羅 宇， 王力工

(西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 中國(guó) 西安 710072)

一類圖及其線圖的Wiener指數(shù)

羅 宇， 王力工

(西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 中國(guó) 西安 710072)

Wiener指數(shù)W(G)是指一個(gè)連通圖G中所有頂點(diǎn)對(duì)之間的距離之和.本文定義了一類具有圈數(shù)為r，圍長(zhǎng)為n的平面圖Gr,s,t,n，證明了對(duì)于滿足特定條件的正整數(shù)r,s,t,n，存在無窮個(gè)這樣的圖Gr,s,t,n，滿足性質(zhì)W(Gr,s,t,n)=W(L(Gr,s,t,n))，這里L(fēng)(Gr,s,t,n)表示圖Gr,s,t,n的線圖， 推廣了蘇曉海等人的結(jié)果.

Wiener指數(shù)；線圖；圍長(zhǎng)

設(shè)圖G是一個(gè)具有頂點(diǎn)集V(G)={v1,v2,…,vn}和邊集E(G)={e1,e2,…,em}的簡(jiǎn)單無向連通圖.圖G的頂點(diǎn)數(shù)n稱為圖G的階數(shù)， 也記為n(G). 圖G的線圖L(G)是指它的頂點(diǎn)集V(L(G))=E(G),線圖L(G)中兩個(gè)互異的頂點(diǎn)相鄰當(dāng)且僅當(dāng)在圖G中相對(duì)應(yīng)的兩條邊有一個(gè)公共頂點(diǎn). 一個(gè)圖G的圈數(shù)λ定義為λ(G)=m-n+1.

在本文中,作者的主要目標(biāo)是找出滿足下列等式的具有特定結(jié)構(gòu)的圖類，

W(L(G))=W(G) .

(1)

已知樹的Wiener指數(shù)和其線圖的Wiener指數(shù)總是不相等的[5]，對(duì)于單圈圖，除了圈圖Cn之外，均滿足W(L(G)) g0)且圈數(shù)為2的平面非二部圖滿足等式(1). 在文獻(xiàn)[14]中蘇曉海等人分別研究了圈數(shù)r≥7的平面二部圖和圈數(shù)r≥9的平面非二部圖滿足等式(1).在本文中，作者構(gòu)造出了圍長(zhǎng)為n和圈數(shù)r的平面圖Gr,s,t,n滿足性質(zhì)(1)，并證明了這樣的圖有無窮多個(gè)，推廣了[14]的結(jié)果.

1 相關(guān)引理

為了便于計(jì)算圖的Wiener指數(shù)，先介紹兩個(gè)引理：

引理1[3]設(shè)G1和G2是任意兩個(gè)圖，v1∈V(G1)，v2∈V(G2)，且圖G是將圖G1的頂點(diǎn)v1和圖G2的頂點(diǎn)v2重疊后得到的圖，則圖G的Wiener指數(shù)為：

W(G)=W(G1)+W(G2)+(n(G1)-1)dG2(v2)+(n(G2)-1)dG1(v1).

引理2[15]設(shè)a為正整數(shù)，則不定方程x2-y2=a有解的充分必要條件是a為奇數(shù)或4 的倍數(shù).

2 主要結(jié)果

考慮如圖1所示的圖Gr,s,t,n，它的圈數(shù)為r，圍長(zhǎng)是n(n為正整數(shù)且n≥ 3)，圖中的每個(gè)圈都是Cn，階為nr+s+t+2，對(duì)于每一組正整數(shù)r,s,t和n，Gr,s,t,n都是簡(jiǎn)單平面圖，其線圖L(Gr,s,t,n)的具體結(jié)構(gòu)見圖1，其中它的完全子圖中部分邊沒有畫出.

