袁宏智，馬建敏

（復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海200433）

移動(dòng)載荷作用下斜拉橋結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算分析

袁宏智，馬建敏

（復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海200433）

運(yùn)用斜拉橋的近似分析方法，將漂浮體系的斜拉橋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成兩端簡(jiǎn)支且中間離散彈性支撐梁、變地基系數(shù)梁和均勻地基系數(shù)地基梁三種模型。建立了移動(dòng)載荷作用下斜拉橋結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了計(jì)算，對(duì)三種模型的固有頻率和三種模型在相同移動(dòng)載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了比較，并對(duì)移動(dòng)載荷移動(dòng)速度、垂直振動(dòng)的剛度和阻尼對(duì)橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響進(jìn)行分析。結(jié)果表明，當(dāng)拉索等效彈性系數(shù)較小時(shí)，三種模型的固有頻率和撓度曲線(xiàn)差別較小，當(dāng)拉索等效彈性系數(shù)較大時(shí)，三種模型的固有頻率和撓度曲線(xiàn)差別明顯；橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的頻譜由橋梁的固有頻率和移動(dòng)載荷的自振頻率組成；移動(dòng)載荷垂直振動(dòng)的剛度越大，阻尼越小，橋梁振動(dòng)的響應(yīng)越大。

振動(dòng)與波；斜拉橋；移動(dòng)載荷；動(dòng)態(tài)響應(yīng)

1 斜拉橋結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化

圖1所示漂浮體系斜拉橋，按Smith[1]簡(jiǎn)化方法，忽略橋塔變形，將拉索簡(jiǎn)化成對(duì)主梁的彈性支撐。可將斜拉橋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成兩端簡(jiǎn)支中間離散彈性支撐梁、均勻地基系數(shù)地基梁和變地基系數(shù)地基梁三種模型。

圖1 漂浮體系的斜拉橋結(jié)構(gòu)

1.1 兩端簡(jiǎn)支且中間離散彈性支撐梁模型

離散彈性支承梁模型中拉索等效彈性系數(shù)Ks的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示,對(duì)拉索和主梁接觸點(diǎn)施加垂直于主梁的力P使該點(diǎn)發(fā)生單位位移，此時(shí)拉索拉力為F，有

圖2 拉索簡(jiǎn)化模型

則拉索拉力的豎向分量Fy的大小等于等效彈性系數(shù)Ks，表達(dá)式如下

聯(lián)立（1）、（2）兩式，可得

其中l(wèi)為拉索長(zhǎng)度，Δl為拉索伸長(zhǎng)量，α為拉索與梁的夾角，Es、As分別為拉索彈性模量和橫截面面積，式（3）為拉索等效彈性系數(shù)表達(dá)式，按此式可得每根拉索等效彈性系數(shù)，即得離散彈性支撐梁模型，如圖3。

圖3 離散彈性支撐梁

1.2 均勻地基系數(shù)地基梁模型

將所有拉索等效彈性系數(shù)在主梁上均攤，得均勻的基床系數(shù)k，如下

其中Ns為拉索數(shù)量，均勻地基系數(shù)地基梁模型如圖4所示

圖4 均勻地基系數(shù)地基梁

1.3 變地基系數(shù)地基梁模型

由于各拉索長(zhǎng)度不一樣，式（3）算出的各拉索等效彈性系數(shù)也不一樣，若直接在整根梁上均布會(huì)造成較大誤差，故選取地基系數(shù)是分段變化的，處理方法如圖5所示

圖5 拉索分段處理示意圖

設(shè)相鄰兩根索距為Δx，對(duì)編號(hào)為i的拉索，xi為該拉索與主梁的接觸位置，Ksi為該拉索等效彈性系數(shù)，將其在區(qū)間(xi-Δx/2,xi+Δx/2)均布，即得該區(qū)間的地基系數(shù)ki=Ksi/Δx，對(duì)每根拉索進(jìn)行相同處理，由于各拉索等效彈性系數(shù)不同，若索距相同，那么可得到一根變地基系數(shù)的地基梁，地基系數(shù)表達(dá)式如下

