尹幫輝，王敏慶

（西北工業(yè)大學 航海學院，西安710072）

流體載荷對水下自由阻尼板阻尼損耗因子的影響

尹幫輝，王敏慶

（西北工業(yè)大學 航海學院，西安710072）

結構的阻尼損耗因子是潛艇降低水下輻射噪聲的重要參數(shù)。為此，采用譜有限元法以計算流體載荷作用下的自由阻尼板的結構損耗因子，探討輻射損耗因子同功率轉換系數(shù)間的關系；然后使用譜有限元法比較了含流體和不含流體的自由阻尼板的結構損耗因子的差異，使用能量法對相關計算結果進行驗證；最后使用三維模型對流體載荷作用下的自由阻尼板的功率轉換系數(shù)進行了計算，進而分析功率轉換系數(shù)同阻尼層楊氏模量、阻尼層厚度、阻尼層材料損耗因子等參數(shù)的關系。研究發(fā)現(xiàn)：在低于第二階彎曲波產(chǎn)生頻率的頻段范圍內，無流體時的損耗因子小于有流體的自由阻尼板；從頻段平均的角度來看，功率轉換系數(shù)在低頻存在較大峰值，在高頻變化較為平緩且數(shù)值較??；實際潛艇在流體載荷下主要通過改變結構的阻尼來改變其輻射的阻尼損耗因子。分析結果對于潛艇結構阻尼的優(yōu)化設計有參考價值。

振動與波；流體載荷；自由阻尼板；阻尼損耗因子；譜有限元法；三維彈性理論

水下自由阻尼板的阻尼損耗因子分為結構損耗因子和輻射損耗因子兩部分，本文分別對這兩部分內容進行研究。首先，流體載荷的作用會改變振動系統(tǒng)應變能分布，從而改變其結構損耗因子。對于多層板，譜有限元法[7]是一種計算其結構損耗因子的常用方法，該方法使用有限元法來計算波的傳遞特性，根據(jù)得到的特征波形使用應變能法計算各階波的損耗因子，但是由于該方法并不考慮流體載荷，所以不能用于計算流體載荷作用下的自由阻尼板的結構損耗因子。本文在文獻[7]的基礎上使用質量單元模擬流體載荷的作用，將其用于研究考慮流體載荷的自由阻尼板的結構損耗因子。其次，流體聲輻射將產(chǎn)生輻射損耗因子，直接測量或者計算輻射損耗因子比較困難，所以擬使用功率轉換系數(shù)對輻射損耗因子進行間接的研究。功率轉換系數(shù)定義為輻射功率和輸入功率的比，同時它也描述了輻射損耗因子占阻尼損耗因子的比例，所以如果能通過計算得到輸入功率和輻射功率，那么就可以得到功率轉換系數(shù)。目前對水下自由阻尼板的聲輻射特性計算用的比較多的方法有局部作用模型[8]和三維彈性模型[9，10]，以下的理論介紹及分析均使用三維彈性模型進行數(shù)值仿真，計算得到簡諧激勵下的自由阻尼板的功率轉換系數(shù)。

本文首先探索了譜有限元法以計算流體載荷作用下的自由阻尼板的結構損耗因子，探討了輻射損耗因子同功率轉換系數(shù)間的關系。然后，使用譜有限元法比較了含流體和不含流體的自由阻尼板的結構損耗因子的差異，使用能量法對相關計算結果進行了驗證。最后，使用三維彈性模型對流體載荷作用下的自由阻尼板的功率轉換系數(shù)進行了計算，討論了功率轉換系數(shù)同阻尼層楊氏模量、阻尼層厚度、阻尼層材料損耗因子等參數(shù)的關系。

1 基本理論

阻尼損耗因子反映了結構振動時的耗能特性，對于水下振動的自由阻尼板，其阻尼損耗因子由結構損耗因子ηs和輻射損耗因子ηr兩部分組成，即

其中結構損耗因子主要來源于阻尼材料將振動能量轉化為熱能耗散掉，輻射損耗因子主要來源于流體的聲輻射。

1.1 結構損耗因子

譜有限元法[7]是一種分析無限介質中波傳播特性的有限元方法，它使用直線單元的線性形函數(shù)對位移場進行離散，將離散形式的位移場代入拉格朗日原理的公式中得到特征方程，對特征方程進行求解得到某頻率下的各階波的特征波數(shù)和特征波形，對特征波形使用應變能法得到該波形的結構損耗因子。譜有限元法的特征方程可簡化為

