黃介武

(貴州民族大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 貴陽(yáng) 550025)

關(guān)于有界線性算子的幾個(gè)不等式

黃介武*

(貴州民族大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 貴陽(yáng) 550025)

通過利用一個(gè)算子恒等式和關(guān)于多個(gè)算子的Bohr不等式，得到了關(guān)于有界線性算子的幾個(gè)不等式，所得結(jié)果是同行前期結(jié)果的改進(jìn).同時(shí)，通過利用改進(jìn)的幾何-算術(shù)平均值不等式，得到了關(guān)于算子幾何均值和算術(shù)均值的一個(gè)不等式，所得結(jié)果推廣了現(xiàn)有的一個(gè)不等式.

有界線性算子；Bohr不等式；幾何-算術(shù)平均值不等式

用B(H)表示由可分Hilbert空間H上所有有界線性算子生成的代數(shù).設(shè)A∈B(H),則它的絕對(duì)值算子定義為：|A|=(A*A)1/2,其中A*表示A的共軛算子.設(shè)A，B∈B(H)為可逆正算子，它們的幾何均值和算子相對(duì)熵被分別定義為

A#B=A1/2(A-1/2BA-1/2)1/2A1/2，S(A|B)=A1/2log(A-1/2BA-1/2)A1/2.

關(guān)于算子幾何均值、相對(duì)算子熵的更多信息可參見文獻(xiàn)[1～2].

經(jīng)典的Bohr不等式是說，對(duì)于任意的z1,z2∈C以及p,q>1,有

|z1-z2|2≤p|z1|2+q|z2|2.

(1)

Zou和He在文獻(xiàn)[10]中得到了不等式(1)的一個(gè)改進(jìn)：對(duì)于任意的1≤i≤k,都有

(2)

其中ti≠1.定義矩陣Y=[yjs]∈Mk,其中

Zou和He在文獻(xiàn)[10]中也得到了下面的兩個(gè)結(jié)果：若Y≤0,則對(duì)于任意的1≤i≤k,都有

(3)

若Y≥0,則對(duì)于任意的1≤i≤k,都有

(4)

設(shè)B，C∈B(H).Merris和Pierce在文獻(xiàn)[11]中證明了：若B為正算子且C是可逆的，則

C*((C*)-1BC-1)1-vC≤vA+(1-v)B,

(5)

(6)

這就是著名的幾何-算術(shù)平均值不等式的算子版本.最近，Zou在文獻(xiàn)[12]中得到了不等式(6)的一個(gè)改進(jìn)：

(7)

本文首先改進(jìn)了不等式(2)～(4)，同時(shí)我們也得到了不等式(7)的一個(gè)推廣.

1 主要結(jié)果

在這節(jié)中，我們首先給出不等式(2)的一個(gè)改進(jìn).

引理1[8]設(shè)A,B∈B(H),則對(duì)于任意的α∈R,有

α(1-α)|A-B|2+|αA+(1-α)B|2=α|A|2+(1-α)|B|2.

(8)

證注意到

因此有

證畢.

定理2設(shè)Aj∈B(H),j=1,…,k.若Y≤0,則對(duì)于任意的1≤i≤k,都有

(9)

證畢.

注1因?yàn)?≤αi,ti<1,所以

可知不等式(8)是不等式(2)的一個(gè)改進(jìn)，不等式(9)是不等式(3)的一個(gè)改進(jìn).

定理3設(shè)Aj∈B(H),j=1,…,k.若Y≥0,則對(duì)于任意的1≤i≤k,都有

(10)

證畢.

注2因?yàn)?≤αi<1,所以min{αi,1-αi}≥αi(1-αi).可知不等式(10)是不等式(4)的一個(gè)改進(jìn).同時(shí)，若αi=0,則由本文的定理2和3可得文獻(xiàn)[7]中的定理26.

接下來，我們給出不等式(7)的一個(gè)推廣.

引理2[12]設(shè)a,b>0,則

定理4設(shè)B，C∈B(H).若B為正算子且C是可逆的，則

(11)

不等式兩邊同時(shí)左乘C*,右乘C有

上面這個(gè)不等式等價(jià)于

于是可得

其中

注3在不等式(11)中取C=A1/2可得不等式(7).

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(編輯 沈小玲)

On Some Inequalities for Bounded Linear Operators

HUANGJie-wu*

(College of Science, Guizhou Minzu University, Guiyang 550025, China)

Some inequalities for bounded linear operators are obtained by using an operator identity and Bohr inequality on some operators, the results are renements and generalizations of some existing inequalities. Also, an inequality on the operator geometric mean and arithmetic mean is obtained by using the improved arithmetic-geometric mean inequality, the result is an extension of the existing inequality.

bounded linear operators; Bohr inequality; geometric-arithmetic mean inequality

2014-04-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61263034)

*

,E-mail：huangjiewu@gzmu.edu.cn

O151.21

A

1000-2537(2014)04-0092-04