李太平，姚煜中，李霖圣，程世祥

(上海衛(wèi)星裝備研究所，上海200240)

不平衡飛輪的擾動(dòng)特性

李太平，姚煜中，李霖圣，程世祥

(上海衛(wèi)星裝備研究所，上海200240)

高精度航天器對指向精度有極高的要求，飛輪是衛(wèi)星姿態(tài)控制環(huán)節(jié)中不可或缺的執(zhí)行部件，在研制和裝備過程中，不可避免地具有微量的偏心或動(dòng)不平衡，在姿態(tài)機(jī)動(dòng)和穩(wěn)定控制的過程中，飛輪的旋轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生干擾力。將動(dòng)靜不平衡質(zhì)量作為航天器的一部分，推導(dǎo)出完整航天器動(dòng)力學(xué)姿態(tài)方程，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，并根據(jù)完整的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程簡化分析仿真結(jié)果。研究發(fā)現(xiàn)動(dòng)靜不平衡質(zhì)量在飛輪高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對姿態(tài)均有影響，動(dòng)不平衡質(zhì)量對姿態(tài)的影響與安裝位置關(guān)系很小，而靜不平衡質(zhì)量呈現(xiàn)線性關(guān)系，且兩者對姿態(tài)的影響滿足線性疊加。單軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指向精度的長周期變化只與飛輪的固有特性有關(guān)，與轉(zhuǎn)速的大小無關(guān)。多軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，姿態(tài)會(huì)振蕩或發(fā)散，與初始相位有關(guān)；但對姿態(tài)的影響不滿足單軸轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。

振動(dòng)與波；動(dòng)不平衡；靜不平衡；轉(zhuǎn)動(dòng)；擾動(dòng)；姿態(tài)

1 航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

1.1 參考坐標(biāo)系

研究含有動(dòng)靜不平衡質(zhì)量的飛輪的航天器的動(dòng)力學(xué)方程，需要建立五個(gè)坐標(biāo)系：

慣性坐標(biāo)系OeXiYiZi：Oe為地心，OeZi垂直于地球赤道面，其指向地球自轉(zhuǎn)角速度的矢量的方向一致。OeXi在赤道平面內(nèi)，指向赤道面與黃道面相交線，OeYi與OeXi和OeZi構(gòu)成右手坐標(biāo)系；航天器本體質(zhì)心坐標(biāo)系Obxbybzb：Ob為航天器本體質(zhì)心，Obxb與飛行器的縱向?qū)ΨQ軸重合，指向航天器的飛行速度方向，Obyb垂直于縱向?qū)ΨQ面，Obzb與Obxb和Obyb構(gòu)成右手坐標(biāo)系；航天器復(fù)合質(zhì)心坐標(biāo)系Osxsyszs：Os為航天器系統(tǒng)的復(fù)合質(zhì)心，本體質(zhì)心Ob相對于系統(tǒng)復(fù)合質(zhì)心Os的位置矢量為rb。Osxsyszs和Obxbybzb的三基矢方向始終一致。系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)系Osxsyszs相對于慣性坐標(biāo)系的角速度為ω；飛輪形心坐標(biāo)系Owxwywzw：Ow為飛輪的形心，Owzw與飛輪相對于衛(wèi)星本體旋轉(zhuǎn)的角速度矢量方向一致，Owxw與Owzw垂直，從飛輪的形心指向飛輪上某一定點(diǎn)，Owyw與Owxw和Owzw構(gòu)成右手坐標(biāo)系；飛輪質(zhì)心坐標(biāo)系Oixiyizi：Oi為飛輪的質(zhì)心，Oixi、Oiyi、Oizi和Owxw、Owyw、Owzw平行。該質(zhì)心相對于系統(tǒng)質(zhì)心Os的位置矢量為ri。

1.2 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

zi軸為系統(tǒng)的慣性輪的自旋軸，對應(yīng)的單位矢量為fi，假設(shè)第i個(gè)輪子相對于系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)系以轉(zhuǎn)速Ωi旋轉(zhuǎn)，第i個(gè)慣性輪的質(zhì)心坐標(biāo)系Oixiyizi相對于系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)系Osxsyszs的方向余弦矩陣可用自旋軸的方位角λi、仰角φi和自旋相位角μi表示可得