其中A為含有頻率的矩陣，當頻率固定為某一數(shù)值時，該矩陣為一常矩陣，q0為節(jié)點振動位移向量，q1為節(jié)點振動速度向量，k為波數(shù)。方程(2)為以k為特征值，[q0q1]T為特征向量的特征方程，對其進行求解可以得到特征波數(shù)和特征波形。圖1作出了使用文獻[5]的譜有限元法對自由阻尼板進行網(wǎng)格劃分的單元、節(jié)點劃分示意圖。譜有限元法中的單元為含有兩個節(jié)點的線單元，每個節(jié)點含有3個方向的振動位移自由度。

圖1 譜有限元單元、節(jié)點劃分示意圖

由于譜有限元法沒有考慮流體載荷的作用，所以不能用來分析水下自由阻尼板的結構損耗，這是本文進行探索的主要問題。流體載荷對振動的自由阻尼板的作用力可分為慣性力和阻尼力[12]，其中對應變能分布產(chǎn)生影響的主要是慣性力。自由阻尼板的振動將帶動附近流體也一起振動，流體質量的反作用力對改變原來自由阻尼板的應變能的分布，從而改變其結構損耗因子。本文忽略流體阻尼力對應變能分布產(chǎn)生的影響，使用譜有限元法將流體載荷離散為質量單元。圖2作出了考慮流體載荷的譜有限元單元、節(jié)點劃分示意圖，其中m表示基底層劃分的單元數(shù)，n表示阻尼層的劃分的單元數(shù)，z方向表示自由阻尼板厚度方向。

流體質量載荷[12]的大小主要取決于自由阻尼板的彎曲波波長，波長越長，質量載荷越大。附加于自由阻尼板表面的質量面密度可表示為

圖2 考慮流體載荷譜有限元單元、節(jié)點劃分示意圖

其中k為自由阻尼板中彎曲波波數(shù)，ρ0為流體密度，λ為自由阻尼板中彎曲波波長。使用拉格朗日原理將流體質量載荷化為質量單元，其質量單元的單元矩陣為一常數(shù)，即式中的me。

當自由阻尼板的基底層較厚時，其彎曲波波長和只考慮基底層的彎曲波波長差別不大，所以可以直接使用基底板的彎曲波波長來計算流體質量單元的單元矩陣。這種方法為直接譜有限元法。

當基底層較薄或者當阻尼層楊氏模量較小時，使用直接譜有限元法將會導致較大誤差。前者是因為當基底層較薄時，自由阻尼板的彎曲波波長和基底層的彎曲波波長差別較大；后者是因為當阻尼層楊氏模量較小時，結構損耗因子對流體載荷的變化很敏感，所以需要較精確的計算自由阻尼板的彎曲波波長。流體載荷的大小跟自由阻尼板彎曲波長有關系，而自由阻尼板的彎曲波長又同流體載荷的大小有關系，所以一般使用迭代算法來求流體載荷和彎曲波長，根據(jù)文獻[13]的思路，使用圖3所示的迭代算法，圖中kb為迭代法的迭代初值，取為基底板彎曲波波數(shù)，其中“根據(jù)k1計算出流體載荷大小”所使用的方法為式。本文稱這種方法為迭代譜有限元法。

能量法[14]是一種使用一周期振動損耗的振動能量和總的機械振動能量的比值來描述損耗因子的方法。使用能量法可將水下自由阻尼板的結構損耗因子表示為

其中Pin是輸入功率，Prad是聲輻射功率，ω是激勵角頻率，E1是基底層應變能，E2是阻尼層應變能。本文第二節(jié)使用能量法的計算結果作為參考值對相關方法進行驗證，其輸入功率和應變能來自于ANSYS諧響應分析。

