位秀雷，林瑞霖，劉樹(shù)勇，楊愛(ài)波

（海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430033）

Volterra小波變換最優(yōu)閾值的混沌去噪方法

位秀雷，林瑞霖，劉樹(shù)勇，楊愛(ài)波

（海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430033）

針對(duì)混沌信號(hào)小波去噪中難以確定最優(yōu)閾值的問(wèn)題，提出一種Volterra小波變換最優(yōu)閾值的判定方法。利用小波變換將混沌信號(hào)分解，對(duì)不同尺度下的小波信號(hào)設(shè)定浮動(dòng)因子以調(diào)節(jié)閾值大小，最后根據(jù)混沌序列Volterra自適應(yīng)預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差選取最優(yōu)閾值。利用該方法對(duì)不同維度的Lorenz混沌時(shí)間序列進(jìn)行了去噪研究，結(jié)果表明所提方法是有效的。

振動(dòng)與波；混沌信號(hào)；最優(yōu)閾值；小波變換；Volterra級(jí)數(shù)

Volterra級(jí)數(shù)[8]是一種泛函數(shù)，在滿足輸入信號(hào)能量有限的條件下，大多數(shù)非線性系統(tǒng)都可以用Volterra級(jí)數(shù)逼近到任意準(zhǔn)確程度?；赩olterra的非線性刻畫能力和小波的多分辨分析特性[9]，建立小波—Volterra去噪模型，根據(jù)混沌序列Volterra自適應(yīng)預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差大小選取最優(yōu)閾值，能最大限度保留各個(gè)尺度下的有用信息，改善濾波效果。利用該模型對(duì)不同維度的Lorenz混沌時(shí)間序列進(jìn)行了去噪研究，結(jié)果表明所提方法能非常有效濾除混沌信號(hào)中的噪聲。

1 小波—Volterra去噪

假設(shè)含噪信號(hào)x(t)=s(t)+ω(t)，其中ω(t)為噪聲信號(hào)，去噪的目的是從x(t)中恢復(fù)s(t)。對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行二進(jìn)制離散小波變換[4]

說(shuō)明二進(jìn)制小波WT2k(τ)構(gòu)成了L2(R)的一個(gè)框架，故它的小波逆變換公式存在。

二進(jìn)制小波重建公式為：

對(duì)?f(t)∈L2(R)有關(guān)系式

小波變換可以確定函數(shù)奇異點(diǎn)的位置和奇異性指數(shù)，Mallat等人已經(jīng)證明，信號(hào)奇異性與Lipshitz指數(shù)α間關(guān)系在二進(jìn)小波時(shí)有

式中k為常數(shù)，j為二進(jìn)尺度。式（4）指出，當(dāng)Lipshitz指數(shù)α≥0時(shí)，小波變換模極大值的幅度隨尺度增大而增大；當(dāng)Lipshitz指數(shù)α≤0時(shí)，小波變換模極大值的幅度隨尺度的增大而減小。由于信號(hào)在其奇異點(diǎn)處得奇異指數(shù)α一般都大于零，而噪聲具有負(fù)的奇異指數(shù)。因此，當(dāng)小波變換尺度參數(shù)變化時(shí)，對(duì)混疊在一起的信號(hào)和噪聲會(huì)產(chǎn)生不同的作用效果，可由小波變換模極大值點(diǎn)的衰減來(lái)判別信號(hào)小波尺度范圍的取舍，再通過(guò)設(shè)定閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行量化處理，最后對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)便可以達(dá)到降低噪聲的目的。

顯然，在小波去噪中，閾值的選取是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，它直接影響著去噪效果。閾值選取過(guò)高，會(huì)過(guò)多地將信號(hào)當(dāng)作噪聲去掉；閾值選取過(guò)低,則保留的噪聲信號(hào)過(guò)多，影響信號(hào)的進(jìn)一步分析。傳統(tǒng)的廣義閾值去噪方法大都根據(jù)噪聲能量估計(jì)信號(hào)信噪比來(lái)確定閾值大小，估計(jì)過(guò)程有一定的誤差，其改進(jìn)的閾值方法也是定量的逼近最優(yōu)閾值，在小波分解的各個(gè)尺度上和最優(yōu)閾值還有一定的偏差，尚不能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。為了使選取的閾值在各個(gè)尺度下都具有最佳的去噪效果，本文提出一種改進(jìn)閾值方法：

其中j為小波分解尺度，ti為響應(yīng)尺度的閾值，N為信號(hào)長(zhǎng)度，μi為相應(yīng)尺度調(diào)節(jié)因子，μi∈(0:0.01:n)，步長(zhǎng)為0.01，n為正常數(shù)，σ為信號(hào)在最高尺度上的方差。

