朱由鋒，朱由國

（1.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島266590；2.青島膠南綠茵環(huán)?？萍加邢薰?，山東 青島266400）

基于有限差分法的變截面旋轉(zhuǎn)梁彎曲振動

朱由鋒1，朱由國2

（1.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島266590；2.青島膠南綠茵環(huán)?？萍加邢薰?，山東 青島266400）

根據(jù)哈密爾頓原理建立旋轉(zhuǎn)梁的彎曲振動方程，運(yùn)用有限差分方法對旋轉(zhuǎn)梁的動力方程進(jìn)行離散處理，得到旋轉(zhuǎn)梁的質(zhì)量和剛度矩陣。借助MATLAB振動工具箱對系統(tǒng)的彎曲振動進(jìn)行模態(tài)分析，得到圓形、矩形和葉片類型三種變截面旋轉(zhuǎn)梁的固有頻率，并與相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行比較。在差分離散矩陣的基礎(chǔ)上，建立旋轉(zhuǎn)梁的線性定常狀態(tài)空間方程。運(yùn)用MATLAB振動工具箱對旋轉(zhuǎn)梁的自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)進(jìn)行仿真，分別求得旋轉(zhuǎn)梁的時間位移曲線和相軌跡。最后對非自治系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)梁進(jìn)行頻域分析，得到幅頻特性和相頻特性曲線。

振動與波；變截面；旋轉(zhuǎn)梁；有限差分；固有頻率；狀態(tài)空間

1 差分方程的建立

1.1 微分方程的建立

旋轉(zhuǎn)梁模型如圖1所示，x軸為幾何軸線，y軸為垂直軸，與重力方向一致。z軸為旋轉(zhuǎn)梁的水平方向。R為旋轉(zhuǎn)梁的輪轂半徑，懸臂梁沿輪轂中心的水平軸旋轉(zhuǎn)。梁的角速度為Ω，長度為L。截面為圓形、矩形或者葉片類型，截面積沿x軸方向減小。

圖1 旋轉(zhuǎn)梁模型

旋轉(zhuǎn)梁的勢能為

f(x)為旋轉(zhuǎn)梁的離心力，可以表示為

旋轉(zhuǎn)梁的動能為

根據(jù)哈密爾頓原理

上面所建立的運(yùn)動方程是以體系靜力平衡位置為基線建立的，但質(zhì)量上尚有重力，現(xiàn)在考慮重力的作用建立旋轉(zhuǎn)梁的彎曲振動微分方程為

式中ρ——旋轉(zhuǎn)梁的密度，kg/m3；A——旋轉(zhuǎn)梁的截面面積，m2；E——旋轉(zhuǎn)梁的楊氏模量，MPa；I——旋轉(zhuǎn)梁的慣性矩，cm4；μ——旋轉(zhuǎn)梁在y向的變形量，m。

1.2 有限差分離散

旋轉(zhuǎn)梁為懸臂梁，邊界條件為

首先以x方向的4階導(dǎo)數(shù)為例進(jìn)行差分處理。根據(jù)泰勒的展開形式，運(yùn)用2階中心差分后，可以得到x方向各次導(dǎo)數(shù)的一般差分形式。根據(jù)一次差分公式和邊界條件可以得到

根據(jù)二次、三次差分公式和邊界條件

求解后得到

最后計(jì)算求得四階導(dǎo)數(shù)的差分

同理，1階導(dǎo)數(shù)的差分為

2階導(dǎo)數(shù)的差分為

3階導(dǎo)數(shù)的差分為

2 旋轉(zhuǎn)梁的固有頻率

將差分公式代入微分方程中的微分項(xiàng)后，得到旋轉(zhuǎn)梁的矩陣表達(dá)式

分析模態(tài)時，取F=0。 K為不對稱剛度矩陣，即使對x進(jìn)行矩陣行變換也無法解耦，所以不能用傳統(tǒng)的疊加法進(jìn)行求解?？蛇\(yùn)用MATLAB振動工具箱的vtb4-3進(jìn)行求解。選擇旋轉(zhuǎn)梁的參數(shù)為

