林躍峰

(漳州城市職業(yè)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理系，中國(guó) 漳州 363000)

交錯(cuò)三角格的鏈環(huán)分支數(shù)的進(jìn)一步結(jié)論

林躍峰*

(漳州城市職業(yè)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理系，中國(guó) 漳州 363000)

鏈環(huán)投影圖與符號(hào)平圖有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種對(duì)應(yīng)被應(yīng)用于構(gòu)造鏈環(huán)圖表.研究平圖對(duì)應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù),是研究通過(guò)平圖的中間圖構(gòu)造所對(duì)應(yīng)的鏈環(huán)的基本問(wèn)題之一.給出了關(guān)于交錯(cuò)三角格圖的鏈環(huán)分支數(shù)的進(jìn)一步結(jié)論.

交錯(cuò)三角格圖;Reidemeister變換; 鏈環(huán)分支數(shù)

平面圖的平面嵌入稱(chēng)為平圖,即無(wú)符號(hào)平圖.給一個(gè)連通平圖G,定義G的中間圖M(G)如下:若G是一個(gè)平凡圖,則M(G)是圍繞G的頂點(diǎn)的一條簡(jiǎn)單閉曲線;若G是一個(gè)非平凡圖,則M(G)的頂點(diǎn)是G的邊,G的面f=v1e1v2e2…vnenv1確定M(G)的位于面f內(nèi)的兩兩不相交的n條邊{eiei+1:1≤i≤n-1}∪{ene1},特別地,G的環(huán)面f=vev確定M(G)的以e為頂點(diǎn)的位于面f內(nèi)的一個(gè)環(huán).因此,每個(gè)連通平圖G的中間圖M(G)都是4-正則連通平圖[1].

在紐結(jié)理論中,鏈環(huán)分支數(shù)是鏈環(huán)的一個(gè)不變量.由一個(gè)平圖得到的鏈環(huán)的分支數(shù)不依賴于平面圖的平面嵌入方式[2].文獻(xiàn)[3]研究平圖G的左右回路數(shù),即平圖G對(duì)應(yīng)的中間圖M(G)的直走閉跡回路數(shù)[4],即平圖G通過(guò)中間圖M(G)構(gòu)造所對(duì)應(yīng)的鏈環(huán)圖L(G)的鏈環(huán)投影圖D(G)的連通分支數(shù),即平圖G的鏈環(huán)分支數(shù)[5-6],記為μ(D(G)).文獻(xiàn)[2，7]分別研究了二維方格圖Lm×n=Pm×Pn和三角格圖Tm×n的鏈環(huán)分支數(shù).文獻(xiàn)[8]研究交錯(cuò)三角格圖ATm×n(即由二維方格圖Lm×n的每個(gè)小方格內(nèi)分別增加一條對(duì)角邊,其左起奇數(shù)(偶數(shù))列的小方格內(nèi)增加的對(duì)角邊以該小方格左下(上)角和右上(下)角的頂點(diǎn)為兩端點(diǎn),所得的m×n三角格圖)的鏈環(huán)分支數(shù),證明了交錯(cuò)三角格圖ATm×(2m-2)(m≥2)和ATm×n(2≤m≤4)的鏈環(huán)分支數(shù).關(guān)于圖的結(jié)構(gòu)和平圖的鏈環(huán)分支數(shù)有關(guān)的工作,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9～13].本文延續(xù)文獻(xiàn)[8]的工作,給出交錯(cuò)三角格圖ATm×n(m=5,6,7,8)的鏈環(huán)分支數(shù)的計(jì)數(shù).

1 幾個(gè)已知的引理

約定無(wú)符號(hào)平圖的3類(lèi)Reidemeister變換簡(jiǎn)記為平圖的R-變換[8],約定G1∪G2表示兩個(gè)圖G1和G2的不交并.

引理1[14]平圖在R-變換下不改變其對(duì)應(yīng)的鏈環(huán)分支數(shù).

