張振海，朱石堅(jiān)，李海濤

（海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢430033）

柔性基礎(chǔ)混沌化線譜控制技術(shù)研究

張振海，朱石堅(jiān)，李海濤

（海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢430033）

船舶輻射水聲中的線譜成分是被動聲納在水聲對抗中檢測、跟蹤和識別目標(biāo)的主要特征信號，對線譜成分進(jìn)行控制能有效提高船舶的水聲隱聲性能。傳統(tǒng)的隔振方法無法改變隔振系統(tǒng)的線譜成份，利用反饋混沌化控制原理，采用時(shí)變反饋參數(shù)的離散混沌化方法，通過調(diào)整和優(yōu)化控制器參數(shù)，使基于柔性基礎(chǔ)的隔振系統(tǒng)在諧波激勵下能夠產(chǎn)生穩(wěn)定的混沌，改變通過隔振系統(tǒng)輸入到船體的頻譜結(jié)構(gòu)，從而改變船舶輻射水聲的頻譜結(jié)構(gòu)，并降低輻射水聲中的線譜成分，達(dá)到有效降低輻射水聲線譜成分的目的。

振動與波；線譜；隔振；柔性基礎(chǔ)；混沌

非線性隔振系統(tǒng)諸多迥異于線性系統(tǒng)的固有特性，可用以實(shí)現(xiàn)某些特殊功能，其中最為重要的是利用非線性隔振系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)其響應(yīng)功率譜呈連續(xù)譜這一特征，來消除或降低動力機(jī)械對艇體的線譜激勵，從而降低潛艇輻射水聲中的線譜成分，提高潛艇的水聲隱身性能，即混沌線譜控制方法。針對實(shí)際應(yīng)用混沌線譜控制方法時(shí)如何保持非線性隔振系統(tǒng)的混沌狀態(tài)的問題，結(jié)合反饋混沌化原理，在離散混沌化方法的基礎(chǔ)上[3]，采用時(shí)變反饋參數(shù)的離散混沌化方法，并對柔性基礎(chǔ)的隔振系統(tǒng)的線譜控制進(jìn)行了研究。

1 柔性基礎(chǔ)隔振系統(tǒng)

船用主動隔振系統(tǒng)如圖1所示[4]，該系統(tǒng)在低頻階段，利用振動主動控制來提高隔振系統(tǒng)的隔振效果，由于船體為殼體結(jié)構(gòu)，其基座不能再視為剛性基座，而應(yīng)考慮其彈性[5]。實(shí)際柔性體的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，其力學(xué)特性應(yīng)由偏微分方程表征，因此都是無限自由度系統(tǒng)，但在工程中完全按無限自由度系統(tǒng)作動力學(xué)分析不僅困難，往往也是不必要的。通常的方法是將無限自由度問題簡化為有限自由度問題處理。

圖1 主動隔振系統(tǒng)示意圖

2 動力學(xué)模型

隔振系統(tǒng)可以看作是由部件通過彈性元件組合在一起的集合體?？紤]有N個(gè)部件的隔振系統(tǒng)，將其全部當(dāng)作柔性體，因此隔振系統(tǒng)由N個(gè)柔性體組成。需要將這些單柔性體動力學(xué)方程通過相互之間的力因子而聯(lián)系起來，構(gòu)建隔振系統(tǒng)整體動力學(xué)方程

其中Mi、QVi、Kφiqi、QFi分別為第i個(gè)柔性體的質(zhì)量、廣義慣性力、廣義彈性力和廣義主動力。對系統(tǒng)做如下假設(shè)：不考慮筏架的柔性；柔性基礎(chǔ)只受到重力與隔振器在豎直方向的作用力；柔性類似于梁和板這一類的簡單結(jié)構(gòu)[6]?；谝陨霞僭O(shè)，系統(tǒng)退化為經(jīng)常用于理論分析的兩自由度隔振系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 兩自由度主動隔振系統(tǒng)簡圖

其運(yùn)動方程為

其中f(t)為擾動力，u為主動控制系統(tǒng)產(chǎn)生的作用力。

3 隔振系統(tǒng)反饋混沌化

3.1 反饋混沌化原理

考慮在開集D?R2n上的自治系統(tǒng)

其中x={x1,x2,…,x2n}為狀態(tài)參數(shù)，f:D→Rn是Ck(k≥1)映射。設(shè)存在一個(gè)線性滿足

q={q1,q2,…,q2n}為狀態(tài)參數(shù)，從面得到一個(gè)新的動力系統(tǒng)

定理：設(shè)D為R2n中開集，x、q∈D，A=(aij)是n×n常矩陣。如果存在線性矩陣A，滿足線性變換x=Aq，則x具有正的Lyapunov指數(shù)的必要條件是q具有正的Lyapunov指數(shù)。

