讓我們在模型研究中獲得某種規(guī)律或特征量后，以無量綱特征量的方式直接用于原型，因此在學術(shù)研究和工程實踐中都具有廣泛的應用價值。本文以沖擊載荷下柱殼的瞬態(tài)響應為背景，通過量綱分析研究了可簡化為平面應變問題的柱殼在沖擊載荷下的最大等效應力和最大等效應變所依賴的主要無量綱自變量，并開展相應的數(shù)值模擬，得到了不同相似比時的具體函數(shù)關(guān)系。

1 雙層柱殼結(jié)構(gòu)抗沖擊性能的量綱分析

考慮沖擊載荷作用下雙層圓柱殼的瞬態(tài)響應問題。設(shè)給定一個長度為L、外半徑為R的圓柱殼，殼體由兩層不同材料組成(如圖1(a)所示)。假設(shè)兩層材料都滿足各向同性理想塑性材料的Mises屈服準則。材料1殼環(huán)的厚度為H1，材料性能參數(shù)為ρ1(質(zhì)量密度)、E1(楊氏模量)、ν1(泊松比)、Y1(簡單拉壓屈服應力)；材料2殼環(huán)的厚度為H2，材料性能參數(shù)為ρ2(質(zhì)量密度)、E2(楊氏模量)、ν2(泊松比)、Y2(簡單拉壓屈服應力)。

殼體的任何響應量都是外載荷的空間分布和歷時函數(shù)的泛函，我們考慮如下的外載：假設(shè)殼體在180°張角的外側(cè)沿軸向均勻分布、而沿θ角按余弦規(guī)律分布的壓力載荷p(t)cosθ的作用(如圖1(b)所示)，載荷在θ=0°處的壓力峰值峰值為p0、作用總時間為τ0、加卸載規(guī)律為三角形脈沖(如圖1(c)所示)。

圖1 柱殼上表面受均布載荷p的示意圖

上述分布規(guī)律的外載荷作用下的柱殼的動力響應顯然只依賴于載荷參數(shù)p0和τ0?？紤]柱殼受載區(qū)域的中心點A處的最大Mises等效應力σmax和最大Mises等效應變εmax隨外載的變化規(guī)律。如果柱殼材料是完全理想彈塑性材料，則我們可以確定如下一些物理量是問題的主定量(自變量)：柱體長度L、外徑R、殼環(huán)厚H1和H2、材料性能參數(shù)ρ1,E1,ν1,Y1和ρ2,E2,ν2,Y2、外載荷參數(shù)p0和τ0，于是圓柱殼中任何點處(包括A點)的最大Mises等效應變εmax、最大Mises等效應力σmax應是這些物理量的函數(shù)，即

(1)

這里f(x)、g(x)表示某種函數(shù)關(guān)系。采用LMT單位制分析，式(1)中，因變量應變εmax本身已是無量綱量；L、R、H1、H2的量綱均是長度L；ρ1、ρ2表示材料的質(zhì)量密度，其量綱可以表示為ML-3；因變量σmax和自變量E1、E2、Y1、Y2和p0都具有應力的量綱，可以表示為ML-1T-2；自變量ν1和ν2本身已是無量綱量；自變量τ0的量綱為時間T。

上述2個函數(shù)關(guān)系式在LMT單位制里，共有三個獨立的量綱，可以取其中任何3個量綱彼此獨立的物理量作為其基本量。我們將基本量組取為：圓柱殼體的半徑R、材料1的質(zhì)量密度ρ1和材料1的楊氏模量E1，因為這3個量是獨立的、有較清晰的物理意義的量，且其它的因變量和自變量的量綱都可由它們的量綱表達出來。

(2)

在(2) 式中，對無量綱因變量起作用的無量綱自變量有11個：前3個是幾何長度之比，即幾何相似準數(shù)，它們反映了對結(jié)構(gòu)幾何尺度的幾何相似要求；中間6個則是材料歸一化力學性能參數(shù)，即材料相似準數(shù)，它們反映了對結(jié)構(gòu)材料相似性的要求；倒數(shù)第2個表示以第一種材料的楊氏模量為基準而量度的外載荷歸一化強度，即外載的動力學相似準數(shù)，它反映了對外載荷強度的動力相似要求；最后1個表示以第一種材料桿中彈性縱波波速傳過結(jié)構(gòu)特征尺度R所需時間為基準而量度的外載荷歸一化歷時。

函數(shù)關(guān)系(2)式的具體形式并不能單純地由量綱分析方法而得出，而我們的任務就是通過實驗、或者理論分析、或者模擬計算的方法確定上述多元函數(shù)的具體形式。

