高考熱點(diǎn)
2014-08-30 14:40:37張婷婷
高中生學(xué)習(xí)·高二版 2014年8期
張婷婷
考點(diǎn)1 分段函數(shù)的求值
例1 （2014年高考四川卷—12）設(shè)[f（x）]是定義在[R]上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)[x∈[-1，1）]時(shí)，[f（x）=][-4x2+2，-1≤x<0，x， 0≤x<1，]則[f（32）]= .
解析 [f（32）=][f（-12）=-4×14+2=1].
答案 1
點(diǎn)撥 本題考查了函數(shù)的周期性和分段函數(shù)的定義. 解決分段函數(shù)的關(guān)鍵在于抓住自變量的范圍和它對應(yīng)的解析式.根據(jù)自變量的取值分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值.
考點(diǎn)2 利用分段函數(shù)求參數(shù)的取值范圍
例2 （2014年高考浙江卷—15）設(shè)函數(shù)[f（x）=][x2+x，x<0，-x2， x≥0，]若[f（f（a））≤2，]則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是 .
解析 由題意知，[f（a）<0，f2（a）+f（a）≤2，]或[f（a）≥0，-f2（a）≤2，]
解得[-2≤f（a）<0]或[f（a）≥0]，
因此，[f（a）≥-2].
當(dāng)[a<0，a2+a≥-2]或[a≥0，-a2≥-2]時(shí)，解得[a≤2].
答案 [a≤2]
點(diǎn)撥 本題考查了復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)的概念.根據(jù)自變量的取值范圍的不同分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，列出不等關(guān)系式，求出參數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)3 分段函數(shù)的性質(zhì)
例3 （2014年高考福建卷—7）已知函數(shù)[f（x）=][x2+0，x>0，cosx，x≤0，]則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. [f（x）]是偶函數(shù)
B. [f（x）]是增函數(shù)
C. [f（x）]是周期函數(shù)
D. [f（x）]的值域?yàn)閇[-1，+∞）]
解析 由于分段函數(shù)的左、右兩邊的函數(shù)圖象不關(guān)于[y]軸對稱，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；由于圖象左邊不單調(diào)，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；由于[f（x）]在[x>0]部分的圖象沒有周期性，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D.
答案 D
點(diǎn)撥 判斷分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)遵循“分段判斷，合并作答”的原則.
考點(diǎn)4 分段函數(shù)的圖象問題
例4 已知函數(shù)[f（x）=2x， x<0，log2x，x>0，]若直線[y=m]與函數(shù)[f（x）]的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[m]的取值范圍是 .
解析 在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)[f（x）]的圖象，可見當(dāng)[0 [5][-5][2][-2][-4] 答案 [0，1] 點(diǎn)撥 作出分段函數(shù)的各段圖象，再觀察分析.要特別注意[x，y]的變化范圍. 考點(diǎn)5 求分段函數(shù)的解析式 例5 已知[f（x）=x2-2x+3]，將[f（x）]在[[m，m+1]]上的最小值記為[g（m）]，試求[g（m）]的表達(dá)式. 解析 因函數(shù)[f（x）]的對稱軸[x=1]與區(qū)間[[m，m+1]]的位置關(guān)系分三種情況討論，而[g（m）]的值因區(qū)間的不同而不同，故它應(yīng)是關(guān)于[m]的一個(gè)分段函數(shù). （1）當(dāng)對稱軸在區(qū)間左側(cè)，即[m>1]時(shí)， 函數(shù)[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上為增函數(shù)， [g（m）=f（m）=m2-2m+3]. （2）當(dāng)對稱軸在區(qū)間上時(shí)，即[0≤m≤1]時(shí)， [g（m）=f（1）=2]. （3）當(dāng)對稱軸在區(qū)間的右側(cè)時(shí)，即[m<0]， 函數(shù)[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上為減函數(shù)， [g（m）=f（m+1）=m2+2]. 綜上所述，[g（m）=m2+2， m<0，2， 0≤m≤1，m2-2m+3， m>1.] 點(diǎn)撥 求分段函數(shù)的解析式要遵循“先分（求）后總（求）”的原則. 1. 定義在[R]上的函數(shù)[f（x）]滿足[f（x）=][log3（1-x）， x≤0，f（x-1）-f（x-2） ，x>0，]則[f（2014）=] . 2. 設(shè)函數(shù)[f（x）=2x+a， x<1，-x-2a，x≥1，若f（1-a） 3. 判斷函數(shù)[f（x）=x2-x，x>0，x2+x，x≤0，]的奇偶性. 4. 已知函數(shù)[f（x）=ax2+2x+1，-2 5. 甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家.表示甲從 1. [log32] 2. [-34 3. 偶函數(shù) 4. [（34，1）] 5. [f（x）=115x， x∈[0，30]，2， x∈（30，40），110x-2，x∈[40，60].]
