呂彩忠

(衢州學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 衢州 324000)

基于Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則的隧道圍巖理想彈塑性解答

呂彩忠

(衢州學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 衢州 324000)

合理選擇巖石強度準(zhǔn)則對隧道應(yīng)力及位移預(yù)測和支護設(shè)計都具有重要意義，基于Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則和理想彈塑性模型，通過中間主應(yīng)力系數(shù)反映中間主應(yīng)力的影響，推導(dǎo)了圓形隧道圍巖應(yīng)力和位移的解析解，并對所得結(jié)果進行比較與驗證，得到了中間主應(yīng)力和圍巖抗剪強度參數(shù)的影響特性。研究表明：具有廣泛的適用性和較好的可比性，Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答和Matsuoka-Nakai準(zhǔn)則解答均為其特例；結(jié)果關(guān)于中間主應(yīng)力系數(shù)b=0.5對稱，較好地反映了巖石強度的中間主應(yīng)力效應(yīng)及其區(qū)間性；粘聚力及內(nèi)摩擦角對圍巖塑性區(qū)半徑和隧道洞壁位移的影響顯著，應(yīng)充分考慮中間主應(yīng)力影響及圍巖抗剪強度參數(shù)變化對隧道設(shè)計與施工的影響。

隧道工程；Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則；理想彈塑性模型；中間主應(yīng)力；應(yīng)力和位移

應(yīng)用能合理反映巖石力學(xué)性狀的強度準(zhǔn)則，可以充分發(fā)揮巖石材料的強度潛能，將給隧道、邊坡等巖石工程建設(shè)帶來巨大的經(jīng)濟效益。眾多巖石真三軸試驗已表明[1-3]：中間主應(yīng)力σ2對巖石的強度具有提高作用，并且其影響具有區(qū)間性。隧道開挖施工造成的地應(yīng)力重分布，使圍巖處于彈塑性狀態(tài)，隧道軸向應(yīng)力對其橫斷面內(nèi)的應(yīng)力和變形具有重要影響，但當(dāng)前對隧道圍巖進行的彈塑性分析多采用Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則[4-5]或Hoek-Brown強度準(zhǔn)則[6-7]，均沒有考慮中間主應(yīng)力σ2的影響，所得結(jié)果過于保守，致使隧道施工與設(shè)計的浪費極大；已有學(xué)者將考慮中間主應(yīng)力σ2影響的統(tǒng)一強度理論[8-9]和Matsuoka-Nakai(又稱廣義空間滑動面SMP)[10-11]準(zhǔn)則應(yīng)用于圍巖彈塑性分析，但所得結(jié)果表達(dá)復(fù)雜不便于工程應(yīng)用。Mogi[12-13]較早開展了巖石真三軸儀的研制及多種巖石的真三軸試驗研究，并提出了Mogi經(jīng)驗強度準(zhǔn)則通式。Al-Ajmi等[14]將線性Mogi經(jīng)驗強度準(zhǔn)則和Coulomb強度準(zhǔn)則相結(jié)合，建立了能反映巖石中間主應(yīng)力效應(yīng)及其區(qū)間性影響的Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則，已在井壁穩(wěn)定性分析及巖石真三軸強度預(yù)測中得到了廣泛應(yīng)用與驗證[15-18]。本文將基于Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則和理想彈塑性模型，對圓形隧道圍巖進行彈塑性分析，推導(dǎo)其應(yīng)力和位移的解析解，并對所得結(jié)果進行比較與驗證，最后探討中間主應(yīng)力和圍巖抗剪強度參數(shù)的影響特性。

1 Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則

Mogi根據(jù)自己所開展的多種巖石真三軸試驗數(shù)據(jù)，提出的Mogi經(jīng)驗強度準(zhǔn)則通式為[12-13]

τoct=f(σ13)

(1)

式中：σ1、σ2和σ3分別為大主應(yīng)力、中間主應(yīng)力和小主應(yīng)力，以壓應(yīng)力為正；τoct為八面體剪應(yīng)力；σ13為與中間主應(yīng)力σ2平行的破裂面上的平均主應(yīng)力；f為單調(diào)遞增函數(shù)，可采用一次直線式、二次多項式或冪函數(shù)。