我們只討論柱殼長度L足夠大、而且整個殼的長度上都受有如上載荷的問題，則三維的柱體響應問題可以視為平面應變問題，此時L的大小將不影響柱殼中的歸一化最大Mises等效應變和歸一化最大Mises等效應力(嚴格而言當殼體的長度L為有限時還應引入殼兩端的邊界條件及相關(guān)的外載參數(shù))。因此(2)式便簡化為平面應變問題的動力響應問題，即

(3)

如果我們要用模型實驗或者數(shù)值模擬的方法來尋求無量綱函數(shù)的具體形式，則必須保證模型問題(用下標m表述)和原型問題(用下標p表示)的完全物理相似，即

(εmax)m=(εmax)p,(σmax/E1)m=(σmax/E1)p

(4)

(5)

如果在下述條件下開展模擬實驗或者進行模擬計算，可以進一步作如下簡化：

①保持模型和原型滿足幾何相似條件，即

(6)

②假定模型和原型使用相同的材料，則自然就保證了材料相似，即有，

(7)

因而我們需要考慮的相似準數(shù)便只剩下外載荷的動力相似準數(shù)，此時(3)式可簡化為

(8)

于是，在保證模型與原型幾何相似和材料完全相同的前提下，我們要研究結(jié)構(gòu)的響應規(guī)律(如某點的無量綱化最大Mises等效應力(σmax/E1)m和最大Mises等效應變值(εmax)m，只需通過模擬實驗或者模擬計算的方法求出二元函數(shù)(8)式的相應數(shù)據(jù)，并通過擬合而求出這兩個二元函數(shù)所表達的曲面就行了，也就是說，二元函數(shù)(8)式即柱殼最大等效應力和應變的具體依賴函數(shù)關(guān)系。

需要指出的是，雖然(8)式中沒有顯含材料的屈服強度Y，但是，無論對彈性材料還是對理想塑性材料，甚至不難證明對有硬化效應的彈塑性材料，在保持模型和原型幾何相似及材料相似的前提下，上述問題的無量綱因變量與自變量的依賴關(guān)系都可由二元函數(shù)(8)所表達。對彈性材料和彈塑性材料進行模擬實驗或模擬計算的時候，所得出的二元函數(shù)f或g的形式則必然是不同的，因為對彈性問題屈服應力Y不會發(fā)生作用，而對彈塑性問題要求材料進入屈服，所以屈服應力Y自然會發(fā)生作用。這里面隱含著另兩個無量綱參數(shù)Y1/E1和Y2/E2的作用，但是在保持模型和原型材料完全一樣的前提下，它們就是絕對常數(shù)，并不增加函數(shù)的復雜性，所以我們要尋求的仍然是二元函數(shù)。

2 雙層柱殼結(jié)構(gòu)抗沖擊性能二元函數(shù)的數(shù)值模擬

采用國際商用沖擊動力學軟件LSDYNA，對上述問題進行數(shù)值模擬。柱殼外層材料是鋼，內(nèi)層材料是鋁，采用線性硬化彈塑性本構(gòu)模型，其基本力學參數(shù)如表1所示。柱殼的原型尺寸為，半徑R=2 000 mm，H1=20 mm，H2=10 mm。原型上作用的脈沖載荷強度p0=500 MPa，τ0=20 μs。

表1 材料基本力學性能

通過上述25個算例，可以得到不同半徑、不同強度載荷下柱殼A點最大等效應力、最大應變的計算結(jié)果，如表2、表3所示。

表2 A點最大等效應力(單位：MPa)

表3 A點最大等效應變

圖2 σmax/E1 vs. p0 /E1

圖3 εmax vs. p0 /E1

圖4 無量綱最大等效應力函數(shù)曲面

圖5 無量綱最大等效應變函數(shù)曲面

(9)

可得，a1=-2.540 45，b1=0.747 07，c1=35.233 81，d1=3 513.485 71，f1=-180.818 56，g1=0.045 62；a2=-0.050 28，b2=1.240 49，c2=-0.014 62，d2=-469.714 29，f2=22.848 68，g2=0.002 13。

3 結(jié) 論

以雙層柱殼結(jié)構(gòu)在脈沖載荷作用下的瞬態(tài)響應為例，通過量綱分析得出了可簡化為平面應變問題的柱殼在沖擊載荷下某點最大等效應力和等效應變無量綱因變量對主要無量綱自變量的函數(shù)依賴關(guān)系，并在模型和原型幾何相似、所取材料相同的條件下，通過數(shù)值模擬得到了具體的二元函數(shù)表達，得出以下結(jié)論：

(2)數(shù)值模擬顯示，在載荷強度不大、模型尺寸較大時，柱殼的最大等效應力和等效應變的無量綱函數(shù)呈線性，而隨載荷強度的增大、模型的縮小，函數(shù)的非線性增長趨勢顯著。

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