袁 萍

(長(zhǎng)江大學(xué)文理學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖北 荊州 434020)

反演變換求解二維調(diào)和方程的Dirichlet外問(wèn)題

袁 萍

(長(zhǎng)江大學(xué)文理學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖北 荊州 434020)

在研究靜電場(chǎng)的電位函數(shù)、平穩(wěn)狀態(tài)下的波動(dòng)現(xiàn)象和擴(kuò)散過(guò)程時(shí)都會(huì)遇到調(diào)和方程。反演變換又稱(chēng)逆矢徑變換，是一種很有效的數(shù)學(xué)方法。文章首先給出反演變換的定義及性質(zhì)，然后推導(dǎo)了平面區(qū)域上二維調(diào)和函數(shù)的積分公式，最后利用反演變換將調(diào)和方程的Dirichlet外問(wèn)題化為內(nèi)問(wèn)題，得到了二維調(diào)和方程圓域外Dirichlet問(wèn)題的解。

調(diào)和方程；反演變換；Dirichlet外問(wèn)題

0 引言

1 反演點(diǎn)與反演變換

2 二維調(diào)和方程Dirichlet內(nèi)問(wèn)題的積分表達(dá)式

(1)

(2)

(3)

(2)與(3)相減得格林第二公式

(4)

由于k(r)在P0處有奇性，需要在D中挖去一個(gè)小圓域，以P0為圓心、任意小的ρ為半徑做圓域Bρ(P0)。

在區(qū)域DBρ(P0)中應(yīng)用格林第二公式有：

(5)

(6)

(5)與(6)相加得

(7)

記G(r)=k(r)+h(r)，則(7)式為

(8)

圖1 靜電源像法求圓域上的格林函數(shù)

(9)

3 利用反演變換將圓域Dirichlet外問(wèn)題化為內(nèi)問(wèn)題

設(shè)所給Dirichlet外問(wèn)題為

(10)

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得

其中(r,θ)為圓域內(nèi)點(diǎn)的極坐標(biāo)，(R,φ)為CR(0)上點(diǎn)的極坐標(biāo)。

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2014-03-04

袁萍(1984-)，女，湖北潛江人，長(zhǎng)江大學(xué)文理學(xué)院講師，碩士。研究方向：偏微分方程。

O175.2

A

1008-4657(2014)02-0057-03