李和志，陳 輝

（江西科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，江西 南昌 330098）

軟巖巷道底板極限承載力研究

李和志，陳 輝

（江西科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，江西 南昌 330098）

軟巖巷道底板巖體在邊墻兩側(cè)松動(dòng)圍巖的作用下產(chǎn)生塑性變形是軟巖巷道產(chǎn)生底鼓現(xiàn)象的主要原因之一，底板極限承載力是判斷是否發(fā)生底鼓的理論依據(jù)。借助極限分析上限法，在軟巖巷道底板塑性區(qū)域建立滿足力學(xué)邊界條件的機(jī)動(dòng)場(chǎng)，推導(dǎo)出底板極限承載力的上限解公式；運(yùn)用極限分析下限法，以屈服條件和平衡方程為基礎(chǔ)，建立靜力場(chǎng)推導(dǎo)出底板極限承載力的下限解公式。所推導(dǎo)出的底板極限承載力上限解、下限解相等，且與已有研究成果——底板極限承載力滑移線解的公式一致，進(jìn)而得到軟巖巷道底板極限承載力精確解。

巷道；底板；極限承載力；極限分析法

0 引言

巷道頂?shù)装搴蛢蓚?cè)巖體變形并向巷道內(nèi)移動(dòng)，底板向上隆起的現(xiàn)象稱之為底鼓[1]。軟巖巷道底板巖體在邊墻兩側(cè)松動(dòng)圍巖的作用下產(chǎn)生塑性變形是軟巖巷道產(chǎn)生底鼓現(xiàn)象的主要原因之一。軟巖巷道底板極限承載力是判斷軟巖巷道是否發(fā)生底鼓的理論依據(jù)：當(dāng)作用于底板的荷載大于其極限承載力時(shí)，底板巖體進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)進(jìn)而產(chǎn)生底鼓現(xiàn)象。

鐘新谷教授[2～4]利用巖土塑性力學(xué)理論中的滑移線法分析了松軟圍巖巷道產(chǎn)生底鼓機(jī)理，推導(dǎo)出底板極限承載力公式，提出底板角錨桿防治底鼓的方法，確定了錨桿的支護(hù)參數(shù)。從極限分析理論來(lái)看，滑移線法所求出的極限荷載解既沒(méi)有證明符合上限定理，也沒(méi)有證明符合下限定理，故不能認(rèn)為是上限解，也不能認(rèn)為是下限解。所以，滑移法解不一定是精確解。

極限分析方法是以塑性上下限定理為理論依據(jù)的穩(wěn)定性分析方法，由上限定理通過(guò)構(gòu)筑運(yùn)動(dòng)許可的速度場(chǎng)界定真實(shí)解的上限，由下限定理通過(guò)構(gòu)筑全局靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)界定真實(shí)解的下限，從而限定真實(shí)解的嚴(yán)格范圍[5]。

本文借助上限定理極限分析法，在底板塑性區(qū)域建立滿足力學(xué)邊界條件的機(jī)動(dòng)場(chǎng)，推導(dǎo)出底板極限承載力的上限解公式；運(yùn)用下限定理極限分析法，以屈服條件和平衡方程為基礎(chǔ)，建立靜力場(chǎng)，推導(dǎo)出底板極限承載力的下限解公式。所推導(dǎo)出的底板極限承載力上限解、下限解相等，且與已有研究成果——底板極限承載力滑移線解的公式一致，進(jìn)而得到軟巖巷道底板極限承載力精確解。

1 上限定理極限分析法

為便于分析，認(rèn)為底板巖體為均質(zhì)莫爾-庫(kù)倫材料且不考慮其自重，忽略松動(dòng)圍巖與底板在水平方向的摩擦力。將巷道松動(dòng)圍巖作用于底板的壓力簡(jiǎn)化為條形荷載，則巷道底板相當(dāng)于承受承受條形荷載的地基。

上限定理就是假定的破壞機(jī)構(gòu)的外荷載所做的功(率)大于其內(nèi)部能量的損耗(率)，則土(巖)體不能承受所施加的荷載。對(duì)于一有效破壞機(jī)構(gòu)，令外力做的功(率)等于內(nèi)功(率)，則可求出極限荷載的一個(gè)不安全上限[6]。運(yùn)用上限定理求解極限荷載上限的方法是：建立機(jī)動(dòng)場(chǎng)，根據(jù)虛功率原理求解上限解。