在系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)系Osxsyszs下的矩陣表達(dá)式為

航天器本體部分關(guān)于其系統(tǒng)質(zhì)心的視角動(dòng)量為

其中fs是Osxsyszs的方向單位矢量，為衛(wèi)星本體部分相對于其自身質(zhì)心的慣性并矢，rb為衛(wèi)星本體的質(zhì)心相對于質(zhì)心的位置矢量，mb是衛(wèi)星本體部分的質(zhì)量。

同樣，第i個(gè)慣量輪關(guān)于系統(tǒng)質(zhì)心的視角動(dòng)量矢量為

則航天器系統(tǒng)關(guān)于系統(tǒng)質(zhì)心的總角動(dòng)量矢量為

將其代入經(jīng)典歐拉方程，可得

其中Td為外界干擾力矩。

2 不平衡飛輪模型

2.1.1 不平衡飛輪構(gòu)型

如圖1所示，圖中坐標(biāo)系為飛輪的形心坐標(biāo)系的基矢方向，其原點(diǎn)在飛輪的幾何中心，z軸與自轉(zhuǎn)軸重合，x軸與y軸在z軸的垂直平面內(nèi)，并與z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，三軸固連與飛輪的初始位置。

圖1 不平衡飛輪模型

其中ms為靜不平衡質(zhì)量，相對于形心的位置矢量為rs，其在x方向的分量數(shù)為rs，md為動(dòng)不平衡質(zhì)量，相對于形心的位置矢量為±rd，其在x方向的分量數(shù)為± rd。 2不平衡飛輪的動(dòng)靜不平衡質(zhì)量的相位差

飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，靜不平衡質(zhì)量ms對衛(wèi)星本體所產(chǎn)生的離心力沿x、y軸的分量表達(dá)式為

2.1.

兩個(gè)動(dòng)不平衡質(zhì)量md旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的力矩以及靜不平衡質(zhì)量所產(chǎn)生的離心力對系統(tǒng)質(zhì)心產(chǎn)生的力矩和為

其中α0與β0為初始相位，Us=msrs，Ud=2mdrdh，rsc為靜不平衡所產(chǎn)生的離心力對系統(tǒng)質(zhì)心作用的力臂的臂長。所以

衛(wèi)星的姿態(tài)只與作用于質(zhì)心的干擾力矩有關(guān)，由式可得，當(dāng)要使干擾力矩達(dá)到極值，則α0=β0，即初始相位角一致。所以，選擇動(dòng)靜不平衡的初始相位角相等。

2.1.3 不平衡飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

根據(jù)平行軸定理，飛輪相對于其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為（偏心距離為d，沿輪系的+x軸方向）

其中

表示飛輪的偏心距，為一標(biāo)量。

如圖2所示，平行于三軸的三個(gè)飛輪按照圖示方式旋轉(zhuǎn)，假設(shè)三個(gè)自旋相位角分別為 μx、μy、μz。其中，在與圖示位置平行的時(shí)候，三軸的相位角為 μx=μy=μz=2kπ。則三個(gè)飛輪對應(yīng)的三個(gè)坐標(biāo)變換矩陣分別為

圖2 三正交飛輪的安裝示意圖

3 飛輪擾動(dòng)特性分析

3.1 衛(wèi)星系統(tǒng)參數(shù)

為了研究動(dòng)靜不平衡質(zhì)量在飛輪高速旋轉(zhuǎn)的情況下，對衛(wèi)星姿態(tài)的影響，本文選取一種已知型號(hào)衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量參數(shù)和飛輪質(zhì)量參數(shù)。

3.1.1 衛(wèi)星本體參數(shù)

衛(wèi)星本體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為diag(4 616，2 626，3 155) (kgm2)，質(zhì)量為1 500 kg。三正交飛輪的安裝位置在衛(wèi)星本體坐標(biāo)系下的位置分別為(rx，0，0)、(0，ry，0)、(0，0，rz)(m)。其他未說明的單位均為國際單位制。

3.1.2 飛輪參數(shù)

表1 飛輪參數(shù)

