和玲超 ，龐 晶，趙忠龍

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 呼和浩特 010051;2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 徐州 221116)

應(yīng)用Bernoulli型簡(jiǎn)單方程求(2+1)維KP方程的精確行波解

和玲超1，龐 晶1*，趙忠龍2

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 呼和浩特 010051;2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 徐州 221116)

利用行波變換把(2+1)維KP方程化成常微分方程，再運(yùn)用簡(jiǎn)單方程法求解(2+1)維KP方程的行波解. 文中選取 Bernoulli方程為簡(jiǎn)單方程.將由KP方程所化成的常微分方程分成兩部分：一部分包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，另一部分為方程其他部分. 然后, 平衡最高次冪的非線性項(xiàng)所產(chǎn)生的最高次數(shù)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)所產(chǎn)生的最高項(xiàng)的次數(shù)，得到平衡方程，確定解的形式. 最后解得(2+1)維KP方程的行波解.

簡(jiǎn)單方程法；(2+1)維KP方程；精確行波解

在過(guò)去的30年里, 非線性偏微分方程數(shù)學(xué)模型廣泛應(yīng)用于自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中. 比如流體力學(xué)和湍流理論, 神經(jīng)學(xué)，混沌理論和生態(tài)學(xué)，孤子理論，生物學(xué)，動(dòng)力系統(tǒng)理論等. 模型中的偏微分方程的精確解在以下幾方面有著重要的用途. 首先這些解描述了不同類(lèi)型的波. 在研究海底暗流，石油鉆探和海洋開(kāi)發(fā)等方面有廣泛的應(yīng)用. 其次，在所研究的系統(tǒng)中，特解可以作為程序模擬過(guò)程中計(jì)算機(jī)的初始條件，為計(jì)算機(jī)軟件的開(kāi)發(fā)提供理論支撐. 求解偏微分方程精確解中著名的方法有反散射變換和Hirota方法[1]. 在多年研究課題中，許多獲得非線性偏微分方程精確解的方法已經(jīng)得到了發(fā)展. 通過(guò)這些方法，許多方程的精確解已經(jīng)獲得. 比如Kuramoto-Sivasinsky方程[2]， sine-Gordon 方程[3-5]，Korteweg-de Vries方程[6],種群動(dòng)態(tài)模型方程，Poisson-Boltzmann方程[7]等.而獲得非線性偏微分方程的精確解和近似解的一個(gè)直接的方法是簡(jiǎn)單方程方法[8-12]. 該方法或修正的簡(jiǎn)單方程方法已應(yīng)用于許多非線性偏微分方程，如Fisher方程，反應(yīng)類(lèi)擴(kuò)散和反應(yīng)的電報(bào)方程[13]，廣義Kuramoto-Sivasinsky方程[14]，廣義Swift-Hohenberg方程和廣義Rayleigh方程[15]．在本文中，作者將運(yùn)用簡(jiǎn)單方程方法得到(2+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程的精確行波解.

1 方法的引入

1.1 用簡(jiǎn)單方程法研究非線性偏微分方程.

假設(shè)一個(gè)偏微分方程經(jīng)過(guò)行波變換化成如下形式的常微分方程：

(1)

這個(gè)方程的精確解可以構(gòu)造成如下級(jí)數(shù)形式.

(2)

其中G(ξ)是一些常微分方程也就是所說(shuō)的簡(jiǎn)單方程的解，所選取的簡(jiǎn)單方程應(yīng)具有下面兩條性質(zhì)：

(ⅰ)簡(jiǎn)單方程的階數(shù)比方程(1)的階數(shù)低;

(ⅱ)知道簡(jiǎn)單方程的一般解或者至少知道簡(jiǎn)單方程的一個(gè)特殊的解.

本文中，選Bernoulli方程作為簡(jiǎn)單方程，它擁有的精確解可由初等函數(shù)構(gòu)造得到.所選的Bernoulli方程形式如下：

(3)

其中k是整數(shù)，k>1,有如下形式的解：

這里c,d為常數(shù)，C為積分常數(shù).

1.2 平衡方程法

下面尋找方程(1)具有(2)形式的解.把(2),(3)代入(1)得到如下形式的多項(xiàng)式方程：

H=κrGr+κr-1Gr-1+…+κ0=0,

(4)

其中r為整數(shù)，當(dāng)方程(4)的系數(shù)全為0時(shí)，求解得到的對(duì)應(yīng)代數(shù)方程組，可以得到方程(1)的解, 其中κl是關(guān)于A0,A1,…,AM,c,d, 和方程(1)系數(shù)的多項(xiàng)式.

令κl=0,l=r,r-1,…,0,得到一個(gè)非線性代數(shù)系統(tǒng). 為了確保得到的代數(shù)方程組中的每個(gè)方程至少有兩項(xiàng), 必須平衡多項(xiàng)式方程(4)的最高次冪.事實(shí)上，容易觀察到只要平衡(1) 最高次冪的非線性項(xiàng)所產(chǎn)生的最高次數(shù)和(1)中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)所產(chǎn)生的最高項(xiàng)的次數(shù)即可．

若方程(1)的具體形式為

(5)

則簡(jiǎn)單方程為Bernoulli方程時(shí)，平衡方程為：

ZM=M+N(k-1).