為了方便分析，部分參數(shù)進(jìn)行無量綱處理

本文對三種變截面旋轉(zhuǎn)梁的固有頻率進(jìn)行了研究。第一種為圓形截面梁，參數(shù)為

0≤c＜1為旋轉(zhuǎn)梁的錐度比。表1為差分節(jié)點(diǎn)個數(shù)對固有頻率的影響?？紤]到計(jì)算速度的因素，選擇N=200作為后續(xù)計(jì)算的節(jié)點(diǎn)。表2為不同轉(zhuǎn)速下的固有頻率，并與文獻(xiàn)[11]進(jìn)行了比對。

表1 差分結(jié)點(diǎn)個數(shù)N對數(shù)值的影響(c=0.5，η=3)

表2 圓形截面梁的固有頻率(c=0.5)

第二種為矩形截面梁，參數(shù)為

0≤c＜1為旋轉(zhuǎn)梁的錐度比。表3為不同轉(zhuǎn)速下的固有頻率，并與文獻(xiàn)[11]進(jìn)行了比對。

第三種為葉片截面梁，參數(shù)為

表4為不同轉(zhuǎn)速下的固有頻率，并與文獻(xiàn)[11]進(jìn)行了比對。圖2（a）為η=5時圓形截面旋轉(zhuǎn)梁的錐度比對固有頻率的影響。圖2（b）為η=5時矩形截面旋轉(zhuǎn)梁的錐度比對固有頻率的影響。隨著錐度比的增加，3階固有頻率呈快速下降趨勢，2階固有頻率略有下降，1階固有頻率有小幅的提高。錐度比在接近1的區(qū)域極少應(yīng)用。

3 旋轉(zhuǎn)梁的振動仿真

根據(jù)前面進(jìn)行的有限差分離散簡化，旋轉(zhuǎn)梁就轉(zhuǎn)化為線性定常系統(tǒng)[12,13]問題，狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中

然后利用MATLAB振動工具箱，對輸入條件進(jìn)行適當(dāng)控制，可以得旋轉(zhuǎn)梁的時域頻域特性。以圓形截面梁為例，不考慮重力的作用，旋轉(zhuǎn)梁為自治系統(tǒng)。選取c=0.5，旋轉(zhuǎn)梁末端振動位移為0.046 m，其它節(jié)點(diǎn)的初始位移依據(jù)主振型進(jìn)行計(jì)算得出。圖3（a）、3（b）分別為旋轉(zhuǎn)梁的自治系統(tǒng)的位移時間曲線和相軌跡。旋轉(zhuǎn)梁末端以（0，0）為中心周期性振動，振動周期與初始位移無關(guān)，振動的幅度和速度由初始位移條件決定。旋轉(zhuǎn)梁的其它位置的振動趨勢與末端相似，只是振幅和速度有差異。

表3 矩形截面梁的固有頻率(c=0.5，δ=2)

表4 葉片截面梁的固有頻率

圖2 錐度比對固有頻率的影響

圖3 旋轉(zhuǎn)梁的自治振動

旋轉(zhuǎn)梁的重力隨旋轉(zhuǎn)角度周期性改變，考慮到重力的作用，旋轉(zhuǎn)梁為非自治系統(tǒng)。以圓形截面梁為例，選擇c=0.5，η=7，0初始位移條件時，可以得到圖4、圖5。圖4（a）、4（b）分別為旋轉(zhuǎn)梁的非自治系統(tǒng)的位移時間曲線和相軌跡。旋轉(zhuǎn)梁末端以（0，0）為中心周期性振動，振動的周期由旋轉(zhuǎn)的速度決定，但由于受余弦力激振力的作用，在每個周期都會有擾動。

圖4 旋轉(zhuǎn)梁的非自治振動

圖5 旋轉(zhuǎn)梁的頻域分析

圖5（a）、5（b）為非自治系統(tǒng)時旋轉(zhuǎn)梁末端的幅頻特性和相頻特性。在無量綱頻率η=7時，旋轉(zhuǎn)梁有明顯的振幅增加。在η=9.076 2時為旋轉(zhuǎn)梁的一階固有頻率，旋轉(zhuǎn)梁的振幅也有明顯增加。在旋轉(zhuǎn)梁的2階固有頻率附近，旋轉(zhuǎn)梁的振幅也有所增加，但不是很明顯。在5（b）的相頻特性圖上可以看出，在η=7、1階和2階固有頻率附近，旋轉(zhuǎn)梁的相位都有明顯的改變。矩形截面和葉片截面旋轉(zhuǎn)梁的時域頻域仿真分析與圓形截面旋轉(zhuǎn)梁類似，由于篇幅關(guān)系，在此不詳述。