Al-Ajmi等[14]將線性Mogi經(jīng)驗強度準(zhǔn)則和Coulomb強度準(zhǔn)則相結(jié)合，建立了以巖石抗剪強度參數(shù)(粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ)表示的Mogi Coulomb強度準(zhǔn)則，其表達(dá)式為

τoct=kσ13+d

(2)

由式(2)可見，Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則考慮了中間主應(yīng)力σ2對巖石強度的影響，且其參數(shù)(粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ)與Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則相同，物理意義明確且便于由常規(guī)三軸壓縮試驗確定。Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則的極限線為外接Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則的曲邊六邊形[18]，在軸對稱的三軸壓縮狀態(tài)和三軸拉伸狀態(tài)時二者重合，如圖1所示。

圖1 Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則的極限線

工程實踐和真三軸試驗研究中，常用中間主應(yīng)力系數(shù)b來表示中間主應(yīng)力σ2與大主應(yīng)力σ1和小主應(yīng)力σ3的相對大小關(guān)系，其表達(dá)式為

(3)

中間主應(yīng)力系數(shù)b的取值范圍為[0，1]，系數(shù)b=0對應(yīng)σ2=σ3<σ1的軸對稱三軸壓縮狀態(tài)，系數(shù)b=1對應(yīng)σ3<σ2=σ1的軸對稱三軸拉伸狀態(tài)，0

σ2=bσ1+(1-b)σ3

(4)

將式(4)代入式(2)，整理得Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則為

σ1=Aσ3+B

(5)

當(dāng)系數(shù)b=0或1時，Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則式(5)退化為Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則，即

(6)

故Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則為Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則的特例，對應(yīng)系數(shù)b=0或1，沒有考慮中間主應(yīng)力σ2的影響。

2 圍巖理想彈塑性解答

假定圍巖為均勻、連續(xù)、各向同性的理想彈-塑性材料，隧道軸向應(yīng)力σz為中間主應(yīng)力σ2。圓形隧道內(nèi)表面受均勻支護力pi作用，無窮遠(yuǎn)處受等值地應(yīng)力po作用，如圖2所示，圖中ri為隧道半徑、R為圍巖塑性區(qū)半徑。

圖2 隧道力學(xué)模型

不考慮圍巖自重，軸對稱條件下平衡微分方程為

(7)

在圍巖塑性區(qū)內(nèi)，σ1=σθ，σ3=σr，則Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則式(5)變?yōu)?/p>

σθ=Aσr+B

(8)

將式(8)代入式(7)，并以隧道洞壁處r=ri，σr=pi為應(yīng)力邊界條件，求得圍巖塑性區(qū)的應(yīng)力為

(9)

設(shè)ps為圍巖臨界支護力即彈塑性交界處的徑向應(yīng)力，則圍巖彈性區(qū)的應(yīng)力和位移為[7]

σr=po-(po-ps)R2/r2，σθ=po+(po-ps)R2/r2

(10)

(11)

式中：E和ν分別為圍巖的彈性模量與泊松比。

在彈塑性交界r=R處，圍巖彈性區(qū)的應(yīng)力式(10)應(yīng)滿足Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則式(8)，且r=R處的徑向應(yīng)力σr連續(xù)，據(jù)此求得圍巖臨界支護力ps和塑性區(qū)半徑R分別為

(12)

當(dāng)支護力pi小于臨界支護力ps時，圍巖才進入彈塑性狀態(tài)。在圍巖塑性區(qū)內(nèi)，大主應(yīng)變ε1=εθ，小主應(yīng)變ε3=εr，不考慮圍巖塑性區(qū)的體積變化，則

εv=εθ+εz+εr=0

(13)

隧道軸向應(yīng)變εz=0，將εr=du/dr，εθ=u/r代入式(13)，并以圍巖彈塑性交界r=R處的位移為位移邊界條件，求得圍巖塑性區(qū)的位移為

(14)

將r=ri代入式(14)，即得隧道的洞壁位移uo為

(15)