同時(shí)，利用2階Volterra自適應(yīng)濾波器構(gòu)造預(yù)測(cè)混沌時(shí)間序列的非線性預(yù)測(cè)模型，對(duì)不同信噪比的混沌信號(hào)預(yù)測(cè)得到相對(duì)預(yù)測(cè)誤差和信噪比的關(guān)系如圖1所示，可以看出信噪比大于10，相對(duì)誤差Perr接近于0；信噪比小于-50時(shí)，相對(duì)誤差也趨近平緩。因此可利用混沌序列Volterra自適應(yīng)預(yù)測(cè)效果作為（5）式中的調(diào)節(jié)因子 μi的選擇依據(jù)，從而調(diào)節(jié)各個(gè)尺度閾值大小，即預(yù)測(cè)相對(duì)誤差Perr最小值所對(duì)應(yīng)的閾值即為各尺度小波信號(hào)的最優(yōu)閾值。

圖1 信號(hào)信噪比和預(yù)測(cè)相對(duì)誤差關(guān)系

其中Np為濾波器的長(zhǎng)度。

最優(yōu)閾值法去噪步驟如下：

（1）對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行j層小波分解，得到小波分解的近似部分an和細(xì)節(jié)部分d；

（2）保持近似部分不變，對(duì)各個(gè)細(xì)節(jié)部分d1、d2…dn按式（5）進(jìn)行閾值量化處理，各尺度的調(diào)節(jié)因子μi在（0,n）范圍浮動(dòng)，由于調(diào)節(jié)因子在10-2數(shù)量級(jí)浮動(dòng)對(duì)預(yù)測(cè)誤差Perr的影響較小，因此設(shè)定浮動(dòng)步長(zhǎng)為0.01；

（3）對(duì)閾值量化后的信號(hào)利用Volterra混沌自適應(yīng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行分析處理，預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差為Perr，每一個(gè)Perr對(duì)應(yīng)一組各分解尺度上的閾值t1、t2…tn，選取Perr最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的閾值t1、t2…tn作為最優(yōu)閾值，其所對(duì)應(yīng)的細(xì)節(jié)部分為d1、d2…dn，對(duì)細(xì)節(jié)部分進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后的各個(gè)尺度上的信號(hào)為d11、d22…dnn；

（4）去噪后的信號(hào)為：s=d11+d22+...dnn+an。

相對(duì)誤差定義為

2 仿真分析研究

實(shí)驗(yàn)信號(hào)為L(zhǎng)orenz方程產(chǎn)生的混沌信號(hào)，然后疊加白噪聲作為有噪聲污染的信號(hào)進(jìn)行分析。Lorenz方程

選取參數(shù)的值為σ=10，r=28，b=8/3，用4階龍格—庫(kù)塔法進(jìn)行迭代求值運(yùn)算,設(shè)定積分步長(zhǎng)為0.01，刪除前6 000個(gè)暫態(tài)點(diǎn)，對(duì)其后2 000個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)進(jìn)行分析。在相空間重構(gòu)基礎(chǔ)上，選擇尺度J小于等于m，m為嵌入維數(shù)，τ為重構(gòu)延遲。m=5，τ= 10時(shí)，Lorenz系統(tǒng)的混沌特性可以很好地重構(gòu)于相空間中，因此取J=4，采用正交緊支集(Daubechies)函數(shù)的改進(jìn)小波函數(shù)sym 8作為小波基函數(shù)對(duì)混沌序列進(jìn)行4尺度分解，使用本文方法對(duì)每一尺度上的信號(hào)進(jìn)行閾值濾波，其中最小預(yù)測(cè)誤差Perr= 8.1513×10-4所對(duì)應(yīng)（5）式中的調(diào)節(jié)因子分別為μ1=1.53、μ2=0.97、μ3=1.02、μ4=1.04。去噪后的序列圖如圖2所示，其中‘*’代表無(wú)噪信號(hào)，‘-’代表去噪信號(hào)。

圖2 最優(yōu)閾值方法去噪后的時(shí)間序列

分別使用廣義閾值及其改進(jìn)方法、閾值決策方法和本文提出的最優(yōu)閾值方法對(duì)信噪比為8 dB的混沌信號(hào)進(jìn)行降噪處理，降噪后的信噪比[6]和最小均方誤差[6]如表1所示，可以看出經(jīng)最優(yōu)閾值方法處理后的混沌信號(hào)信噪比最高，最小均方誤差最小，表明本文方法能夠更加有效地濾除隱藏在混沌信號(hào)內(nèi)的噪聲，提高了信噪比，減小了誤差，更加適合工程需要。