3.2 時(shí)變參數(shù)離散混沌化方法

對多自度振動系統(tǒng)方程

[m]，[c]和[k]分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。利用振型疊加法可將方程解耦為

[U]為系統(tǒng)的模態(tài)矩陣，{q(t)}為系統(tǒng)的自然坐標(biāo)。由于工程中的大多數(shù)機(jī)械振動系統(tǒng)中，阻尼都是非常小，雖然[U]T[c][U]不是對角的，仍可以用一個(gè)對角矩陣形式的阻尼矩陣來近似代替[U]T[c][U]，最簡單的方法就是將[U]T[c][U]的非對角元素改為零值。因?yàn)閇U]T[c][U]的非對角元素引起的方程中的微小阻尼耦合項(xiàng)的影響一般遠(yuǎn)比系統(tǒng)的非耦合項(xiàng)的作用（彈性力、慣性力、阻尼力）要小，可以作為次要的影響，將它略去后仍可得到合理的近似。另外在實(shí)際工程應(yīng)用中，可通過實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，直接測定各個(gè)模態(tài)的阻尼率ξr，然后將它直接引入自然坐標(biāo)下的解耦微分方程，而采用坐標(biāo)逆變換，即可推求在原來的廣義坐標(biāo)中的阻尼矩陣。

多自由度振動系統(tǒng)微分方程解耦后可表示為一系列相互獨(dú)立的方程組

式中qr、ωr(r=1,2,…,n)為系統(tǒng)自然坐標(biāo)和自然頻率。當(dāng)激勵為諧波激勵、反饋控制系統(tǒng)產(chǎn)生的力u為周期性變化，且在每個(gè)周期內(nèi)為常數(shù)時(shí)，方程的解可表示為

可將上述方程離散化[6]為

式（9）可以離散化為式（10），因此系統(tǒng)（10）處于混沌狀態(tài)，則系統(tǒng)（9）也處于混沌狀態(tài)，因此可以通過研究離散系統(tǒng)（10）動態(tài)特性，達(dá)到研究系統(tǒng)（9）的目的。

采用Chen-Lai算法[7]，令

式中xn為離散值，δ為增益，其中非線性函數(shù)

根據(jù)動力學(xué)理論，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)的判定方法之一是系統(tǒng)具有正的Lyapunov指數(shù)[8]。系統(tǒng)（10）的Lyapunov指數(shù)為

將式（10）代入式（17）得到離散系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為

上式中δi為控制器反饋增益，可根據(jù)qn的大小而變化。由式（19）可得到系統(tǒng)（11）外于混沌狀態(tài)的條件為

考慮一種特殊情況δi=δ，則上式變?yōu)?/p>

根據(jù)控制目的的需要，δi=δ常常難以達(dá)到實(shí)際的控制效果，因此δi在一定范圍內(nèi)是可變的，只需要滿足式（19）即可。

4 算例與分析

為了驗(yàn)證上述方法的有效性，根據(jù)理論計(jì)算結(jié)果，對振動主動控制系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，取隔振系統(tǒng)的參數(shù)為m1=m2=1，c1=c2=0.01，k1=k2=6，

選擇通過反饋使q1處混沌狀態(tài)，通過偶合使隔振系統(tǒng)基座處于混沌狀態(tài)。解耦后q1的方程為

計(jì)算得到其離散化方程為

其中離散周期為T=0.792 7，a=-0.989 7，b=0.126 7，系統(tǒng)離散點(diǎn)如圖3所示，由圖可知系統(tǒng)的離散點(diǎn)集準(zhǔn)備分布在位移時(shí)間歷程中。f(t)=cos3t。系統(tǒng)的自然頻率分別為ω1=3.963 4，ω2=1.513 9。系統(tǒng)的模態(tài)矩陣為

圖3 解耦系統(tǒng)位移時(shí)間歷程及其離散點(diǎn)集

由于船舶動力機(jī)械的振動是通過基座向船體傳播的，因此首先比較系統(tǒng)沒有受到驅(qū)動與受到驅(qū)動時(shí)基座的振動及其頻譜。反饋控制系統(tǒng)沒有作用時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)為周期運(yùn)動，其基座的相圖和位移功率譜如圖4、5、6、7所示。

圖4 未受反饋力作用時(shí)m1的相圖

增加反饋?zhàn)饔昧?，考慮一種特殊情況δn=δ，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)則其Lyapunov指數(shù)為正，因此可得到系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)滿足如下條件

圖5 未受反饋力作用時(shí)x1功率譜

圖6 未受反饋力作用時(shí)m2相圖

圖7 未受反饋力作用時(shí)x2功率

為保證該隔振系統(tǒng)不僅具有良好的線譜隔離能力，還應(yīng)具有整體隔振的能力，需要對控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

由傳遞至基礎(chǔ)的力可表示為

控制系統(tǒng)作用在m上的力為

事實(shí)上控制系統(tǒng)產(chǎn)生的力比較小，在分析過程中可以忽略不計(jì)，因此為保證系統(tǒng)的隔振效果，控制系統(tǒng)的參數(shù)應(yīng)滿足如下原則：系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，即δn值在δ不變時(shí)計(jì)算的取值范圍內(nèi)；控制系統(tǒng)的相圖應(yīng)位于原系統(tǒng)相圖的范圍內(nèi)，即