基于Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則，隧道圍巖塑性區(qū)和彈性區(qū)的應(yīng)力可分別由式(9)和式(10)確定，塑性區(qū)和彈性區(qū)的位移則可分別由式(11)和式(14)確定。圍巖位移式(11)和式(14)的表達(dá)式雖相同，但二者的應(yīng)用區(qū)域不同：式(11)只適用于r>R的圍巖彈性區(qū)，式(14)適用于ri

3 結(jié)果比較及參數(shù)分析

此處主要對本文結(jié)果進行比較與驗證，同時探討中間主應(yīng)力和圍巖抗剪強度參數(shù)的影響特性。取文獻[10]中代表性的圓形軟巖隧道：圍巖參數(shù)為c=2.0 MPa，φ=30°，ν=0.5，E=2.0 GPa；隧道半徑ri=3.0 m，初始地應(yīng)力po=20 MPa，無支護隧道即支護力pi為零，圍巖處于彈塑性狀態(tài)。

3.1 結(jié)果比較與驗證

不同強度準(zhǔn)則所建立的依據(jù)以及對中間主應(yīng)力σ2的考慮都不盡相同，因而采用不同強度準(zhǔn)則的計算結(jié)果之間常有較大差異。將文獻[4]中基于Mohr Coulomb強度準(zhǔn)則的圍巖理想彈塑性解答與本文系數(shù)b=0時的結(jié)果進行比較，如圖3所示；將文獻[10]中基于Matsuoka-Nakai(SMP)準(zhǔn)則的圍巖理想彈塑性解答與本文系數(shù)b=0.285時的結(jié)果進行比較，如圖4所示。

由圖3可以看出，本文系數(shù)b=0時的應(yīng)力及塑性區(qū)位移和Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答的峰值和分布規(guī)律均吻合的極好，二者的圍巖塑性區(qū)半徑R=1.84ri也完全相同。由圖4可以看出，系數(shù)b=0.285時本文結(jié)果和考慮中間主應(yīng)力σ2影響的Matsuoka-Nakai(SMP)準(zhǔn)則解答吻合的也較好，且二者的圍巖塑性區(qū)半徑R相同并減小為1.53ri。這都說明本文基于Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則所得結(jié)果的正確性和合理性，同時也說明基于Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則和基于Matsuoka-Nakai(SMP)準(zhǔn)則的圍巖理想彈塑性解答都是本文結(jié)果的特例，因此本文結(jié)果具有廣泛的適用性和較好的可比性。

圖3 本文結(jié)果(b=0)與Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答的比較

圖4 本文結(jié)果(b=0.285)與Matsuoka-Nakai(SMP)準(zhǔn)則解答的比較

3.2 參數(shù)分析

1)中間主應(yīng)力影響

中間主應(yīng)力σ2可在大主應(yīng)力σ1和小主應(yīng)力σ3之間變化，對應(yīng)的中間主應(yīng)力系數(shù)b在0和1之間變動。中間主應(yīng)力σ2對巖石強度具有增強作用，但巖石強度一般是隨著中間主應(yīng)力σ2的增加先逐漸增大，達(dá)到峰值后又隨中間主應(yīng)力σ2的增加而逐漸降低，即中間主應(yīng)力效應(yīng)具有區(qū)間性[1-3]。圖5給出了圍巖塑性區(qū)半徑R和隧道洞壁位移uo與系數(shù)b的變化關(guān)系，Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答也一并標(biāo)于圖中。

圖5 中間主應(yīng)力的影響

由圖5可以看出，Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答與系數(shù)b即中間主應(yīng)力σ2無關(guān)，且圍巖塑性區(qū)半徑R=1.84ri和隧道洞壁位移uo=0.029 8ri與本文系數(shù)b=0或1時的結(jié)果相同且最大；本文基于Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則的結(jié)果關(guān)于系數(shù)b=0.5即σ2=(σ1+σ3)/2對稱，且最小分別達(dá)到R=1.47ri、uo=0.021 9ri，較好地反映了巖石強度的中間主應(yīng)力效應(yīng)及其區(qū)間性，相比Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答具有明顯的優(yōu)越性。合理考慮中間主應(yīng)力效應(yīng)及其區(qū)間性，可更加充分發(fā)揮圍巖的強度潛能，更經(jīng)濟安全地進行隧道設(shè)計與施工。