1.2 輻射損耗因子

輻射損耗因子來源于流體中的聲輻射所帶來的功率損耗，使用功率轉換系數(shù)對其進行研究。功率轉換系數(shù)用來表示聲輻射功率占輸入功率的比例，即

圖3 迭代譜有限元法流程圖

根據(jù)能量法，功率轉換系數(shù)同結構損耗因子ηs和輻射損耗因子ηr存在如下關系

從式可以看出：功率轉換系數(shù)描述了輻射損耗因子占阻尼損耗因子的比例。所以可以使用功率轉換系數(shù)來研究輻射損耗因子的變化規(guī)律。

為了計算功率轉換系數(shù)，需要得到輸入功率和聲輻射功率，利用文獻[9]描述的三維彈性模型可以比較容易地得到上述兩個參數(shù)，并進而計算得到功率轉換系數(shù)。三維彈性理論將位移場分解為縱波和剪切波的疊加，縱波使用標量勢Φ描述，剪切波使用矢量勢ψ描述，即

假設基底層為四邊簡支的Love-Kirchhoff薄板，其振動位移可以表示為三角函數(shù)疊加的形式，即

其中a、b為矩形平板的兩條邊長。

使用三維彈性模型來描述阻尼層的振動。阻尼層的邊界條件如圖4所示：阻尼層同基底層是粘結在一起的，所以接觸面上三個方向位移相同；阻尼層另外一表面是同流體相接觸的，該阻尼層該接觸面的法向位移和流體一致，同時阻尼層該接觸面處的法向正應力同流體在該處的聲壓一致；阻尼層的另外四個側面假設其面內位移為零法向自由。在以上邊界條件下，阻尼層標量勢函數(shù)和矢量勢函數(shù)都可表示為三角函數(shù)的疊加，即

其中Φpq(z)、ψx,pq(z)、ψy,pq(z)為關于坐標z的函數(shù)，三者均可表示為三角函數(shù)疊加的形式，即

其中

另外ψz可以由ψx和ψy表示出來。

在式中，amn、bpq、cpq、dpq、epq、fpq、gpq為未知數(shù)。根據(jù)各接觸處的位移連續(xù)條件、載荷連續(xù)條件以及所施加的簡諧載荷可以列出線性方程組，對線性方程組進行求解得到這些未知數(shù)，將這些未知數(shù)再代入上式可以求得基底層的振動速度、阻尼層的勢函數(shù)，根據(jù)阻尼層勢函數(shù)可以得到阻尼層的振動速度等變量，并進而求出輸入功率、聲輻射功率，具體求解方法參考文獻[6]。

圖4 水中自由阻尼板聲輻射的三維彈性模型

2 結構損耗因子分析

流體載荷通過改變自由阻尼板的應變能分布從而改變其結構損耗因子。本節(jié)使用1.1節(jié)中提出的直接譜有限元法和迭代譜有限元法對流體載荷作用下的自由阻尼板的結構損耗因子進行計算，同時使用文獻[7]中的譜有限元法對無流體載荷的自由阻尼板的結構損耗因子進行計算，對兩種情況的結構損耗因子大小進行對比。為了驗證計算結果的正確性，使用式的能量法分別對兩種情況的結構損耗因子進行計算。

譜有限元法對考慮流體載荷和不考慮流體載荷兩種情況下的自由阻尼板的結構損耗因子進行對比分析，其中無流體情況使用，有流體情況使用本文提出的。

譜有限元分析的參數(shù)如下：基底層材料為鋼，楊氏模量E1=2.1×1011Pa，忽略其材料損耗因子，密度 ρ1=7 850 kg/m3，泊 松 比 ν1=0.3，厚 度h1=10 mm。阻尼層材料為橡膠，楊氏模量為E2=3×108Pa(直接法)或108Pa(迭代法)，損耗因子η2=0.1，密度為ρ2=1 200 kg/m3，泊松比ν2=0.4，厚度為h2=50 mm。流體介質為水，密度ρ0=1 000 kg/m3，聲速c0=1 500 m/s。為驗證譜有限元計算結果的正確性，使用ANSYS作諧響應分析，然后使用能量法計算結構損耗因子，ANSYS諧響應分析使用基底層為矩形的自由阻尼板平板，長和寬為a=b=0.6 m，一垂直于板的簡諧點力作用在x0=0.2 m，y0=0.25 m處。

當阻尼層楊氏模量較大時，可以使用直接譜有限元法進行計算。下面對阻尼層楊氏模量E2=3×108Pa進行分析，圖5作出了使用譜有限元、直接譜有限元法和能量法得到的分別處于流體中和真空中的自由阻尼板的結構損耗因子曲線。從圖5可以看出：有流體和無流體情況下的譜有限元計算結果均和相應的能量法計算結果接近，這說明使用質量單元描述流體載荷是可行的。