4 結(jié)語

利用有限差分離散和MATLAB振動工具箱，對圓形截面、矩形截面和葉片截面三種不同類型的旋轉(zhuǎn)梁進(jìn)行模態(tài)分析，求得不同轉(zhuǎn)速及錐度比下的彎曲固有頻率。通過狀態(tài)空間分析法對自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)進(jìn)行了仿真分析，繪制旋轉(zhuǎn)梁的位移時間響應(yīng)曲線和相軌跡。對非自治系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)梁進(jìn)行了頻域分析，得到其幅頻特性和相頻特性曲線。本文仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了有限差分法和狀態(tài)空間分析法的有效性，為分析旋轉(zhuǎn)梁的動力學(xué)特性，提供了一種可供選擇的有效計(jì)算方法。

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Analysis of Bending Vibration of Rotating Tapered Beams Based on Finite Difference Method

ZHU You-feng1,ZHU You-guo2

（1.Shandong University of Science&Technology,Qingdao 266590,Shandong China；2.Qingdao Jiaonan Greeninvest Environmental Protection Technology Co.Ltd., Qingdao 266400,Shandong China）

The bending vibration equations of rotating tapered beams are established based on Hamilton’s principle.The equations are then discretized by using finite difference method and the mass and stiffness matrices are gotten.The natural frequencies for circular,rectangular and blade cross-section beams are obtained by using MATLAB vibration toolbox.The results of computation are analyzed and compared with those in relevant references.The linearized stationary state spaces of autonomous and non-autonomous systems are built based on the mass and stiffness matrices.Then the displacement curves and phase tracks of the rotating tapered beams are drawn with MATLAB vibration toolbox.Finally the amplitude-frequency and phase-frequency characteristic curves for the non-autonomous rotating tapered beams are plotted based on the frequency-domain analysis.

vibration and wave;taper;rotating beams;finite difference;natural frequency;state space

1006-1355(2014)03-0006-05

TK83

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.03.002

旋轉(zhuǎn)梁被廣泛用于傳動軸、風(fēng)力機(jī)葉片、螺旋槳等各種旋轉(zhuǎn)構(gòu)件。它們產(chǎn)生的離心力沿幾何軸線發(fā)生變化，旋轉(zhuǎn)速度對剛度也有較大影響。因此，研究旋轉(zhuǎn)梁的固有頻率及振動特性是設(shè)計(jì)此類機(jī)械的重要基礎(chǔ)。目前對旋轉(zhuǎn)梁的研究方法主要有有限元法[1,2]、伽遼金法[3,4]、動態(tài)剛度法[5―7]，另外還有假設(shè)模態(tài)法[8]和Frobenius法[9,10]。有限差分方法(FDM)是求解微分方程和偏微分方程的一種有效方法。它簡單靈活，適于計(jì)算機(jī)編程運(yùn)算，對梁的各種邊界條件適用性好，適合處理沿幾何軸線發(fā)生改變的變參數(shù)，如變截面、變化的扭轉(zhuǎn)角、以及旋轉(zhuǎn)梁的離心力等。本文采用有限差分離散方法，借助MATLAB振動工具箱，對幾種沿水平軸旋轉(zhuǎn)的垂直旋轉(zhuǎn)梁進(jìn)行分析，得到不同轉(zhuǎn)速和錐度比的固有頻率。利用狀態(tài)空間分析方法對振動系統(tǒng)的時域特性進(jìn)行了研究，得到了各種激勵條件下的振動時間位移響應(yīng)和相軌跡。并對非自治系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性研究。

2013-05-24

朱由鋒(1976-)，男，山東青島人，博士研究生，講師，從事機(jī)械振動及動力學(xué)研究。

E-mail:zhuyf1976@163.com