2)圍巖抗剪強度參數(shù)影響

圍巖的抗剪強度包括粘聚力和摩擦滑移兩部分，以粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ為代表的抗剪強度參數(shù)的變異性可使圍巖的強度變化很大。圖6和圖7分別給出了系數(shù)b=0.5時，圍巖塑性區(qū)半徑R和隧道洞壁位移uo隨粘聚力c及內(nèi)摩擦角φ的變化關(guān)系，Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答也標(biāo)于圖中。

由圖6、7可知，Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答均大于本文系數(shù)b=0.5時的結(jié)果，但隨著粘聚力c及內(nèi)摩擦角φ的增加，二者之間的差異在不斷減小。圍巖塑性區(qū)半徑R和隧道洞壁位移uo隨粘聚力c及內(nèi)摩擦角φ的增加均呈非線性減小，c=3.0 MPa時塑性區(qū)半徑R和洞壁位移uo分別比c=1.0 MPa時減小了29.4%、42.2%，φ=40°時二者比φ=20°時分別減小了47.1%、53.9%，可見粘聚力c及內(nèi)摩擦角φ對圍巖塑性區(qū)半徑R和隧道洞壁位移uo的影響顯著，且相比對隧道洞壁位移uo的影響更明顯。

圖6 圍巖抗剪強度參數(shù)對塑性區(qū)半徑的影響

圖7 圍巖抗剪強度參數(shù)對隧道洞壁位移的影響

4 結(jié)論

1)依據(jù)引入中間主應(yīng)力系數(shù)b的Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則，推導(dǎo)了圓形隧道圍巖應(yīng)力和位移的理想彈塑性解答，并利用文獻已有的Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答和Matsuoka-Nakai(SMP)準(zhǔn)則解答對其進行了比較與驗證，同時指出這兩個解答均為本文結(jié)果的特例，表明本文結(jié)果具有廣泛的適用性和較好的可比性。

2)圍巖塑性區(qū)半徑R和隧道洞壁位移uo關(guān)于中間主應(yīng)力系數(shù)b=0.5對稱，較好地反映了巖石強度的中間主應(yīng)力效應(yīng)及其區(qū)間性，相比Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則解答具有明顯的優(yōu)越性；粘聚力c及內(nèi)摩擦角φ對圍巖塑性區(qū)半徑R和隧道洞壁位移uo的影響顯著，且對隧道洞壁位移uo的影響更明顯。

[1] 許東俊, 耿乃光. 巖石強度隨中間主應(yīng)力變化規(guī)律[J]. 固體力學(xué)學(xué)報, 1985, 6(1):72-80.

Xu D J，Geng N G. The variation law of rock strength with increase of intermediate principal stress [J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 1985, 6(1):72-80.

[2] Haimson B C, Chang C. A new true triaxial cell for testing mechanical properties of rock, and its use to determine rock strength and deformability of westerly granite [J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2000, 37(1/2):285-296.

[3] Colmenares L B, Zoback M D. A statistical evaluation of intact rock failure criteria constrained by polyaxial test data for five different rocks [J]. International Journal of rock mechanics and Mining Sciences, 2002, 39(6):695-729.

[4] Jawger J C, Cook N G W. Fundamentals of Rock Mechanics [M]. London:Methuen and Co. Ltd., 1979.

[5] 劉夕才, 林韻梅. 軟巖擴容性對巷道圍巖特征曲線的影響[J]. 煤炭學(xué)報, 1996, 21(6):596-601.

Liu X C, Lin Y M. Effect of dilatancy of soft rocks on rock characteristic curves of tunnels [J]. Journal of China Coal Society, 1996, 21(6):596-601.

[6] Brown E T, Bray J W, Ladanyi B, et al. Ground response curves for rock tunnels [J]. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, 1983, 109(1):15-39.

[7] Sharan S K. Analytical solutions for stresses and displacements around a circular opening in a generalized Hoek-Brown rock [J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2008, 45(1):78-85.

[8] 胡小榮, 俞茂宏. 統(tǒng)一強度理論及其在巷道圍巖彈塑性分析中的應(yīng)用[J]. 中國有色金屬學(xué)報, 2002, 12(5):1021-1026.