圖5 含流體載荷以及不含流體載荷的結構損耗因子對比(直接法)

當基底層較薄或者阻尼層楊氏模量較小的時候，使用直接譜有限元法誤差較大，這時需要使用迭代算法。下面對阻尼層楊氏模量E2=108Pa，其他參數(shù)同上的自由阻尼板進行仿真計算，其計算結果如圖6所示，從中可以看出：當不考慮流體載荷時，譜有限元法和能量法計算結果接近；當考慮流體載荷時，直接譜有限元法計算結果（C曲線）同能量法計算結果（A曲線）差距較大，而迭代譜有限元法計算結果（B曲線）同能量法計算結果接近。

圖6 含流體載荷以及不含流體載荷的結構損耗因子對比(迭代法)

從圖5和圖6還可以看出：無流體的自由阻尼板的結構損耗因子小于有流體的自由阻尼板的結構損耗因子。

以上分析的頻率范圍為小于第2階彎曲波產(chǎn)生頻率的頻段。第2階彎曲波指的是阻尼層上下表面振動反相，類似于對稱蘭姆波[15]的波類型。當頻率高于上述值時，結構損耗因子隨流體載荷的變化很敏感，對于上述方法的分析或者出現(xiàn)不收斂的情況或者收斂到縱波的損耗因子的情形，由于問題的復雜性，本文沒有對這種情況進行進一步的研究。

3 輻射損耗因子分析

使用三維彈性理論計算功率轉換系數(shù)，對輻射損耗因子的特性進行討論。本節(jié)仿真的基本參數(shù)與上述譜有限元分析參數(shù)相同，其中基底層楊氏模量E2=3×108Pa，板的大小及激勵點位置同上一節(jié)ANSYS諧響應分析參數(shù)。分析時改變上述參數(shù)中的某一個，保持其他參數(shù)不變。

圖7給出了不同阻尼層楊氏模量的功率轉換系數(shù)隨頻率的變化曲線，表1給出了所有頻率的功率轉換系數(shù)的平均值，表中可見：從頻段平均的角度來看，功率轉換系數(shù)隨著阻尼層楊氏模量的變大而變大。這可以用統(tǒng)計能量分析理論解釋如下：阻尼層楊氏模量增大導致自由阻尼板的彎曲剛度增大，從而使得輸入功率減小，同時阻尼層楊氏模量的增大會導致聲輻射功率的增大[9]，所以功率轉換系數(shù)相應地增大。

圖8給出了不同阻尼層厚度的功率轉換系數(shù)隨頻率的變化曲線，從中可以看出：從頻段平均的角度來看，功率轉換系數(shù)隨著阻尼層厚度的變大而變小。對這種現(xiàn)象可解釋：當阻尼層厚度增大時，阻尼板的彎曲剛度增大，輸入功率減小，同時阻尼層的振級落差變大，聲輻射功率減小，但是由于阻尼板的彎曲剛度主要由基底決定所以輸入功率的減小量比較小，所以總體來說功率轉換系數(shù)會減小。

圖7 不同阻尼層楊氏模量的功率轉換系數(shù)

表1 功率轉換系數(shù)平均值

圖8 不同阻尼層厚度的功率轉換系數(shù)

圖9給出了不同阻尼層材料損耗因子的功率轉換系數(shù)隨頻率的變化曲線，可以看出：從頻段平均的角度來看，功率轉換系數(shù)隨著阻尼層材料損耗因子的變大而變小。對這種現(xiàn)象可解釋如下：當阻尼層材料損耗因子變大時，由于輸入導納一般變化不會很大[4]，所以輸入功率變化也不大，但是振級落差確會因為材料損耗因子的變大而明顯變大，這將導致聲輻射功率變小，所以功率轉換系數(shù)會隨之變小。

將圖7—圖9中功率轉換系數(shù)在低頻段和高頻段的峰值列在表2中，表中可見：功率轉換系數(shù)在低頻存在較大的峰值，說明在這些峰值頻率附近，輻射損耗因子在阻尼損耗因子中所占的比例較大；功率轉換系數(shù)在高頻變化比較平緩，并且其數(shù)值較小，所以在高頻時輻射損耗因子占阻尼損耗因子的比例較小。