2 移動(dòng)載荷作用下斜拉橋結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的建立

為分析移動(dòng)載荷作用下斜拉橋動(dòng)態(tài)響應(yīng)，分別用彈簧阻尼質(zhì)量塊和移動(dòng)力模擬移動(dòng)車(chē)輛載荷，如圖6、圖7所示

圖6 移動(dòng)車(chē)輛模型

圖7 移動(dòng)力

2.1 移動(dòng)載荷作用下離散支撐梁模型的動(dòng)力學(xué)方程

忽略梁阻尼，用伽遼金法，設(shè)梁撓度函數(shù)為

其中

為撓度函數(shù)振型，利用振型的正交性，得到移動(dòng)載荷作用下離散支撐梁的振動(dòng)方程如下

載荷為圖6所示載荷模型時(shí)，考慮梁的振動(dòng)，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，則載荷的動(dòng)力學(xué)方程為

其中xa=xa(t)為載荷在梁上位置，z=z(t)為載荷中質(zhì)量塊的豎向位移。

整理得

當(dāng)載荷為如圖7所示移動(dòng)力模型時(shí)，取移動(dòng)力大小為T(mén)=mag，有

將（12）式代入（8）式，得

式（11）和（13）分別表示移動(dòng)車(chē)輛與移動(dòng)力作用下離散支撐梁的動(dòng)力學(xué)方程。

2.2 移動(dòng)載荷作用下均勻地基系數(shù)地基梁的動(dòng)力學(xué)方程

忽略梁阻尼，橋梁模型用均勻地基系數(shù)地基梁模型時(shí)，移動(dòng)載荷作用下的梁的動(dòng)力學(xué)方程為

同樣用伽遼金法，正交化處理得

載荷為圖6所示車(chē)輛模型時(shí)，Qn(t)同式（10），代入式（15）整理得

載荷為圖7所示移動(dòng)力時(shí)，Qn(t)同式（12），代入式（15）整理得

式（16）和（17）分別表示移動(dòng)車(chē)輛和移動(dòng)力作用下均勻地基系數(shù)地基梁動(dòng)力學(xué)方程。

2.3 移動(dòng)載荷作用下變地基系數(shù)地基梁模型的動(dòng)力學(xué)方程

忽略梁阻尼，橋模型采用變地基系數(shù)地基梁模型，移動(dòng)載荷作用下梁動(dòng)力學(xué)方程為

同樣用伽遼金法，正交化處理得

載荷為圖6所示移動(dòng)車(chē)輛模型時(shí)，Qn(t)同式（10），代入式（19）整理得

載荷為圖7所示的移動(dòng)力模型，Qn(t)表達(dá)式同式（12），代入式（19）整理得

式（20）和（21）分別表示移動(dòng)車(chē)輛和移動(dòng)力作用下變地基系數(shù)地基梁的動(dòng)力學(xué)方程。

3 動(dòng)力學(xué)方程的求解

3.1 離散支撐梁模型的動(dòng)力學(xué)方程的求解

對(duì)于移動(dòng)車(chē)輛作用下離散支撐梁的振動(dòng)方程，?。?）式前N項(xiàng)，將（9）、（13）式整理成矩陣方程形式如下

取N=3，令上述各系數(shù)矩陣表達(dá)式如下

其中

對(duì)于移動(dòng)力作用下的離散支撐模型，相應(yīng)的矩陣方程為

取N=3，上述各系數(shù)矩陣表達(dá)式如下

其中

3.2 均勻地基系數(shù)地基梁模型的動(dòng)力學(xué)方程的求解

對(duì)于移動(dòng)車(chē)輛作用下的均勻地基系數(shù)地基梁的振動(dòng)方程，相應(yīng)的矩陣方程為：

上述各系數(shù)矩陣表達(dá)式如下

其中

對(duì)于移動(dòng)力作用下的均勻地基系數(shù)地基梁，相應(yīng)的矩陣方程為

其中

3.3 變地基系數(shù)地基梁模型的動(dòng)力學(xué)方程的求解

對(duì)于移動(dòng)車(chē)輛作用下的變地基系數(shù)地基梁的振動(dòng)方程，相應(yīng)的矩陣方程為

上述各系數(shù)矩陣表達(dá)式如下

其中

對(duì)于移動(dòng)力作用下的變地基系數(shù)地基梁，相應(yīng)的矩陣方程為

其中

下面將用4階龍格庫(kù)塔法求解所得矩陣方程，并對(duì)斜拉橋結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行頻譜分析。