Hu X R, Yu M H. Unified strength theory and its application in elasto-plastic analysis to tunnel [J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals, 2002, 12(5):1021-1026.

[9] 張常光, 趙均海, 張慶賀. 基于統(tǒng)一強度理論的深埋圓形巖石隧道收斂限制分析[J]. 巖土工程學(xué)報, 2012, 34(1):110-114.

Zhang C G, Zhao J H, Zhang Q H. Convergence-confinement analysis of deep circular rock tunnels based on unified strength theory [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2012, 34(1):110-114.

[10] 朱建明, 彭新坡, 徐金海. 基于SMP準(zhǔn)則的襯砌隧道圍巖抗力系數(shù)的計算[J]. 巖土工程學(xué)報, 2011, 33(5):700-704.

Zhu J M, Peng X P, Xu J H. Determination of rock resistant coefficient in lining tunnels based on SMP failure criterion [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2011, 33(5):700-704.

[11] 吳創(chuàng)周, 楊林德, 李秋實. 彈脆塑性圍巖應(yīng)力和位移的廣義SMP準(zhǔn)則解[J]. 工程力學(xué), 2013, 30(8):223-228.

Wu C Z, Yang L D, Li Q S. Perfect elastic-plastic-brittle-plastic solution of axisymmetric circular opening in rock mass on extended SMP criterion [J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(8):223-228.

[12] Mogi K. Effect of the intermediate principal stress on rock failure [J]. Journal of Geophysics Research,1967,72(20):5117-5131.

[13] Mogi K. Effect of the triaxial stress system on the failure of dolomite and limestone [J]. Tectonophysics, 1971, 11(11):111-127.

[14] Al-Ajmi A M, Zimmerman R W. Relation between the Mogi and the Coulomb failure criteria [J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2005, 42(3):431-439.

[15] Al-Ajmi A M, Zimmerman R W. Stability analysis of vertical boreholes using the Mogi-Coulomb failure criterion [J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2006, 43(8):1200-1211.

[16] Al-Ajmi A M, Zimmerman R W. A new well path optimization model for increased mechanical borehole stability [J]. Journal of Petroleum Science and Engineering, 2009, 69(1-2):53-62.

[17] Zhang L Y, Cao P, Radha K C. Evaluation of rock strength criteria for wellbore stability analysis [J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2010, 47(8):1304-1316.

[18] Benz T, Schwab R. A quantitative comparison of six rock failure criteria [J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2008, 45(7):1176-1186.

(編輯 胡 玲)

Elastic-PerfectlyPlasticSolutionofTunnelSurroundingRocksUsingMogi-CoulombStrengthCriterion

LyuCaizhong

(College of Civil Engineering and Architecture, Quzhou University, Quzhou 234000, Zhejiang P.R.China)

Reasonable choice of rock strength criteria is crucial for stress and displacement prediction and support design in tunnel engineering. Based on Mogi-Coulomb strength criterion and elastic-perfectly plastic model, analytical solutions of stress and displacement for surrounding rocks around a circular tunnel were derived The intermediate principal stress coefficient was used to present the intermediate principal stress effect. The results in this study were compared with the current solutions in the literatures and the influence of intermediate principal stress and shear strength parameters of surrounding rocks was discussed. The results showed extensive applicability and the Mohr-Coulomb strength criterion and Matsuoka-Nakai criterion are two special cases; when the intermediate principal stress coefficient b was equals to 0.5, the results indicated that the intermediate principal stress effect and its range for rock strength; the influence of cohesion and internal friction angle on the plastic radius and tunnel wall displacement was significant; Care should be taken to the effects of intermediate principal stress and shear strength parameter variations of surrounding rocks on tunnel design and construction.

tunnel engineering; Mogi-Coulomb strength criterion; elastic-perfectly plastic model; intermediate principal stress; stress and displacement

10.11835/j.issn.1674-4764.2014.06.009

2014-04-18

浙江省自然科學(xué)基金資助項目(Y1100210)

呂彩忠(1964-),男,副教授,主要從事土木工程設(shè)計與監(jiān)測研究，(E-mail)lvcz1964@163.com。

TU452

A

1674-4764(2014)06-0054-06