當(dāng)巷道底板巖體應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到或超過(guò)莫爾-庫(kù)倫屈服條件，底板巖體進(jìn)入塑性流動(dòng)狀態(tài)。在底板巖層處建立Prandtl機(jī)動(dòng)場(chǎng)，如圖1所示。

圖1 Prandt l動(dòng)場(chǎng)

ABC區(qū)、DEF區(qū)、BDG區(qū)為均勻速度場(chǎng)，BCG區(qū)、DGF區(qū)為非均勻速度場(chǎng)[7]。ACGFE為剛塑性區(qū)分界線，故AC、CG、GF、EF均為速度間斷線。

先分析DEF區(qū)。DEF區(qū)為均勻速度場(chǎng)，速度用v′0表示。EF為速度間斷線，EF左側(cè)速度為v′0，右側(cè)速度為零，故質(zhì)點(diǎn)通過(guò)EF速度的改變即為v′0。而質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)速度區(qū)域穿過(guò)間斷線進(jìn)入到另一個(gè)速度區(qū)時(shí)，速度改變?chǔ)方向與速度間斷線成φ角[8]。由圖1可知∠DEF=π/2－φ，而v′0與EF邊成φ角，所以v′0垂直于EF邊。所以ABC區(qū)、DEF區(qū)在上部松動(dòng)圍巖作用下分別垂直BC、DF邊運(yùn)動(dòng)，速度大小為v′0。

圖2 變形楔體

再分析變形楔體DGF。將DGF分成n個(gè)剛體三角形，則每個(gè)剛體三角形的頂角為Δθ=θ/n，其中∠GDF=θ，如圖2所示。圖中v0、v1、v2…vn表示相對(duì)應(yīng)的剛體三角形的速度。GF為速度間斷線，當(dāng)Δθ足夠小時(shí)，v0、v1、v2…vn必垂直DF、DJ、DK、DL…DM。故變形楔體DGF、ABC分別繞D點(diǎn)與B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。

建立圖3的速度圖。Δv表示速度在速度間斷線處的改變量。δu與δv表示Δv在DJ方向和DJ垂直方向上的分量。當(dāng)Δθ足夠小時(shí)，有：

而在δu、δv與Δv組成的三角形內(nèi)，有：

綜合式（2～4），可得：

圖3 速度圖

同理可得：

依次類推可得：

則第n個(gè)剛體三角形的速度可表示為：

當(dāng)n→∞時(shí)，有：

式中：v-角度為θ時(shí)的速度。

根據(jù)上述結(jié)論，可以求出圖1中邊界DG在其右側(cè)的速度v′1，θ=π/2,即：

最后分析BDG區(qū)。BDG區(qū)為均勻速度區(qū)，其速度為DG邊右側(cè)速度與BG邊左側(cè)速度的合速度v′2，方向豎直向上，大小為：

DG、BG邊均為間斷線。在DG、BG邊速度的改變與v′2大小相等。

對(duì)于Coulomb材料，在長(zhǎng)度為l的的速度間斷面內(nèi)的能量消散率為[8]：

式中，Δvcosφ為速度改變?cè)陂g斷面的分量。

在間斷線EF上，位移速度為v′0，其長(zhǎng)度lEF，根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系可求出：

則在間斷線EF上的能量消散率：

同理可得到間斷線DG上的能量消散率：

變形楔體DGF的能量消散率是速度間斷面GF上的能量消散率與變形區(qū)DGF能量消散率之和。變形楔體DGF上對(duì)數(shù)螺旋線GF為速度間斷線。沿對(duì)數(shù)螺旋面上的能量消散率公式與楔體變形區(qū)能量消散率公式均為[9]：

式中符號(hào)所表示的含義，見(jiàn)如圖2。則DGF在變形區(qū)DGF和速度間斷面GF的總能量消散率為：

由于機(jī)動(dòng)場(chǎng)具有對(duì)稱性，故在間斷線AC、BG上的能量消散率WAC、WBG，變形楔體BCG的能量消散率WBG、BCG滿足：