4 算例和結(jié)果分析

以實(shí)驗(yàn)室斜拉橋模型為例，梁材料45鋼，密度ρ=7 800 kg/m3，長(zhǎng)L=1.254 m，梁橫截面面積、截面慣性矩和彈性模量分別為A=4.95×10-4m2、I=4.46×10-9m4和E=2.0×1011pa，移動(dòng)彈簧阻尼質(zhì)量系統(tǒng)的初始條件為z(0)=(mag/ka+0.02)m，拉索與梁夾角均為45°，拉索數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

4.1 三種斜拉橋模型的固有頻率計(jì)算

采用實(shí)驗(yàn)室斜拉橋模型，計(jì)算式（27）、（34）和（38），得離散支撐梁、均勻地基系數(shù)梁和變地基系數(shù)梁的第1階固有頻率分別為fd1=15.235 4 Hz、fc1=15.245 1 Hz和fv1=15.227 6 Hz。

由于實(shí)驗(yàn)室拉索剛度較小，三種模型的頻率差別很小，現(xiàn)將等效彈性系數(shù)放大150倍，三種模型的第1階固有頻率則分別為和表中EsAs=4.403 8 N/m。

表1 拉索及其等效彈性系數(shù)

可以看出，當(dāng)拉索等效彈性系數(shù)較小時(shí)，三種模型的第1階固有頻率差別微小，當(dāng)拉索等效彈性系數(shù)較大時(shí)，三者的第1階固有頻率差別則較為明顯。

用敲擊法對(duì)模型第1階頻率進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得第1階固有頻率為fl=14.38 Hz，接近理論計(jì)算頻率值，驗(yàn)證了上述理論計(jì)算的正確性，同時(shí)也說(shuō)明上述簡(jiǎn)化模型是合適的。

4.2 三種橋梁模型在相同移動(dòng)載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

移動(dòng)車(chē)輛載荷中取ma=0.3 kg，ka=50 N/m，ca=0，移動(dòng)速度取0.2 m/s,用編制的4階龍格庫(kù)塔程序解式（22）、（32）和（36），算出三種模型在相同載荷作用下跨中撓度曲線(xiàn)如圖8、9所示。圖8所用參數(shù)為實(shí)驗(yàn)室模型，圖9所用參數(shù)中將拉索等效彈性系數(shù)放大150倍，其他參數(shù)不變。

觀察圖8、9，發(fā)現(xiàn)在相同載荷作用下，均勻地基系數(shù)梁的跨中撓度比離散支撐梁和變地基系數(shù)梁的跨中撓度小。當(dāng)拉索等效彈性系數(shù)較小時(shí)，三者跨中撓度曲線(xiàn)差別微小，當(dāng)拉索等效彈性系數(shù)較大時(shí)，三者跨中撓度曲線(xiàn)的差別較明顯。在實(shí)際斜拉橋中，拉索和橋梁剛度相比較大，用離散支撐梁模型和變地基系數(shù)梁模型更符合實(shí)際。

4.3 勻速移動(dòng)載荷作用下斜拉橋結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖8 跨中撓度曲線(xiàn)

圖9 跨中撓度曲線(xiàn)

采用變地基系數(shù)梁模型，移動(dòng)車(chē)輛中取ma=0.3 kg，ka=50 N/m，ca=0，移動(dòng)速度取0.6 m/ s,用編制的四階龍格庫(kù)塔程序求式（36）和（38），得移動(dòng)車(chē)輛和移動(dòng)力分別作用下梁的跨中撓度曲線(xiàn)以及頻譜分析圖，如圖10、11所示。

圖10 跨中撓度曲線(xiàn)

圖10表明，斜拉橋結(jié)構(gòu)在移動(dòng)載荷作用下，跨中撓度最大值出現(xiàn)在載荷一端移動(dòng)到另一端的中間時(shí)刻；圖11頻譜分析中，顯示移動(dòng)車(chē)輛作用下橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)比移動(dòng)力作用下多一個(gè)頻率，這個(gè)頻率值與車(chē)輛的自振頻率f1=2.054 7 Hz很接近，且均有頻率f=15.2 Hz，該頻率與梁固有頻率15.245 1 Hz很接近，這表明移動(dòng)車(chē)輛作用下斜拉橋結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的頻譜由載荷自振頻率和橋梁固有振動(dòng)頻率組成。

