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        四元數(shù)矩陣的特征值與特征多項(xiàng)式*

        2014-09-04 08:34:24
        關(guān)鍵詞:居住用地信息工程復(fù)數(shù)

        黃 莉

        (武漢商學(xué)院信息工程系 湖北武漢 430056)

        四元數(shù)矩陣的特征值與特征多項(xiàng)式*

        黃 莉

        (武漢商學(xué)院信息工程系 湖北武漢 430056)

        本文研究了四元數(shù)矩陣的右特征值、左特征值的存在性,并且比較了它們之間的差異,最后給出了在特殊情況下四元數(shù)矩陣右、左特征值統(tǒng)一的一個充分條件.

        四元數(shù)矩陣,復(fù)表示陣,特征值,特征多項(xiàng)式

        由于四元數(shù)乘法不滿足交換律,這使得四元數(shù)矩陣的特征值與特征多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)比常規(guī)矩陣復(fù)雜得多.

        設(shè)R為實(shí)數(shù)域,C為復(fù)數(shù)域,記

        Q{q|q∈R+Ri+Rj+Rk,ij=-ji=k,i2=j2=k2=-1}

        定義1[1]設(shè)A∈Qn×n,若存在λ∈Q及0≠α∈Qn×1,使得Aα=αλ(或Aα=λα),則稱λ為A的右(或左)特征值.而稱α為A的屬于右(或左)特征值λ的特征向量,如果λ既是A的右特征值,又是A的左特征值,則稱 為A的特征值.

        注:①四元數(shù)矩陣A的右特征值不一定是左特征值,反之,左特征值也不一定是右特征值.

        ②由Aα=αλ?A(αq)=(Aα)q=αλq=αqq-1λq(?q∈Q)知若λ為A的右特征值,則任何與λ在Q上相似的四元數(shù)q-1λq也為A的右特征值,故A的右特征值若存在則有無窮多個,記這無窮多個右特征值的集合為[λ].但左特征值沒有這樣的性質(zhì).

        定義2[2]設(shè)A∈Qm×n,則稱‖λI-A‖為A的重特征多項(xiàng)式,記為FA(λ),即FA(λ=‖λIn-A‖.

        引理1[1]設(shè)A=A1+A2j∈Qm×n,其中A1,A2∈Cm×n則AH=A1H-A1Tj.

        引理2[3]設(shè)A,B∈Qn×n,則Ac=Bc?A=B;(A+B)c,(AB)c=AcBc;(f(A))c=f(Ac)其中f(x)為R上多項(xiàng)式.

        定理1[4]一個復(fù)數(shù)λ是四元數(shù)矩陣A∈Qn×n的一個右特征值?λ為A的擬特征多項(xiàng)式fAc(λ)的根.

        以常見的居住建設(shè)項(xiàng)目選址為例,由于居住用地項(xiàng)目主要以多層、中高層及高層單元式居住建筑為主、配套設(shè)施齊全、布局完整的用地,該類項(xiàng)目在城市分布廣泛,在居住用地中占主導(dǎo)地位。因此,在選址過程中,除了考慮政府的管控限制條件,還需權(quán)衡區(qū)位交通便捷度、市政交通的可達(dá)性、公共服務(wù)設(shè)施配套。根據(jù)設(shè)定的因子評價體系對篩選出來的符合條件候選圖斑進(jìn)行綜合打分,最后生成選址分析對比報告如圖6。

        定理2[5]任何n階四元數(shù)矩陣A至少有一個在Q上的左特征值.

        證明(筆者用拓?fù)渲R來反證)記Ax=λx為(λI-A)x=0,假設(shè)λI-A對于 非奇異,即(λI-A)x=0只有零解,也即A無左特征值,筆者下面考慮Q上的n階可逆陣組成的線性群GL(n,Q),

        令f(t,λ)∶=ft(λ)=tλI-A0≤t≤1, |λ|=1,

        g(t,λ)∶=gt(λ)=λI-tA0≤t≤1 |λ|=1,

        故假設(shè)不成立,則任意四元數(shù)矩陣至少有一個在Q上的左特征值.

        定理3[2]λ∈Q為A∈Qn×n的一個左特征值?λ為A重特征多項(xiàng)式FA(λ)的根.

        注:①筆者知道四元數(shù)矩陣的左,右特征值沒有必然聯(lián)系,則由定理1和定理3知,四元數(shù)矩陣的重特征多項(xiàng)式和擬特征多項(xiàng)式也沒有必然聯(lián)系.

        ② 由于A的擬特征多項(xiàng)式與右特征值都與A的復(fù)表示陣Ac有密切聯(lián)系,故由復(fù)數(shù)域C上矩陣?yán)碚撝脑獢?shù)矩陣A的擬特征多項(xiàng)式與右特征值都是相似變換的不變量.但重特征多項(xiàng)式與左特征值都不是相似變換的不變量,但加上一定的限制條件筆者有如下定理:

        定理4 若A∈Qn×n為自共軛陣,則A的左,右特征值統(tǒng)一,此時FA(λ)=FAc(λ).

        證: 設(shè)A=A1+A2jA1,A2∈Cn×n,則由引理1知AH=A1H-A2Tj,由于A=AH,則:

        設(shè)λ=λ1+λ2j(λ1,λ2∈C是A的任一右特征值,則存在0≠α∈Qn×1,s.t.Aα=αλ另設(shè):

        α=α1+α2j(α1,α2∈Cn×1且不全為0)?(A1+A2j)(α1+α2j)=(α1+α2j)(λ1+λ2j),

        由引理1,上式左右兩邊可化簡為:

        由復(fù)分解式的唯一性得:

        (1)

        (2)

        由于

        (3)

        將方程組(3)第1個矩陣方程取共軛轉(zhuǎn)置,注意到A1=A1H,再用第2個矩陣方程去減,得:

        顯然,若λ∈R,且存在0≠α∈Qn×1,使Aα=αλ則Aα=αλ=λα故λ也為A的左特征值.即A的左,右特征值統(tǒng)一,則由定理1和定理3知FA(λ)=fAc(λ).

        [1]李文亮.四元數(shù)矩陣[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,2002.32.

        [2]李樣明.四元數(shù)矩陣?yán)碚撝械膸讉€概念間的關(guān)系[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1998,41(3):583.

        [3]Fuzhen Zhang. Quaternions and matrices of quaternions linear algebra and its applications[J]. Linear Algbra and its Applications,1997,251(15):21.

        [4]陳福元.四元數(shù)矩陣的右特征值[J].龍巖師專學(xué)報,1997,15(3):9.

        [5]DR Fwenick. The spectral theorem in quaternions linear algebra and its applications[J].2003,371(14):75.

        (責(zé)任編輯李平)

        2013年度武漢市屬高校教學(xué)研究項(xiàng)目(編號 2013132)成果。

        2014-1-13

        黃莉,ihuangli@foxmail.com。

        O 151.2

        A

        1674-9545(2014)02-0056-(03)

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