定理1 圖1中圖Gr,s,t,n的Wiener指數(shù)為：

A.n=2k-1時(shí)，L(Gr,s,t,n) B.n=2k時(shí)，L(Gr,s,t,n)

(2)當(dāng)n=2k時(shí)，W(Gr,s,t,n)=(2k3+4k2)r2+s2+t2+3st+(k2+4k)sr+(k2+6k)rt-(k3+2k2-6k)r+2s+2t+1.

(2)當(dāng)n=2k時(shí)，由Wiener指數(shù)的定義可得：W(G1)=(2k3+4k2)r2-(k3+3k2-2k)r,dG1(v)=(k2+2k)r,n(G1)=2kr+1,W(G2)=s2+t2+3st+2s+2t+1,dG2(v)=s+2t+1,n(G2)=s+t+2. 由引理1可得(2)成立．

定理2 圖1中圖Gr,s,t,n和L(Gr,s,t,n)，設(shè)ΔW(Gr,s,t,n)=W(L(Gr,s,t,n))-W(Gr,s,t,n)，則有：

定理3 對(duì)于圖1中圖Gr,s,t,n，當(dāng)r,s,t,k,l均為正整數(shù)，且滿足下列條件之一，則有ΔW(Gr,s,t,n)=0，即W(L(Gr,s,t,n))=W(Gr,s,t,n).

[2s+ 2t+ 2(k-3)r+ 3]2- 4k2r2=(8k2+28)r2-8sr-(8k2+28k+4)r+1.

引入任意正整數(shù)l，上式兩邊分別減去(8kl+4l2)r2，左邊配方得

[2s+2t+2(k-3)r+3]2-[(2k+2l)r]2=(8k2-8kl-4l2+28)r2-8sr-(8k2+28k+4)r+1.

令x=2s+2t+2(k-3)r+3，y=(2k+2l)r，有

x2-y2=(8k2-8kl-4l2+28)r2-8sr-(8k2+28k+4)r+1.

顯然上式等號(hào)右邊是一個(gè)奇數(shù)，故x+y和x-y也是奇數(shù)，不妨令

其中s+t+1=(l+3)r.于是定理3(1)的結(jié)果成立.

[2s+2t+2(k-2)r+3]2- 4k2r2=(8k2+8k+20)r2-8sr-(8k2+28k+4)r+1.

引入任意正整數(shù)l，上式兩邊分別減去(8kl+4l2)r2左邊配方得到：

[2s+2t+2(k-2)r+3]2-[(2k+2l)r]2=[8k2-(8l-8)k-4l2+20]r2-8sr-(8k2+28k+20)r+1.

其中s+t+=(l+2)r.于是定理3(2)的結(jié)果成立.

推論1 當(dāng)正整數(shù)n,k,r,s,t,l滿足下列條件之一，W(L(Gr,s,t,n))=W(Gr,s,t,n)成立.

(4)n=6，k=3，l=2，s=r-25,t=4r+24,r≥25是整數(shù)；

(5)n=7，k=4，l=3，s=3r-34,t=3r+33,r≥12是整數(shù)；

注當(dāng)n=8，k=4 時(shí)，在0

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[15] 潘承洞，潘承彪. 初等數(shù)論[M]. 北京：北京大學(xué)出版社, 1994.

(編輯 沈小玲)

Wiener Index for a Class of Graphs and Their Line Graphs

LUOYu,WANGLi-gong*

(Department of Applied Mathematics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

The Wiener indexW(G) of a connected graphGis the sum of distances among all pairs of vertices ofG. A class of planar graphGr,s,t,nwith cyclomatic numberrand girthnis defined. It is proved that for given positive integersr,s,t,n, there are infinite families of graphsGr,s,t,nhaving the propertyW(Gr,s,t,n)=W(L(Gr,s,t,n)), whereL(Gr,s,t,n) is the line graph ofGr,s,t,n. These results generalize the results of Xiaohai Su et al.

Wiener index; line graph; girth

2012-11-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171273)；國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目(20120699107)

*

,E-maillgwangmath@163.com

O157.5

A

1000-2537(2014)01-0081-05