圖9 不同阻尼層材料損耗因子的功率轉換系數(shù)

表2 功率轉換系數(shù)峰值

在仿真中使用的阻尼層材料的材料損耗因子固定為0.1，實際使用的阻尼材料的材料損耗因子一般是隨著頻率和溫度變化的，在低頻較大，一般數(shù)量級可達到1；阻尼層的厚度為50 mm，實際潛艇上敷設的消聲瓦、去耦隔聲瓦的聲學覆蓋層的厚度一般都較厚，有的甚至達到幾分米厚；由于以上原因，實際潛艇輻射損耗因子占阻尼損耗因子的比例在某些情況下的某些頻率范圍內是比較小的，在這些情況下流體載荷主要通過改變結構損耗因子來改變阻尼損耗因子。

4 結語

(1)在低于第2階彎曲波產(chǎn)生頻率的頻段范圍內，無流體的自由阻尼板的結構損耗因子小于有流體的自由阻尼板的結構損耗因子；

(2)從頻段平均的角度來看，功率轉換系數(shù)隨著阻尼層楊氏模量的變大而變大，隨阻尼層厚度變大而變小，隨阻尼層材料損耗因子變大而變?。?/p>

(3)功率轉換系數(shù)在低頻存在較大峰值，在高頻變化較為平緩且數(shù)值較??；

(4)實際潛艇輻射損耗因子占阻尼損耗因子的比例在某些情況下的某些頻率范圍內是比較小的，在這些情況下流體載荷主要通過改變結構損耗因子來改變阻尼損耗因子。

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Influence of Fluid Loading on the Damping Loss Factor of Underwater Unconstrained Damping Plates

YIN Bang-hui,WANG M in-qing

(School of Marine Engineering,Northwestern Polytechnic University,Xi’an 710072,China)

Spectral finite element method is developed for calculating the structural loss factor of an unconstrained damping plate w ith the fluid loading considered.The relationship between the radiation loss factor and power conversion coefficient is analyzed.Then,the structural loss factor of the unconstrained damping plate considering the fluid loading is compared w ith that of the plate w ithout considering the fluid loading.The results are verified by using the energy method.Finally,the power conversion coefficient of the underwater unconstrained damping plate is calculated using threedimensional elastic model.Variation law of the power conversion coefficient w ith the variations of the Young's modulus, thickness and the material loss factor of the damping layer is discussed.The study shows that w ithin the frequency band below the second-order bending wave’s starting frequency,the structure loss factor of the unconstrained damping plate w ithout fluid loading is less than that w ith fluid loading.From the perspective of the frequency average,the power conversion coefficient has large peaks in the low frequency range,and it varies gently and has small values in the highfrequency band.The radiation damping loss factor of the actual submarines under the fluid loading can be changed by changing the structure loss factor.Results of the study may have some reference values for the optimal design of structural damping for submarines.

vibration and wave;fluid loading;unconstraint damping plate;damping loss factor;spectral finite element method;three-dimensional elasticity theory潛艇的聲隱身[1—4]對其安全性具有決定作用，在潛艇表面附加一層阻尼材料能有效降低聲輻射，提高潛艇隱身性。阻尼損耗因子[5,6]用于描述結構振動時的耗能特性，常用作阻尼處理的評價參數(shù)，準確的獲取水下自由阻尼板的阻尼損耗因子對于潛艇的抑振降噪具有重要意義。目前對自由阻尼板的阻尼損耗因子的研究大多針對空氣中的情況，對于水中的自由阻尼板，由于流體載荷的作用其阻尼損耗因子相對于在空氣中將發(fā)生較大改變，同時由于阻尼層中傳遞波的復雜性和流固強耦合的復雜性，現(xiàn)在還沒有成熟的理論用于解決上述問題，由此，本文對該問題進行初步研究，旨在對潛艇聲學覆蓋層的設計和測試評估能提供一定的參考。

1006-1355(2014)04-0071-06

TB53；O328；TH113 < class="emphasis_bold">文獻標識碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.016

2013-10-20

尹幫輝（1982-），男，四川德陽人，博士生，主要研究方向：振動、噪聲及其控制。

王敏慶：男，博士生導師。

Email:mqwang@nwpu.edu.cn