外力q做的功率為：

虛功(率)原理表明：對(duì)于一個(gè)連續(xù)的變形體來(lái)說(shuō)，靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)在機(jī)動(dòng)容許的位移場(chǎng)上所作外(虛)功(率)等于內(nèi)(虛)功(率)[6]。所以有：

綜合式(13～14)、(16～19)，可求得隧道底板所能承受的極限承載力的上限解：

2 極限分析下限法

下限定理的表述為：當(dāng)在屈服點(diǎn)以下可以找出符合應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力平衡狀態(tài)，外荷載可由彈塑(剛塑)性材料構(gòu)成的穩(wěn)定的物體來(lái)承受而不產(chǎn)生破壞。運(yùn)用上限定理求解極限荷載下限的方法是：以屈服條件與平衡方程為基礎(chǔ)，建立一靜力場(chǎng)，再求出相應(yīng)的荷載，即極限荷載下限解。

在DFG區(qū)建立由n條應(yīng)力桿構(gòu)成的應(yīng)力場(chǎng)，相鄰應(yīng)力桿的夾角為Δθ=θ/n，其中∠GDF=θ，如圖4所示。則相當(dāng)于在底板BDEFG區(qū)域建立了由一水平桿與n條斜向的應(yīng)力桿的構(gòu)成應(yīng)力場(chǎng)。圖中N1、N2、N3、N4……、Nn為相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力桿桿號(hào)的軸向壓應(yīng)力。

單根桿N滿足屈服條件，可由圖5求出：

在應(yīng)力桿中引入符號(hào)：

式中：P——屈服時(shí)的平均應(yīng)力(均勻靜水壓力)；

S——屈服時(shí)的偏應(yīng)力(平面內(nèi)的最大剪力)。

P、S的關(guān)系可由莫爾-庫(kù)倫條件求出，見(jiàn)圖6。

圖4 物理平面

圖5 軸向壓應(yīng)力的M ohr-coul om b屈服條件

圖6 M ohr-coul om b屈服條件

兩應(yīng)力場(chǎng)疊加原理：靜水壓力疊加為代數(shù)和，剪應(yīng)力疊加為向量和，且兩剪應(yīng)力的夾角為兩應(yīng)力場(chǎng)主應(yīng)力夾角的二倍。由兩應(yīng)力場(chǎng)疊加原理可作出n條應(yīng)力桿的應(yīng)力矢量圖，如圖7所示。圖中S1、S2、S3、S4、S5……Sn表示相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力桿屈服時(shí)未疊加區(qū)域的偏應(yīng)力。S′0表示在BDG區(qū)水平應(yīng)力桿屈服時(shí)未疊加區(qū)域的偏應(yīng)力。S′1表示水平桿和1號(hào)桿在疊加區(qū)域屈服時(shí)的偏應(yīng)力，S′2表示水平桿、1號(hào)桿、2號(hào)桿疊加區(qū)域在屈服時(shí)的偏應(yīng)力，S′3表示水平桿、1號(hào)桿、2號(hào)桿、3號(hào)桿疊加區(qū)域屈服時(shí)的偏應(yīng)力，依次類推可知S′4、S′5、S′6……S′n所表示的含義。

圖7 應(yīng)力平面

根據(jù)兩應(yīng)力場(chǎng)疊加原理，結(jié)合圖7，有:

如圖8，當(dāng)Δθ在足夠小的情況下，存在：

圖8 應(yīng)力圖

綜合式（25～27），得：

同理可得：

綜合式(28～29)，得：

當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，有

通過(guò)取極限，圖7所示的應(yīng)力圖逐漸趨近于半對(duì)數(shù)螺線。

將式(31)代入式(23)可得：

由此可得DEF區(qū)的豎向應(yīng)力σv為：

于是得到底板極限承載力下限解：

3 極限承載力精確解

應(yīng)用極限分析上限法可得到極限荷載上限解P+，應(yīng)用下限定理極限分析法可得到極限荷載的下限解P－。精確解記為Pu，則有：

求得的下限解與上限解相等時(shí)，可得精確解：

本文求出的軟巖巷道底板極限承載力上限解、下限解滿足：

鐘新谷教授在文獻(xiàn)[2]中所推導(dǎo)的軟巖巷道底板極限承載力q(滑移線解)為：

綜合以上分析，可得軟巖巷道底板極限承載力精確解qu為：

qu為判斷軟巖巷道是否會(huì)發(fā)生底鼓的理論判斷依據(jù)，即當(dāng)傳遞到底板的松動(dòng)圍巖的靜水壓力γH(γ為圍巖容重，H為松動(dòng)圍巖高度)大于底板極限承載力qu時(shí)，則底板巖體將產(chǎn)生塑性變形，進(jìn)而發(fā)生底鼓現(xiàn)象。