表1 去噪后信號(hào)的信噪比及最小均方誤差

為進(jìn)一步檢驗(yàn)本文方法的去噪效果，基于產(chǎn)生于低維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)相對(duì)較小，而產(chǎn)生高維系統(tǒng)的噪聲的關(guān)聯(lián)維數(shù)相對(duì)較大、且關(guān)聯(lián)維數(shù)較小的其對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)維曲線斜率較小這一思想[10]，計(jì)算利用本文方法和閾值決策方法去噪后的混沌序列關(guān)聯(lián)維數(shù)的大小來(lái)比較兩者的去噪效果。選擇重構(gòu)延遲時(shí)間為4，嵌入維數(shù)為5，去噪后序列的ln C(r)/ln(r)圖如圖3所示，‘-’表示利用本文方法去噪后混沌序列的ln C(r)/ln(r)曲線；‘—’表示利用閾值決策方法去噪后混沌序列l(wèi)n C(r)/ln(r)曲線。由局部擴(kuò)大曲線圖可以看出由本文方法去噪后的混沌序列關(guān)聯(lián)維曲線斜率相對(duì)較小，進(jìn)一步證明了最優(yōu)閾值方法的有效性。

圖3 去噪序列的InC(r)/In(r)曲線圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于小波多分辨分析原理，針對(duì)小波去噪中最優(yōu)閾值難以確定的問(wèn)題，將Volterra級(jí)數(shù)理論和小波理論結(jié)合起來(lái)，利用混沌時(shí)間序列Volterra自適應(yīng)預(yù)測(cè)和混沌信號(hào)信噪比大小的關(guān)系，對(duì)小波信號(hào)各個(gè)尺度的最優(yōu)閾值大小確定，克服了以往小波去噪閾值選擇的盲目性，實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明該方法能夠有效地去除信號(hào)中噪聲，并保留序列的混沌特性。

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Chaotic Signal Denoising Based on Optimal Threshold of Volterra and Wavelet Transforms

WEI Xiu-lei,LIN Rui-lin,LIU Shu-yong,YANG Ai-bo

（College of Power Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China）

How to determine the optimal threshold of chaotic signal based on wavelet transform is an important topic in chaotic identification.In this paper,a method for choosing the optimal threshold based on Volterra and wavelet transform is proposed.The chaotic signal is decomposed by wavelet transform.Then,a floating parameter is set to regulate the threshold of the wavelet signal in different scales according to the prediction error of the chaotic time series from the Volterra adaptive prediction.Denoising for chaotic time series generated by Lorenz system is simulated and the result is compared w ith those of the other methods.It is shown that the proposed method is effective.

vibration and wave;chaotic signal;the optimal threshold;wavelet transform;Volterra series

1006-1355(2014)04-0101-03+118

TB53；O322；TN911.7 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.022

混沌信號(hào)是一種由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的非周期有界信號(hào)，在時(shí)域中顯示出類似噪聲的特點(diǎn)，在頻域里表現(xiàn)出寬帶的特征，這些特征使其在工程實(shí)踐中有廣闊的應(yīng)用前景[1]。但由于混沌信號(hào)具有功率譜寬帶性和類噪聲性，其頻帶與混迭的其他信號(hào)的頻帶往往部分或者全部重疊，因而在實(shí)際應(yīng)用中采用傳統(tǒng)的線性濾波和頻譜方法很難將其分開(kāi)。近年來(lái)混沌降噪方法的研究愈來(lái)愈受到重視。常用的混沌信號(hào)去噪方法如局部投影法[2]和奇異譜分析法[3]，但這些方法在計(jì)算過(guò)程中需要進(jìn)行大量的矩陣計(jì)算，而且算法中涉及混沌參數(shù)如嵌入維數(shù)、鄰域半徑的確定等，導(dǎo)致噪聲背景下的計(jì)算難度較大，因而受到一定的限制。小波閾值降噪法[4]計(jì)算簡(jiǎn)單且有分析信號(hào)局部特征的能力，但是涉及到的閾值選取比較困難，常用的閾值方法有廣義閾值法[4]及其改進(jìn)算法[5]，隨后韓敏等人又提出了一種閾值決策方法選取閾值[6]，劉艷霞[7]等人兼顧軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，改進(jìn)了閾值去噪方法。這些方法對(duì)閾值選取提供了很好的參考，但是選取的閾值并不是在各個(gè)尺度下小波信號(hào)的最優(yōu)閾值，不能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。

2013-11-18

國(guó)家自然科學(xué)基金（51179197）；海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（上海交通大學(xué)）開(kāi)放課題（1009）

位秀雷（1988-），男，河南省獲嘉人，博士生，目前從事非線性動(dòng)力學(xué)研究。

Email:wxlcln@163.com