圖11 頻譜分析圖

4.4 移動(dòng)速度對(duì)橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響

采用變地基系數(shù)地基梁模型，移動(dòng)車(chē)輛參數(shù)取ma=0.3 kg，ka=50 N/m，ca=0，移動(dòng)速度取0.6 m/ s、1.0 m/s和1.4 m/s,用程序計(jì)算式（36），得梁跨中撓度曲線(xiàn)如下

圖12 不同移動(dòng)速度時(shí)跨中撓度曲線(xiàn)

由圖12可得，移動(dòng)速度增大，跨中撓度最大值變化不大，但撓度曲線(xiàn)上波峰數(shù)隨速度的增大而減少，這是因?yàn)樵谙嗤苿?dòng)載荷作用下，移動(dòng)車(chē)輛的固有振動(dòng)周期不變，速度越大，載荷在橋上時(shí)間就越短，移動(dòng)車(chē)輛固有振動(dòng)完成的周期數(shù)就越少。

4.5 移動(dòng)車(chē)輛模型中彈性系數(shù)ka和阻尼系數(shù)ca對(duì)斜拉橋結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響

采用變地基系數(shù)地基梁模型，移動(dòng)車(chē)輛參數(shù)取ma=0.3 kg，ca=0，移動(dòng)速度取0.6 m/s，彈性系數(shù)取ka=50、100、150 N/m，得橋梁跨中撓度曲線(xiàn)如下

圖13 不同剛度時(shí)的跨中撓度曲線(xiàn)

移動(dòng)車(chē)輛參數(shù)取ma=0.3 kg，ka=50 N/m,移動(dòng)速度取0.6 m/s，阻尼系數(shù)取ca=0、0.5、1 N·s/m，用程序求式（36），得梁跨中撓度曲線(xiàn)如下

圖14 不同阻尼時(shí)的跨中撓度曲線(xiàn)

由圖13、14得，移動(dòng)車(chē)輛的彈性系數(shù)ka和阻尼系數(shù)ca對(duì)跨中撓度值有顯著影響，ka越大，ca越小，跨中撓度最大值越大；ka越大，撓度曲線(xiàn)上峰值越多，這是因?yàn)閗a值越大，移動(dòng)車(chē)輛自振頻率越高，在相同時(shí)間內(nèi)，移動(dòng)車(chē)輛振動(dòng)完成的周期數(shù)越多。

5 結(jié)語(yǔ)

本文主要對(duì)移動(dòng)載荷作用下斜拉橋動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算分析，主要結(jié)論如下：

（1）當(dāng)拉索等效彈性系數(shù)較小時(shí)，離散支撐梁、均勻地基系數(shù)梁和變地基系數(shù)梁三種模型的第1階固有頻率和撓度曲線(xiàn)差別微小，當(dāng)拉索等效彈性系數(shù)較大時(shí)，三種模型的固有頻率和撓度曲線(xiàn)差別明顯；

（2）勻速移動(dòng)載荷作用下斜拉橋結(jié)構(gòu)跨中撓度最大值出現(xiàn)在載荷從一端到另一端的中間時(shí)刻，且斜拉橋結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)頻譜由橋固有振動(dòng)頻率和移動(dòng)載荷自振頻率組成；

（3）移動(dòng)車(chē)輛的移動(dòng)速度對(duì)跨中撓度最大值影響不大，但是速度增大，撓度曲線(xiàn)的波峰數(shù)減少；

（4）斜拉橋在移動(dòng)車(chē)輛作用下跨中撓度值受載荷中彈性系數(shù)ka和阻尼系數(shù)ca的影響，ka越大，ca越小，跨中撓度值越大；ka越大，撓度曲線(xiàn)上的峰數(shù)越多。

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Dynamic ResponseAnalysis of Cable-stayed Bridges Subjected to Moving Load