4 結(jié)論

（1）應(yīng)用極限分析上限法，在底板塑性區(qū)域建立滿足力學(xué)邊界條件的機(jī)動(dòng)場(chǎng)，推導(dǎo)出底板極限承載力的上限解公式；

（2）應(yīng)用極限分析下限法，以屈服條件和平衡方程為基礎(chǔ)，建立靜力場(chǎng)，推導(dǎo)出底板極限承載力的下限解公式；

（3）所推導(dǎo)出的底板極限承載力上限解、下限解相等，且與已有研究成果——底板極限承載力滑移線解的公式一致，進(jìn)而得出軟巖巷道底板極限承載力精確解。

[1]姜耀東，趙毅鑫，劉文崗,等.深部開(kāi)采中巷道底鼓問(wèn)題的研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2004，23(14)：2396-2401.

[2]鐘新谷.錨桿防治軟巖巷道底臌的分析[J].力學(xué)與實(shí)踐,1994,16(4):37-40.

[3]鐘新谷.軟巖巷道底臌機(jī)理與支護(hù)對(duì)策分析[C].煤炭工業(yè)部科技教育司匯編.煤炭高等院校青年科學(xué)基金學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集.徐州:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,1995:206-211.

[4]鐘新谷，徐虎.管縫式錨桿防治軟巖巷道底臌的試驗(yàn)研究[J].巖土力學(xué),1996,17(1):16-21.

[5]秦會(huì)來(lái)，黃茂松，馬少坤.黏土基坑抗隆起穩(wěn)定分析的多塊體上限解[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010，29(1):73-81.

[6]陳惠發(fā).極限分析與土體塑性[M].詹世斌,譯.北京:人民交通出版社,1995:28-64.

[7]李和志.軟巖隧道底鼓機(jī)理分析及防治技術(shù)研究[碩士學(xué)位論文][D].湖南科技大學(xué),2012.

[8]龔曉南.土塑性力學(xué)(第二版)[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,1999.

[9]鄭穎人，龔曉南.巖土塑性力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社,1989.

（責(zé)任編輯：陳 輝）

Research on Ultimate Bearing Capacity of Floor Soft Rock Roadway

LI He-zhi,CHEN Hui
(School of Civil Engineering,Jiangxi University of Technology,Nanchang 330098,China)

One of main reasons which lead to soft rock roadway to produce floor-heave is that floor rock produces plastic deformation under the action of the loosen rock.The limit bearing capacity of the floor is theoretical foundation whether the floor-heave takes place or not.Building the maneuvering field that satisfies all conditions of mechanical boundary and the upper bound solution of ultimate bearing capacity of roadway floor is deduced by means of limit analysis upper bound method.On the basis of the yield condition and equations of equilibrium to build a statically admissible stress field and the lower solution of ultimate bearing capacity of roadway floor is solved by the lower bound limit analysis.The upper bound solution and the lower solution of ultimate bearing capacity of roadway floor which has been deduced are equal,and the results coincide with the existing results——the slip-line solution of ultimate bearing capacity of roadway floor,and then we can get the floor of the exact solution of soft rock roadway limit bearing capacity.

roadway；floor；ultimate bearing capacity；limit analysis method

TU452

A

123（2014）03-0029-05

2014-03-08

李和志（1985-），男，湖南雙峰人，江西科技學(xué)院土木工程學(xué)院，碩士，工程師。研究方向：隧道圍巖壓力、地基基礎(chǔ)及邊坡工程。

陳 輝（1980-），男，江西景德鎮(zhèn)人，江西科技學(xué)院土木工程學(xué)院，博士。研究方向：多孔介質(zhì)理論及其應(yīng)用研究、邊坡的監(jiān)測(cè)與處置。