3.2 整星動(dòng)量矩守恒

(6)式為航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，其將動(dòng)靜不平衡質(zhì)量作為航天器本體的一部分來考慮，所以，航天器系統(tǒng)應(yīng)該滿足動(dòng)量矩守恒。所以，對(6)式滿足動(dòng)量矩守恒進(jìn)行驗(yàn)證。x-y-z三軸姿態(tài)角分別為φ-θ-ψ，所以，根據(jù)(6)式求解出的，代入到(5)式可得

航天器的動(dòng)量矩在慣性系下守恒，所以，通過坐標(biāo)變換，將式投影到慣性系下

其中 三軸轉(zhuǎn)速分別為：Ωx≡10 Hz，Ωy≡8 Hz，Ωz≡9 Hz

如圖3所示，在三軸飛輪存在轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)靜不平衡質(zhì)量對姿態(tài)產(chǎn)生擾動(dòng)，衛(wèi)星本體三軸方向發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)。但是在圖4所示慣性系下，航天器系統(tǒng)的動(dòng)量矩的分量列陣沒有發(fā)生變化，dH dt=0，驗(yàn)證了(6)式的正確性。

3.2.1 航天器姿態(tài)變化

ms和md均為小量，m?M，飛輪的轉(zhuǎn)速保持不變，衛(wèi)星的姿態(tài)角、姿態(tài)角速度以及姿態(tài)角加速度均為小量，所以(6)式可簡化為

式中

圖3 本體系下三軸角速度

圖4 慣性系下角動(dòng)量

根據(jù)(14)式可求得其解析解

當(dāng)Ωx=5 Hz時(shí)，根據(jù)(16)式，可知，θ的長周期模態(tài)的周期為

θ的長周期模態(tài)的幅值為

同時(shí)，由于(16)式中，其系數(shù)為-Al，所以，θ是先向負(fù)向振蕩，再回到正向。與圖5是一致的。

當(dāng)存在靜不平衡質(zhì)量，Ωx=5 Hz時(shí)，根據(jù)(16)式，可知，ψ的長周期模態(tài)的周期為

ψ的長周期模態(tài)的幅值為

rx=ry=rz=0.2 m；Ωx分別取5 Hz、10 Hz、15 Hz。

可得(17)—(20)式的結(jié)果與圖5一致，同時(shí)由(15)式和(16)式可知，長周期發(fā)散量與轉(zhuǎn)速無關(guān)，與圖5一致。

3.2.1.1 xyz軸轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)散

設(shè)三軸初始相位角分別為 μx(0)=α，μy(0)=β和μz(0)=γ。要是在三軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，衛(wèi)星姿態(tài)不發(fā)生發(fā)散，即(14)式右端s-1項(xiàng)的系數(shù)為0，整理并化簡可得，即

圖5 x軸單軸轉(zhuǎn)動(dòng)的滾轉(zhuǎn)角

圖6 x軸單軸轉(zhuǎn)動(dòng)的俯仰角

圖7 x軸單軸轉(zhuǎn)動(dòng)的偏航角

由(21)式可得，單軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)a-1≡0，所以，單軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是不存在發(fā)散的。雙軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，未轉(zhuǎn)動(dòng)軸所對應(yīng)的姿態(tài)角一定是振蕩不發(fā)散的，而轉(zhuǎn)動(dòng)兩軸姿態(tài)趨勢是一致的。

3.2.1.2 x y z軸轉(zhuǎn)動(dòng)振蕩Ωx=12 Hz；Ωy=15 Hz；Ωz=9 Hz；α=π/6、β=-0.084 8、γ=-π/4

Ωx、Ωy、Ωz、α、β、γ的參數(shù)滿足(21)式，所以姿態(tài)角是振蕩的，如圖8所示。

圖8 姿態(tài)角發(fā)散的x y z三軸轉(zhuǎn)動(dòng)

3.3 穩(wěn)定性分析

將(13)式進(jìn)行Laplace變換后，代入(14)式，求出系統(tǒng)的完整傳遞函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)的形式過于復(fù)雜，所以，對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析，只寫出ωx(s)中分母中存在(s2+Ωx2)的項(xiàng)，以此為例，其他項(xiàng)的規(guī)律與之一致，可得

