潘曉威，方有亮，毛卓能

(河北大學(xué)建筑工程學(xué)院，河北保定071002)

1 損傷識別簡介

損傷識別技術(shù)是當(dāng)前土木工程領(lǐng)域研究的難點和熱點問題，它的基本思想是利用健康結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型和振動實驗數(shù)據(jù)與損傷結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)進行比較，從而判定結(jié)構(gòu)損傷位置及程度[1]。我們知道，凡是需要用到實測模態(tài)信息的損傷識別方法都要求實測模態(tài)的自由度與有限元模型的自由度數(shù)一致。而實際測量中會因為比如傳感器數(shù)量、結(jié)構(gòu)的某些部位難以布置傳感器或者某些自由度無法測量的原因，造成實測自由度與數(shù)值模擬自由度的不匹配。為了解決實測自由度少于有限元模型自由度數(shù)的問題，通常都采用模型縮聚或振型擴充方法。前者是將有限元模型的自由度縮聚到結(jié)構(gòu)測試自由度，即模型縮聚，后者是將結(jié)構(gòu)測試自由度擴充至與有限元模型自由度一致，即模態(tài)擴展[4]。本文利用改進的Guyan縮聚法[5]對一平面桁架結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析，然后用曲率模態(tài)方法[2]對該平面桁架結(jié)構(gòu)進行損傷識別。

2 曲率模態(tài)法

由材料力學(xué)理論可知，對于梁類構(gòu)件，曲率是抗彎剛度的函數(shù)，它與抗彎剛度成反比，結(jié)構(gòu)發(fā)生局部損傷處的抗彎剛度會降低，所以曲率函數(shù)在損傷處會突變，根據(jù)曲率函數(shù)的突變可以進行結(jié)構(gòu)損傷識別。曲率一般不能直接測量，其計算通常采用中心差分法求得，如式(1)所示。

y″=(yi+1-2yi+yi-1)/l2

(1)

3 改進的Guyan縮聚法

設(shè)一個n自由度系統(tǒng)的剛度矩陣為K，質(zhì)量矩陣為M，特征值和特征向量為λj和φj(j=1～n),其中振型φj可表示為：

(2)

(3)

由式(3)的第2式可得：

(4)

因為Guyan縮聚法[3]略去了慣性量，所以對于Guyan縮聚法只有當(dāng)被縮減的自由度對應(yīng)的質(zhì)量很小時才較精確，若被縮減的自由度有較大質(zhì)量則該方法有較大誤差。本文利用改進的Guyan縮聚法，將式(4)按Nummman級數(shù)展開得：

(5)

其中“ο”表示高階無窮小。將式(5)省略高階項得：

(6)

由式(3)的第1式可得：

(7)

對于許多結(jié)構(gòu)的有限元模型而言，質(zhì)量矩陣通常采用對角矩陣，那么有

Mms=Msm=0

(8)

式(8)代入式(7)并整理可得：

(9)

式(8)、式(9)代入(6)整理可得：

(10)

由式(10)可得：

(11)

故改進的縮聚公式為：

(12)

即轉(zhuǎn)換矩陣T為：

(13)

式(12)和式(13)代入式(3)可得：

KTφmj=λjMTφmj

(14)

式(14)兩邊各乘TT可得：

TTKTφmj=λjTTMTφmj

(15)

令

Kr=TTKT

(16)

Mr=TTMT

(17)

則縮聚后的特征方程為：

Krφmj=λjMrφmj

(18)

顯然，Kr和Mr的階數(shù)比原來的K和M減小了，式(18)即可得到縮聚后的各階頻率和振型。

4 數(shù)值算例

4.1 方法驗證

本文計算模型采用如圖 1所示兩端固定的平面桁架結(jié)構(gòu)。模型全長跨度c=18m,高h=4m，節(jié)點數(shù)為12個，桿單元21個。桿單元截面積為A=2 800mm2，材料密度為ρ=7 850kg/m3，彈性模量為E=2.1×1011Pa。

圖 1 平面桁架結(jié)構(gòu)模型(單位： mm)

采用ANSYS軟件對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析所得到的前五階振型及頻率如圖2所示。

(a)一階模態(tài)振型(頻率 28.762 Hz)

(b)二階模態(tài)振型(頻率 56.927 Hz)

(c)三階模態(tài)振型(頻率 76.017 Hz)

(d)四階模態(tài)振型(頻率 105.971 Hz)

(e)五階模態(tài)振型(頻率 141.268Hz)圖2 桁架結(jié)構(gòu)各階模態(tài)振型及頻率

利用改進的Guyan縮聚法縮聚其每一節(jié)點的水平自由度，得到前五階頻率，其結(jié)果如表 1所示。

表1 前五階頻率結(jié)果比較

從上表中可以看出在平面桁架結(jié)構(gòu)中，利用改進的Guyan縮聚法縮聚水平自由度能夠得到很精確的結(jié)果，誤差非常小。

4.2 損傷識別

利用改進的Guyan縮聚法，縮聚掉每一個節(jié)點的水平自由度達到實測自由度與理論自由度相匹配，為簡化計算，僅考慮模型主振型方向，計算下弦節(jié)點的曲率模態(tài)。曲率計算采用中心差分法。損傷單元采用減小彈性模量E來模擬，假定該桁架結(jié)構(gòu)第6號單元損傷25 %，計算過程如表 2所示。

表2 桿單元無損傷和損傷時各階曲率模態(tài)

6號桿損傷時，利用Matlab軟件編程計算，其曲率模態(tài)變化量如下圖3所示。

圖3 桁架6桿單元損傷25 %時的曲率模態(tài)變化量

從圖3中可以看到，6號桿的端節(jié)點3和5處的曲率模態(tài)發(fā)生突變，從而可以判定桿件的損傷。同時，可觀察到，對于6號桿的損傷，各階均有較好的識別效果，其中二階曲率模態(tài)變化最突出，識別效果最好。

5 結(jié)論

本文利用改進的Guyan縮聚法縮聚平面桁架結(jié)構(gòu)的水平自由度達到實測自由度與理論自由度相匹配，通過數(shù)值模擬計算對該平面桁架結(jié)構(gòu)進行損傷識別，結(jié)果表明：

(1)采用改進的Guyan縮聚法縮聚其水平自由度得到的頻率的數(shù)值很準(zhǔn)確，誤差很小。由于該方法是對質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進行縮聚，因此只有在縮聚的自由度質(zhì)量很小，而剛度很大時才比較合理。此外，隨著頻率的增大，誤差將變大，所以該方法適用于分析低階模態(tài)。

(2)利用改進的Guyan縮聚法進行自由度匹配后可進行桿單元的損傷識別。

[1] 劉偉，高維成，孫毅.自由度匹配技術(shù)在網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)損傷識別應(yīng)用中的比較研究[J].振動與沖擊，2007，(2)

[2]PandeymBiswas,Sammanmm.Damagedetectionfromchangesincurvaturemodeshapes[J].JournalofSoundandVibration,1991,145 (2):321-332

[3]R.JGuyan.ReductionofStiffnessandmassmatrices[J].AIAAJournal.1965,13(1):380

[4]J.CO’Callahan.AProcedureforImprovedReducedSystem(IRS)model[J].In:AlfredLW,DominickJ,Demichele,eds.Proceedingsofthe7thInternationalmodalAnalysisConference,LasVegas,1989-02-20-22.Kissimmee:UnionCollege.1989:17-21

[5] 楊秋偉，劉濟科.一種改進的模型縮聚方法[J].力學(xué)與實踐,2006,28(2)