YUAN Hong-zhi,MA Jian-min

（Department of Mechanics and Engineering Science,Fudan University,Shanghai 200433,China）

By using the approximate analysis method of cable-stayed bridge,the cable-stayed bridge of floating system is simplified into three models:a beam supported by discrete springs,a beam on an continuous elastic foundation,and a beam on an elastic continuous foundation with variable foundation coefficients.The dynamic equation of the cable-stayed bridge structure under moving load is established and solved by the forth-order Runge-Kutta method.The natural frequencies and dynamic responses of the three models are compared one another.The results show that when the equivalent elastic coefficient of the cable is small,both the difference of natural frequency and the difference of deflection of the three models are small;and when it is large,the differences are also large.The effects of velocity,stiffness and damping of the moving load on the dynamic responses of the bridge are analyzed.The results show that,the spectrum of the dynamic responses of the bridge consists of natural frequency of the bridge and the selfvibration frequency of the moving load.When the stiffness of the moving load is large or the damping is small,the responses of the bridge are great.

vibration and wave;cable-stayed bridge;moving load;dynamic responses

1006-1355(2014)03-0148-07

U441

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.03.032

斜拉橋具有跨度大、重量輕、便于施工等優(yōu)點(diǎn)，在國(guó)內(nèi)外路橋建設(shè)中廣泛應(yīng)用。當(dāng)車(chē)輛駛過(guò)橋面時(shí)，車(chē)輛移動(dòng)和車(chē)輛自身振動(dòng)會(huì)激起橋面振動(dòng)。對(duì)此問(wèn)題的研究不但有助于斜拉橋的優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)斜拉橋的安全運(yùn)行和壽命預(yù)測(cè)也有積極意義。

斜拉橋在移動(dòng)載荷作用下動(dòng)態(tài)響應(yīng)的研究一直是該領(lǐng)域研究的重點(diǎn)之一，一是橋梁結(jié)構(gòu)和載荷模型的簡(jiǎn)化；二是橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的計(jì)算分析。對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化主要是拉索的簡(jiǎn)化，Smith[1]將拉索簡(jiǎn)化成對(duì)主梁的彈性支撐，并給出等效彈性系數(shù)K的表達(dá)式；柳惠芬[2]則在此基礎(chǔ)上，將等效彈性系數(shù)在主梁上分?jǐn)偅瑢⑿崩瓨蚝?jiǎn)化成彈性地基梁[3]。對(duì)移動(dòng)載荷的簡(jiǎn)化，Kocatürk等[4]用移動(dòng)力來(lái)模擬車(chē)輛載荷，沒(méi)考慮車(chē)輛載荷質(zhì)量慣性和自振的影響；Bilello[5]用移動(dòng)質(zhì)量模擬車(chē)輛載荷，考慮了載荷質(zhì)量慣性的影響；王穎澤[6]等用移動(dòng)彈簧質(zhì)量模擬車(chē)輛載荷；周玉民等[7]用四分之一車(chē)輛模型模擬載荷；張慶等[8]用雙自由度質(zhì)量彈簧阻尼來(lái)模擬載荷；張志超[9]則用兩系懸掛的四輪模型來(lái)模擬車(chē)輛載荷；韓萬(wàn)水[10]等則用五自由度質(zhì)量彈簧阻尼模擬車(chē)輛載荷三維模型。上述研究?jī)H對(duì)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁的橋梁進(jìn)行了研究，本文將斜拉橋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成兩端簡(jiǎn)支中間離散彈性支撐梁、均勻地基系數(shù)梁和變地基系數(shù)梁[11]三種模型，并對(duì)三種模型的固有頻率和三種模型在相同移動(dòng)載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)做比較；考慮了移動(dòng)載荷的水平移動(dòng)和垂直振動(dòng)同時(shí)對(duì)橋梁的作用，建立了斜拉橋的動(dòng)力學(xué)方程，用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)斜拉橋結(jié)構(gòu)模型在移動(dòng)載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)移動(dòng)載荷移動(dòng)速度、垂直振動(dòng)的剛度和阻尼對(duì)橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響進(jìn)行計(jì)算分析。

2013-07-05

袁宏智（1989-），男，湖北孝感人，碩士生，目前從事土木與結(jié)構(gòu)工程的研究。

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