對于原系統(tǒng)穩(wěn)定的極限環(huán)，在受到控制系統(tǒng)的作用后變?yōu)椴环€(wěn)定的極限環(huán)，且正向軌線的方向與原方向的夾角小于180°。

利用該方法對隔振系統(tǒng)增加反饋力作用后，基座的相圖及功率譜如圖8、9所示。

圖8 受反饋力作用時(shí)m2相圖的比較

圖9 受反饋力作用時(shí)x2功率譜

比較圖7和圖9可知，當(dāng)系統(tǒng)激勵以及其它參數(shù)均不變的情況下，受反饋?zhàn)饔昧?，系統(tǒng)的相圖呈現(xiàn)明顯的混沌運(yùn)動相圖的特征，而其頻譜不僅整體強(qiáng)度得到大幅度降低，而且優(yōu)勢頻率0.5 Hz處的線譜強(qiáng)度降低了7 dB。

另外由于混沌運(yùn)動為有界的非周期運(yùn)動，可視為無限多個(gè)頻率的周期運(yùn)動的疊加，其功率譜具有隨機(jī)運(yùn)動的特征，因此受饋力作用后基座的功率譜為連續(xù)譜，即出現(xiàn)寬峰。由此看出，通過反饋混沌化方法，不僅能實(shí)現(xiàn)線譜的有效降低，還具有良好的整體隔振能力。

5 結(jié)語

針對柔性基礎(chǔ)隔振系統(tǒng)的線譜控制問題，在離散混沌化方法的基礎(chǔ)上，提出了一種時(shí)變反饋參數(shù)的離散混沌化方法，采用這種方法使柔性基礎(chǔ)隔振系統(tǒng)混沌化，達(dá)到降低線譜成分和改變頻譜結(jié)構(gòu)的目的。采用時(shí)變反饋參數(shù)的離散混沌化方法的隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有如下優(yōu)點(diǎn)和創(chuàng)新：

（1）隔振系統(tǒng)具有混沌的基本特性，能夠改變輻射水聲的頻譜結(jié)構(gòu)；

（2）混沌隔振系統(tǒng)具有一定的線譜抑止能力，從面降低輻射水聲中的線譜成份，提高船舶的聲隱身性能；（3）該方法得到的作用力與系統(tǒng)的振幅和質(zhì)量成正比，便于利用較小的反饋?zhàn)饔昧?，達(dá)到線性系統(tǒng)反饋混沌化的目的；

（4）實(shí)現(xiàn)在線性隔振系統(tǒng)中出現(xiàn)持續(xù)的混沌運(yùn)動，從而具備工程應(yīng)用條件。

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Linear Spectra Reduction of Flexible Base Vibration Isolation System Based on Chaotification Method

ZHANG Zhen-hai,ZHU Shi-jian,LI Hai-tao

(Institute of Noise and Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

Linear spectra in the radiation noise of marine vessels are the main characteristic signals which can be detected,tracked and identified by enemy’s passive sonar.Hence,reduction of the linear spectra can effectively improve the acoustic stealth of marine vessels.However,traditional isolation methods can not remove the linear spectra components in the vibration isolation systems(VIS)of on-board machinery.In this paper,a feedback chaotification method is proposed for reduction of the linear spectra.The method of separation and chaotification of the feedback parameters is used.Through adjusting and optimizing the controller’s parameters,the VIS of the flexible base can yield steady chaos under harmonic excitation.This steady chaos can alter the structure of the frequency spectra transmitted from the VIS to the vessel.So,the frequency spectrum structure of the radiation noise of the vessel is also changed.In this way,the linear spectra in the radiated noise can be reduced effectively.Numerical simulations are carried out and the results confirm the effectiveness of this method.

vibration and wave;linear spectra;vibration isolation;flexible base;chaos

1006-1355(2014)04-0067-04+82

TB535 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.015

船舶機(jī)械設(shè)備振動產(chǎn)生的線譜是現(xiàn)代被動聲納在水聲對抗中檢測、跟蹤和識別目標(biāo)的主要特征信號[1]。非線性隔振系統(tǒng)諸多迥異于線性系統(tǒng)的固有特性，可用以實(shí)現(xiàn)某些特殊功能，其中最為重要的是利用非線性隔振系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)其響應(yīng)功率譜呈連續(xù)譜這一特征，來消除或降低動力機(jī)械對艇體的線譜激勵，從而降低潛艇輻射水聲中的線譜成分，提高潛艇的水聲隱身性能，即混沌線譜控制方法[2]。

2013-06-25

國家自然科學(xué)基金(50675220)

張振海(1979-)，男，湖北當(dāng)陽人，講師，從事船舶振動噪聲控制研究。

E-mail:zzhzx305@126.com