初元紅,孫貴玲

(黃河科技學(xué)院，中國(guó) 鄭州 450063)

用改進(jìn)的Newton法求解非線性奇異問(wèn)題

初元紅*,孫貴玲

(黃河科技學(xué)院，中國(guó) 鄭州 450063)

在Hilbert空間，將外推技巧和Newton法相結(jié)合，得到新的迭代格式.用其求解奇異問(wèn)題，使改進(jìn)的Newton法收斂速率由0.5提高到0.333 3．此結(jié)論對(duì)一般的Banach空間同樣適用.

Hilbert空間；改進(jìn)的Newton法；奇異問(wèn)題

設(shè)F是Hilbert空間E上的C3非線性算子，x*是非線性方程

F(x)=0

(1)

的解(即F(x*)=0)．解非線性方程最重要的方法之一是Newton法，它的迭代程序如下：

xn+1=xn-F′(xn)-1F(xn).

(2)

當(dāng)F′(x*)是奇異的(即F′(x*)-1不存在)，Newton法在一個(gè)星形區(qū)域內(nèi)仍然收斂，且在x*處的收斂率為0.5[1]．本文利用Hilbert空間的幾何特征，將外推技巧和Newton法相結(jié)合，用來(lái)求解非線性奇異問(wèn)題，得到新的迭代格式，使Newton法的收斂率由0.5提高到0.333 3，提高了算法的效用．

1 主要引理

引理1[1-4]設(shè)(1)dim(N)=1，(2)F″(x*)(N,N)∩X={0}，(3) ‖F(xiàn)″(x*)nx‖≥c1·‖n‖·‖x‖ 其中n∈N,x∈X,c1>0，則存在ρ>0,θ>0，使得當(dāng)x∈w(ρ,θ)，F(xiàn)′(x)-1存在，映射Gx=x-F′(x)-1F(x)為w(ρ,θ)到自身的映射，且存在C1>0,對(duì)于任意x∈w(ρ,θ)，有‖F(xiàn)′(x)-1‖≤C1‖x-x*‖-1．此外，若x0∈w(ρ,θ)，xn+1=G(xn)，則序列{xn}收斂于x*，且有下列估計(jì)：

(3)

(4)

引理2[5]設(shè)E是Hilbert空間，?x,y∈E，t為參數(shù)，則有

‖tx+(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x-y‖2.

(5)

引理3[6]存在C3>0，對(duì)任意的y∈X，x∈w(ρ,θ)，有‖F(xiàn)′(x)y‖≥C3‖y‖.

2 主要定理

根據(jù)[7-10]作者提出如下改進(jìn)迭代格式：

(6)

這里tn是依賴(lài)于n的待定常數(shù)．在奇異點(diǎn)附近，Newton在F′(x*)的零空間N方向收斂速度特別慢，作者主要想法是選擇適當(dāng)tn，從而加速迭代格式(6) 的收斂速度．

(7)

利用Hilbert空間的特征等式(5)得：

(8)

(9)

(10)

下面估計(jì)‖xn+1-xn‖.由Newton法xn+1=xn-F′(xn)-1F(xn)可知：

xn+1-xn=-F′(xn)-1F(xn).

利用泰勒展開(kāi)式有：

兩邊同乘F′(xn)-1得：

(11)

再由泰勒展開(kāi)式：

F′(x*)=F′(xn)+F″(xn)(x*-xn)+β2(xn),

F″(xn)(x*-xn)=F′(x*)-F′(xn)+β2(xn).

(12)

將(12)代入(11)得：

由(10)得：

兩邊同時(shí)除以‖xn-x*‖得：

(13)

這說(shuō)明對(duì)于一般的Banach空間，改進(jìn)的Newton法在零空間收斂的速度為0.333 3，提高了算法的收斂速度．

3 計(jì)算實(shí)例

取初始點(diǎn)x0=0.5、y0=1，部分計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1．

表1 部分計(jì)算結(jié)果

[1] RALL L B. Convergence of the Newton process to multiple solution[J]. Numer Math, 1966,9(1):23-37.

[2] REDDIEN G W. On Newton’s method for singular problems[J]. SIAM J Numer Anal, 1978,15(5):993-996.

[3] DECKER D W, KELLER H B, KELLEY C T. Convergence rates for Newton’s method at singular points[J]. SIAM J Numer Anal, 1983,20(2):296-314.

[4] DECKER D W, KELLEY C T. Convergence acceleration for Newton’s method at singular point[J]. SIAM J Numer Anal, 1982,19(1):219-229.

[5] 徐宗本.Lp空間特征不等式及應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1989,12(2):209-218.

[6] 劉炳初. 泛函分析[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2004.

[7] 楊忠華.弦法在奇異點(diǎn)處一個(gè)改進(jìn)格式[J].高等計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1990(2):151-157.

[8] 潘狀元. 求解奇異問(wèn)題加速迭代格式的構(gòu)造[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1997,14(2):59-64.

[9] 初元紅,潘狀元，劉曉敏.用修正的Broyden方法求解奇異問(wèn)題[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2006,11(1):39-42.

[10] 王 穎,潘狀元.用行列修正擬Newton法求解奇異問(wèn)題[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2010,15(4):64-67.

(編輯 胡文杰)

The Modified Newton Method for Solving Nonlinear Singular Problems

CHUYuan-hong*,SUNGui-ling

(Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China)

In Hilbert space, the singular problems are solved by using the combination of modified Newton method and the extrapolation technique. The modified Newton method is shown to yield a new sequence that improves the convergence rate from 0.5 to 0.333 3. The conclusion is also applied to a Banach space.

Hilbert space; modified Newton method; singular problems

2013-01-08

鄭州市科技局資助項(xiàng)目(20141374，20141375);黃河科技學(xué)院教改資助項(xiàng)目(MJ2012014)

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,E-mail：chuyuanh@163.com

O241

A

1000-2537(2014)05-0081-04