2 應(yīng)用Bernoulli型簡(jiǎn)單方程求(2+1)維KP方程的精確行波解

Kadomtsev-Petviashvili方程(簡(jiǎn)稱(chēng)KP方程)：

(6)

其中α,γ,ε均為自由參數(shù).方程(6)可看作KdV方程在高維情形下的推廣，它用于描述水波的運(yùn)動(dòng)，最早由Kadomtsev和Petviashvili提出.

假設(shè)KP方程的行波解為：u(x,y,t)=ψ(ξ),ξ=x-st+wy，其中s為波速，w為y方向上的波數(shù).

方程(7)經(jīng)過(guò)行波變換后，關(guān)于ξ積分兩次得

(7)

B1ψ″+B2ψ+B3ψ2=0.

(8)

考慮方程(7)具有如下形式的解：

其中G(ξ)滿(mǎn)足Bernoulli方程,M是正整數(shù)，M可由1.2節(jié)中的平衡程序得到.

M+2(k-1)=2M,

當(dāng)k=2時(shí)，M=2.

因此解的形式如下：

ψ(ξ)=A0+A1G+A2G2,G=G(ξ).

(9)

把(9)式帶入方程(8)使所有有關(guān)Gi的項(xiàng)的系數(shù)為0，即可得到一個(gè)關(guān)于A0，A1和A2代數(shù)方程系統(tǒng)，這些代數(shù)方程為：

A1B1c2+A1B2+2A0A1B3=0,

2A1B1d2+10A2B1cd+2A1A2B3=0,

(10)

其中B1,B2和B3是方程(8)中的系數(shù)，解代數(shù)方程(10)，得

當(dāng)c>0和d<0時(shí)，方程(8)的解為

當(dāng)c<0和d>0時(shí)，方程(8)的解為

C為積分常數(shù).

(11)

(12)

利用Mathematica軟件，繪出自由參數(shù)α=1,γ=1,ε=1時(shí)解(11)的ξ-u平面上的行波圖，見(jiàn)圖1.

圖1 解(11)的孤波圖Fig.1 Profile of solution (11)

從圖1可見(jiàn)，解(11)的圖像是光滑可微的，ξ→±∞時(shí)，u→-6，可見(jiàn)方程的行波解是局部化的孤立波解，此時(shí)孤子解的波形為鐘狀.

圖2 解(11)的孤波圖 圖3 解(11)的孤波圖Fig.2 Profile of solution (11) Fig.3 Profile of solution (11)

注平衡方程ZM=M+N(k-1)中,Z是方程(5)中非線性項(xiàng)的最高次數(shù)，M是多項(xiàng)式(2)式的最高次冪的次數(shù)，k是所選Bernoulli方程中的參數(shù).

3 結(jié)束語(yǔ)

近年來(lái), 簡(jiǎn)單方程法首先由Kudryashov等人提出, 并應(yīng)用于一些偏微分方程的求解, 得到許多孤子解. 本文主要研究(2+1)維KP方程, 目的是求得它的精確行波解. 簡(jiǎn)單方程法是一種有效的求偏微分方程精確解的方法, 本文選取了比較熟悉的Bernoulli方程為簡(jiǎn)單方程, 求得KP方程的新解, 由于方程中的系數(shù)α,γ,ε是自由參數(shù), 所以求得的解是一系列方程的解，對(duì)于研究水波運(yùn)動(dòng)有重要意義. 該方法的核心是平衡方程思想的運(yùn)用. 本文用k=2去平衡, 而進(jìn)一步的研究可以選k=3,k=4,…的情形, 求得KP方程更多的解. 本文所得到的解是新解與文獻(xiàn)[16～17]中的解不同，所解的KP方程自由參數(shù)更多，得到更一般的解. 更重要的是運(yùn)用本文的思想可以研究更多的非線性偏微分方程, 求得它們的精確解, 為工程計(jì)算，人口學(xué)，計(jì)算科學(xué)等學(xué)科的非線性偏微分方程模型研究工作提供求得此類(lèi)精確解的理論依據(jù).

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(編輯 沈小玲)

Application of Simplest Equations to Bernoulli Kind for Obtaining Exact Traveling-Wave Solutions for the (2+1)-Dimensional KP Equation

HELing-chao1,PANGJing1*,ZHAOZhong-long2

(1.College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China; 2.College of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

Traveling-wave coordinate is used for transforming KP equation to a nonlinear ordinary differential equation. The traveling-wave solutions of KP equation are obtained by the method of the simplest equation when the simplest equation is the Bernoulli equation. The nonlinear ordinary equation is divided into two parts: part A contains the derivatives, and part B contains the rest of the equation. Then,balancing the highest powers of the polynomials for the parts A and B and a balance equation is obtained which depends on the kind of the simplest equation, the form of solution is determined. Finally, the new traveling-wave solutions of the KP equation are obtained.

method of simplest equation; (2+1)-dimensional KP equation; exact traveling-wave solutions

2013-04-01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071159); 內(nèi)蒙古高等學(xué)校研究重點(diǎn)項(xiàng)目(NJ2214053)

*

,E-mail：pang_j@imut.edu.cn

O175.29

A

1000-2537(2014)04-0082-05