其中ai、b、c在特定的工況下均為常數(shù)。所以可得：若a-1≠0，則φ(Ωx)必然存在一個(gè)時(shí)間t的一次項(xiàng)，是不穩(wěn)定的發(fā)散的；若a-1=0、a0≠0，則φ(Ωx)將不存在時(shí)間t的一次項(xiàng)，但是存在常數(shù)項(xiàng)，姿態(tài)角是不以0為平衡位置振蕩的。若a-1=0、a0=0，則φ(Ωx)將不存在時(shí)間t的一次項(xiàng)，也不存在常數(shù)項(xiàng)，姿態(tài)角是以0為平衡位置振蕩的。

3.4 干擾力矩組合工況對姿態(tài)影響

因?yàn)楦蓴_力矩的產(chǎn)生需要兩個(gè)條件：(1)飛輪存在動(dòng)靜不平衡質(zhì)量；(2)飛輪存在轉(zhuǎn)動(dòng)。

3.4.1 動(dòng)靜不平衡質(zhì)量組合

根據(jù)式(13)可得

所以，動(dòng)靜不平衡質(zhì)量對姿態(tài)的干擾，滿足疊加原理。Ωx=Ωy=Ωz=15 Hz；如圖10、11和圖12所示，其中，real曲線為ms、md均存在的情況下，姿態(tài)角的實(shí)際變化規(guī)律；sum曲線表示為僅存在ms或md的兩種情況下，三軸姿態(tài)角變化的和。

圖10 動(dòng)靜不平衡質(zhì)量的組合對滾轉(zhuǎn)角的影響

在(12)式的U中，ms與ri存在一次項(xiàng)相乘，而md則沒有，所以，靜不平衡質(zhì)量對姿態(tài)的影響與飛輪的安裝位置有關(guān)，且成正比例，如圖13、14和圖15所示，三軸轉(zhuǎn)速分別為：Ωx=12 Hz，Ωy=0，Ωz=0，rx=ry=rz分別取0.2 m、0.4 m和0.6 m。另外可得：動(dòng)不平衡質(zhì)量對姿態(tài)的影響，與飛輪的安裝位置無關(guān)，如圖16、17和圖18所示，在安裝位置發(fā)生變化的情況下，姿態(tài)角的發(fā)散情況無明顯的變化。

圖11 動(dòng)靜不平衡質(zhì)量的組合對俯仰角的影響

圖12 動(dòng)靜不平衡質(zhì)量的組合對偏航角的影響

圖13 靜不平衡質(zhì)量隨飛輪安裝位置的改變對滾轉(zhuǎn)角的影響

圖14 靜不平衡質(zhì)量隨飛輪

圖15 靜不平衡質(zhì)量隨飛輪安裝位置的改變對偏航角的影響

圖16 動(dòng)不平衡質(zhì)量隨飛輪安裝位置的改變對滾轉(zhuǎn)角的影響

圖17 動(dòng)不平衡質(zhì)量隨飛輪安裝位置的改變對俯仰角的影響

3.4.2 速度組合

根據(jù)式(13)可得

但是，對于(14)式右端連乘的前兩項(xiàng)的形式發(fā)生了改變，傳遞函數(shù)發(fā)生了改變，所以，速度并不滿足疊加原理。如圖19—圖21所示：rx=ry=rz=0.2 m；real曲線表示在Ωx=Ωy=Ωz=15 Hz的情況下，三軸姿態(tài)角實(shí)際的變化；sum曲線表示Ωx=15 Hz、Ωy=Ωz=0 Hz；Ωy=15 Hz、Ωx=Ωz=0 Hz；Ωz=15 Hz、Ωx=Ωy=0 Hz；三種情況下，三軸姿態(tài)角變化的和。