考點(diǎn)1 分段函數(shù)的求值
例1 （2014年高考四川卷—12）設(shè)[f（x）]是定義在[R]上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)[x∈[-1，1）]時(shí)，[f（x）=][-4x2+2，-1≤x<0，x， 0≤x<1，]則[f（32）]= .
解析 [f（32）=][f（-12）=-4×14+2=1].
答案 1
點(diǎn)撥 本題考查了函數(shù)的周期性和分段函數(shù)的定義. 解決分段函數(shù)的關(guān)鍵在于抓住自變量的范圍和它對應(yīng)的解析式.根據(jù)自變量的取值分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值.
考點(diǎn)2 利用分段函數(shù)求參數(shù)的取值范圍
例2 （2014年高考浙江卷—15）設(shè)函數(shù)[f（x）=][x2+x，x<0，-x2， x≥0，]若[f（f（a））≤2，]則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是 .
解析 由題意知，[f（a）<0，f2（a）+f（a）≤2，]或[f（a）≥0，-f2（a）≤2，]
解得[-2≤f（a）<0]或[f（a）≥0]，
因此，[f（a）≥-2].
當(dāng)[a<0，a2+a≥-2]或[a≥0，-a2≥-2]時(shí)，解得[a≤2].
答案 [a≤2]
點(diǎn)撥 本題考查了復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)的概念.根據(jù)自變量的取值范圍的不同分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，列出不等關(guān)系式，求出參數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)3 分段函數(shù)的性質(zhì)
例3 （2014年高考福建卷—7）已知函數(shù)[f（x）=][x2+0，x>0，cosx，x≤0，]則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. [f（x）]是偶函數(shù)
B. [f（x）]是增函數(shù)
C. [f（x）]是周期函數(shù)
D. [f（x）]的值域?yàn)閇[-1，+∞）]
解析 由于分段函數(shù)的左、右兩邊的函數(shù)圖象不關(guān)于[y]軸對稱，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；由于圖象左邊不單調(diào)，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；由于[f（x）]在[x>0]部分的圖象沒有周期性，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D.
答案 D
點(diǎn)撥 判斷分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)遵循“分段判斷，合并作答”的原則.
考點(diǎn)4 分段函數(shù)的圖象問題
例4 已知函數(shù)[f（x）=2x， x<0，log2x，x>0，]若直線[y=m]與函數(shù)[f（x）]的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[m]的取值范圍是 .
解析 在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)[f（x）]的圖象，可見當(dāng)[0 [5][-5][2][-2][-4] 答案 [0，1] 點(diǎn)撥 作出分段函數(shù)的各段圖象，再觀察分析.要特別注意[x，y]的變化范圍. 考點(diǎn)5 求分段函數(shù)的解析式 例5 已知[f（x）=x2-2x+3]，將[f（x）]在[[m，m+1]]上的最小值記為[g（m）]，試求[g（m）]的表達(dá)式. 解析 因函數(shù)[f（x）]的對稱軸[x=1]與區(qū)間[[m，m+1]]的位置關(guān)系分三種情況討論，而[g（m）]的值因區(qū)間的不同而不同，故它應(yīng)是關(guān)于[m]的一個(gè)分段函數(shù). （1）當(dāng)對稱軸在區(qū)間左側(cè)，即[m>1]時(shí)， 函數(shù)[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上為增函數(shù)， [g（m）=f（m）=m2-2m+3]. （2）當(dāng)對稱軸在區(qū)間上時(shí)，即[0≤m≤1]時(shí)， [g（m）=f（1）=2]. （3）當(dāng)對稱軸在區(qū)間的右側(cè)時(shí)，即[m<0]， 函數(shù)[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上為減函數(shù)， [g（m）=f（m+1）=m2+2]. 綜上所述，[g（m）=m2+2， m<0，2， 0≤m≤1，m2-2m+3， m>1.] 點(diǎn)撥 求分段函數(shù)的解析式要遵循“先分（求）后總（求）”的原則. 1. 定義在[R]上的函數(shù)[f（x）]滿足[f（x）=][log3（1-x）， x≤0，f（x-1）-f（x-2） ，x>0，]則[f（2014）=] . 2. 設(shè)函數(shù)[f（x）=2x+a， x<1，-x-2a，x≥1，若f（1-a） 3. 判斷函數(shù)[f（x）=x2-x，x>0，x2+x，x≤0，]的奇偶性. 4. 已知函數(shù)[f（x）=ax2+2x+1，-2 5. 甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家.表示甲從 1. [log32] 2. [-34 3. 偶函數(shù) 4. [（34，1）] 5. [f（x）=115x， x∈[0，30]，2， x∈（30，40），110x-2，x∈[40，60].]