引理2[2]平圖G中,μ(D(G))=k當(dāng)且僅當(dāng)G能通過(guò)有限次無(wú)符號(hào)平圖的R-變換變換為空?qǐng)DOk.

引理3[2]設(shè)G和H是兩個(gè)平圖,x1,x2,…,xn和u1,u2,…,un分別是G的外部面F的n個(gè)頂點(diǎn)和H的某個(gè)面的n個(gè)頂點(diǎn).對(duì)于每個(gè)i(i=1,2,…,n),當(dāng)dG(xi)≤1時(shí),設(shè)Ci是D(G)的圍繞G的頂點(diǎn)xi且將xi與G其他頂點(diǎn)分離的分支;當(dāng)dG(xi)>1時(shí),設(shè)Ci是D(G)的連續(xù)穿過(guò)面F的邊界上的頂點(diǎn)xi的連續(xù)的兩條關(guān)聯(lián)邊,且與G的這兩個(gè)交叉點(diǎn)之間的連邊在面F內(nèi)的分支.若μ(D(G))=n且D(G)的分支C1,C2,…,Cn兩兩不同,則μ(D(G(x1,x2,…,xn)∪H(u1,u2,…,un)))=μ(D(H)).

引理4[2]設(shè)m是正整數(shù),則μ(D(Lm×m))=m.

由二維m×n方格圖Lm×n對(duì)左起第一列方格中的每一個(gè)小方格分別都增加一條以該小方格左下角和右上角的頂點(diǎn)為兩端點(diǎn)的對(duì)角邊,且對(duì)最后一行的除左起第一條邊之外的每一條邊分別都新增一個(gè)剖分點(diǎn),所得的m×n格圖記為圖Bm×n.

引理5[8]設(shè)m是正整數(shù),且m≥2,則μ(D(Bm×m))=m.

引理6[8]設(shè)m,n是正整數(shù),m≥2.若n=0(mod 2m-1),則μ(D(ATm×n))=1.

引理7[8]設(shè)m,n是正整數(shù),m≥2,n>2m-1,則μ(D(ATm×n))=μ(D(ATm×(n-2m+1))).

約定,gcd(p,q)表示正整數(shù)p和q的最大公約數(shù).

2 交錯(cuò)三角格圖ATm×n(m=5,6,7,8)的鏈環(huán)分支數(shù)

本節(jié)研究并證明交錯(cuò)三角格圖ATm×n(m=5,6,7,8)的鏈環(huán)分支數(shù).

圖1 平圖的σ-變換Fig.1 Plane graphical σ-transformation

由二維m×n方格圖Lm×n對(duì)第一行的每一條邊分別都新增一個(gè)剖分點(diǎn),所得m×n格圖記為圖Cm×n.

引理11 設(shè)m是正整數(shù),則μ(D(Cm×m))=1.

又k+1=(k-8) (mod 9),故

根據(jù)歸納法原理,定理1成立.

仿定理1的證明,可以證明下面的定理2和定理3.證明過(guò)程略.

又k+1=(k-14) (mod 15),故

根據(jù)歸納法原理,定理4成立.

致謝作者的導(dǎo)師金賢安老師提出了格圖的鏈環(huán)分支數(shù)問(wèn)題,并對(duì)本文的研究提出了許多寶貴建議.在此表示感謝!

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(編輯 沈小玲)

Further Conclusions on the Link Component Number of Alternating Triangular Lattices

LINYue-feng*

(Department of Economic Management, Zhangzhou City Vocational College, Zhangzhou 363000, China)

There is a one-to-one correspondence between signed plane graphs and link diagrams, which was once used to link tabulations. Determining the component number of links corresponding to plane graphs is one of the basic problems in studying links via graphs. Further conclusions on the link component number of alternating triangular lattices are obtained.

alternating triangular lattices; Reidemeister move; link component number

2012-11-25

福建省教育廳A類(lèi)科技基金資助項(xiàng)目(JA11332)

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,E-mailgads707@163.com

O157.5

A

1000-2537(2014)01-0086-04