圖18 動(dòng)不平衡質(zhì)量隨飛輪安裝位置的改變對偏航角的影響

圖19 三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的組合對滾轉(zhuǎn)角的影響

圖20 三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的組合對俯仰角的影響

圖21 三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的組合對偏航角的影響

4 結(jié)語

飛輪的不平衡質(zhì)量在飛輪高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對高精度航天器的姿態(tài)有明顯的影響，其中單軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對未轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)方向影響明顯，但是姿態(tài)變化的幅值與轉(zhuǎn)速無關(guān)，姿態(tài)變化的速度與轉(zhuǎn)速相關(guān)。同時(shí)，動(dòng)靜不平衡質(zhì)量對姿態(tài)的干擾是線性疊加的。且動(dòng)不平衡質(zhì)量對姿態(tài)的擾動(dòng)，只與飛輪的特性有關(guān)，而靜不平衡質(zhì)量對姿態(tài)的擾動(dòng)，與安裝位置有關(guān)。多軸的轉(zhuǎn)動(dòng)有可能造成姿態(tài)的發(fā)散或振蕩，與飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的初始相位有關(guān)。

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Study on Disturbance Characteristics of Imbalance Flywheels

LI Tai-ping,YAO Yu-zhong,LI Lin-sheng,CHENG Shi-xiang

(Shanghai Institute of Spacecraft Equipment,Shanghai 200240,China)

High-precision spacecraft has very serious demands on pointing accuracy.The flywheel is an integral part of the execution units for satellite attitude control.In the research and development process,small eccentricity or dynamic imbalance is unavoidable.So,in the attitude maneuver and stability control process,rotation of the flywheel can cause interference forces.In this paper,taking the imbalance mass as a part of the spacecraft,the spacecraft attitude dynamic equations are conducted and the simulation is carried out.The simulation results are analyzed and illustrated.It is found that when the flywheel is rotating at high speed,the attitude of the spacecraft is essentially independent of the dynamic unbalance mass and its installation location,while it is linearly related to the static unbalance mass.When a single flywheel rotates,the long-period pointing accuracy depends on the inherent characteristics of the flywheel only,instead of its rotating speed.While multi-flywheels rotate,the attitude will oscillate or diverge,depending on the initial phase.Furthermore,effect of the multi-flywheels rotating does not mean the superposition of the influences of single-flywheel’s rotating.

vibration and wave;dynamic imbalance mass;static imbalance mass;rotation;disturbance;attitude

1006-1355(2014)03-0034-04

V414.1

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.03.008

1990年，“哈勃”發(fā)射升空進(jìn)入軌道以后，由于帆板的熱致振動(dòng)的頻率與“哈勃”本體的基頻一致，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了共振，“哈勃”的指向穩(wěn)定度從設(shè)計(jì)的0.007″變到了0.1″，極大地降低了指向精度[1,2]。但是人類對航天器的精度要求卻越來越高。美國的鎖眼(KH-Key Hole)系列衛(wèi)星，從KH-1到KH-13，其分辨率從12 m提高到0.05 m。但是飛輪作為航天器的姿態(tài)控制機(jī)構(gòu)，其動(dòng)靜不平衡特性在高速旋轉(zhuǎn)的情況下，會(huì)極大地影響航天器的高精度。上世紀(jì)90年代，Eyerman和Shea等人對航天器的在軌微擾動(dòng)進(jìn)行了比較全面地總結(jié)，在該論文中，他們認(rèn)為反作用飛輪和航天器的在軌運(yùn)行熱致振動(dòng)的影響最大[3]。同時(shí)，Bialke發(fā)表了一系列的論文，對反作用飛輪擾動(dòng)的擾動(dòng)源、實(shí)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)建模等做出了全面地闡述[4]。國內(nèi)在這方面也做了大量的研究[5]，但是這些建模都是將飛輪的擾動(dòng)作為諧波[6,7]考慮，通過實(shí)驗(yàn)和Fourier變換獲得諧波數(shù)和諧波因子，缺乏理論依據(jù)?；诖?，本文將推導(dǎo)含有動(dòng)靜不平衡質(zhì)量的航天器的精確姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，并以此為基礎(chǔ)，分析飛輪的不平衡特性對航天器姿態(tài)的影響以及影響程度。

2013-06-28

李太平（1989-），男，河南內(nèi)鄉(xiāng)人，碩士，從事結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)和研究，微振動(dòng)對航天器姿態(tài)的影響。

E-mail:litaiping168@126.com