考點(diǎn)1 分段函數(shù)的求值
例1 （2014年高考四川卷—12）設(shè)[f（x）]是定義在[R]上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)[x∈[-1，1）]時(shí)，[f（x）=][-4x2+2，-1≤x<0，x， 0≤x<1，]則[f（32）]= .
解析 [f（32）=][f（-12）=-4×14+2=1].
答案 1
點(diǎn)撥 本題考查了函數(shù)的周期性和分段函數(shù)的定義. 解決分段函數(shù)的關(guān)鍵在于抓住自變量的范圍和它對應(yīng)的解析式.根據(jù)自變量的取值分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值.
考點(diǎn)2 利用分段函數(shù)求參數(shù)的取值范圍
例2 （2014年高考浙江卷—15）設(shè)函數(shù)[f（x）=][x2+x，x<0，-x2， x≥0，]若[f（f（a））≤2，]則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是 .
解析 由題意知，[f（a）<0，f2（a）+f（a）≤2，]或[f（a）≥0，-f2（a）≤2，]
解得[-2≤f（a）<0]或[f（a）≥0]，
因此，[f（a）≥-2].
當(dāng)[a<0，a2+a≥-2]或[a≥0，-a2≥-2]時(shí)，解得[a≤2].
答案 [a≤2]
點(diǎn)撥 本題考查了復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)的概念.根據(jù)自變量的取值范圍的不同分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，列出不等關(guān)系式，求出參數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)3 分段函數(shù)的性質(zhì)
例3 （2014年高考福建卷—7）已知函數(shù)[f（x）=][x2+0，x>0，cosx，x≤0，]則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. [f（x）]是偶函數(shù)
B. [f（x）]是增函數(shù)
C. [f（x）]是周期函數(shù)
D. [f（x）]的值域?yàn)閇[-1，+∞）]
解析 由于分段函數(shù)的左、右兩邊的函數(shù)圖象不關(guān)于[y]軸對稱，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；由于圖象左邊不單調(diào)，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；由于[f（x）]在[x>0]部分的圖象沒有周期性，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D.
答案 D
點(diǎn)撥 判斷分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)遵循“分段判斷，合并作答”的原則.
考點(diǎn)4 分段函數(shù)的圖象問題
例4 已知函數(shù)[f（x）=2x， x<0，log2x，x>0，]若直線[y=m]與函數(shù)[f（x）]的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[m]的取值范圍是 .
解析 在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)[f（x）]的圖象，可見當(dāng)[0 [5][-5][2][-2][-4] 答案 [0，1] 點(diǎn)撥 作出分段函數(shù)的各段圖象，再觀察分析.要特別注意[x，y]的變化范圍. 考點(diǎn)5 求分段函數(shù)的解析式 例5 已知[f（x）=x2-2x+3]，將[f（x）]在[[m，m+1]]上的最小值記為[g（m）]，試求[g（m）]的表達(dá)式. 解析 因函數(shù)[f（x）]的對稱軸[x=1]與區(qū)間[[m，m+1]]的位置關(guān)系分三種情況討論，而[g（m）]的值因區(qū)間的不同而不同，故它應(yīng)是關(guān)于[m]的一個(gè)分段函數(shù). （1）當(dāng)對稱軸在區(qū)間左側(cè)，即[m>1]時(shí)， 函數(shù)[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上為增函數(shù)， [g（m）=f（m）=m2-2m+3]. （2）當(dāng)對稱軸在區(qū)間上時(shí)，即[0≤m≤1]時(shí)， [g（m）=f（1）=2]. （3）當(dāng)對稱軸在區(qū)間的右側(cè)時(shí)，即[m<0]， 函數(shù)[f（x）=x2-2x+3]在[[m，m+1]]上為減函數(shù)， [g（m）=f（m+1）=m2+2]. 綜上所述，[g（m）=m2+2， m<0，2， 0≤m≤1，m2-2m+3， m>1.] 點(diǎn)撥 求分段函數(shù)的解析式要遵循“先分（求）后總（求）”的原則. 1. 定義在[R]上的函數(shù)[f（x）]滿足[f（x）=][log3（1-x）， x≤0，f（x-1）-f（x-2） ，x>0，]則[f（2014）=] . 2. 設(shè)函數(shù)[f（x）=2x+a， x<1，-x-2a，x≥1，若f（1-a） 3. 判斷函數(shù)[f（x）=x2-x，x>0，x2+x，x≤0，]的奇偶性. 4. 已知函數(shù)[f（x）=ax2+2x+1，-2 5. 甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家.表示甲從 1. [log32] 2. [-34 3. 偶函數(shù) 4. [（34，1）] 5. [f（x）=115x， x∈[0，30]，2， x∈（30，40），110x-2，x∈[40，60].]
