楊文金

高考數(shù)學(xué)試卷總體上延續(xù)了前幾年的命題風(fēng)格，體現(xiàn)了以穩(wěn)定為主的命題思路，但感覺整體難度略高于去年.加大了對“關(guān)注過程，滲透思想，突出能力”的考查力度，出現(xiàn)了一系列由淺入深的“過程”題，潤物細(xì)無聲地滲透了數(shù)學(xué)思想方法，開拓了思維，發(fā)展了能力.題目的呈現(xiàn)形式和內(nèi)容豐富多彩，既著眼于熟悉的題型和在此基礎(chǔ)上的演變，又著眼于情景的創(chuàng)新，而且注意根據(jù)考查目標(biāo)的差異采用不同的呈現(xiàn)方式，這都有利于考生穩(wěn)定發(fā)揮其真實的數(shù)學(xué)水平，對于改善學(xué)習(xí)方式有較好的導(dǎo)向作用.

1.重基礎(chǔ)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性

試題緊密聯(lián)系考生的學(xué)習(xí)實際，直接考查基礎(chǔ)知識和基本技能及運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，注重對數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的考查，加強(qiáng)了知識的有效整合，提高了試卷的概括性和綜合性.

例1 （2014年高考陜西卷—11）已知[4a=2，][lgx=a，]則[x]= .

解析 [∵4a=22a=2，lgx=a，∴a=12，] [lgx=a=12，][所以x=1012=10.]

例2 （2014年高考廣東卷—4）若實數(shù)[k]滿足[0

A.離心率相等

B. 虛半軸長相等

C. 實半軸長相等

D. 焦距相等

解析 [∵00，25-k>0.]

從而兩曲線均為雙曲線，

又25+（9-[k]）=34-[k]=（25-[k]）+9，

故兩雙曲線的焦距相等.

答案 D

例3 （2014年高考四川卷—4）若設(shè)[a>b>0，][c

A. [ac>bd] B. [ac

C. [ad>bc] D. [ad

解析 ∵[c-d>0]，[-1d>-1c>0.]

又[a>b>0]，∴[-ad>-bc>0]，∴[ad

答案 D

點撥 例1考查了指、對數(shù)函數(shù)的運算，例2考查了雙曲線的方程；例3主要考查不等式的基本性質(zhì). 以上各題所考查的內(nèi)容，圖形簡潔，結(jié)論清晰，充分體現(xiàn)試題的基礎(chǔ)性，題目既相互獨立，又相互聯(lián)系，和諧統(tǒng)一. 這種直接考查基礎(chǔ)知識與基本技能的考法有效提高了考查結(jié)果的效度和信度.

2.加強(qiáng)應(yīng)用，重視實踐，注重能力

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求考生面對實際問題時，能夠主動嘗試從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)的知識和方法尋求解決問題的策略和方法. 近幾年試題不斷創(chuàng)新，突出問題解決，關(guān)注考生的發(fā)展，因此試卷將會涌現(xiàn)出一大批創(chuàng)新試題，背景將會更加貼近現(xiàn)實生活，更加符合考生的實際，更具有教育價值和操作性，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)思想方法不同程度的考查.可能會出現(xiàn)一些思辨性、實驗性較強(qiáng)和考查考生直覺思維能力、獲取信息、分析信息等方面的問題，可能會在問題情境設(shè)計方式等方面有較大的突破，出現(xiàn)立意深刻、背景新穎并洋溢著時代氣息的創(chuàng)新題、知識交匯題.

例4 （2014年高考新課標(biāo)Ⅰ卷—18）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方：

（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)[x]和樣本方差[s2]（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值[Z]服從正態(tài)分布[N（μ，δ2）]，其中[μ]近似為樣本平均數(shù)[x]，[δ2]近似為樣本方差[s2].

①利用該正態(tài)分布，求[P（187.8

②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記[X]表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求[EX].

附：[150]≈12.2.若[Z]～[N（μ，δ2）]，則[P（μ-δ

解析 （1）抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)[x]和樣本方差[s2]分別為

[x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33]

[+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200.]

[s2=-302×0.02+-202×0.09+-102×0.22+0]

[×0.33 +102×0.24+202×0.08+302×0.02][=150.]

（2）①由（1）知，[Z]～[N（200，150）]，

從而[P（187.8

[=P（200-12.2

②由①知，一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826.

依題意知[X?B（100，0.6826）]，

所以[EX=100×0.6826=68.26].

點撥 本題主要考查了樣本平均數(shù)、樣本方差、正態(tài)分布、二項分布、數(shù)學(xué)期望等概念及相關(guān)計算，考查運用統(tǒng)計與概率的知識與方法解決實際問題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

3.活用探究性，關(guān)注活動過程，倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)

試題通過設(shè)置觀察、操作、探究、應(yīng)用等方面的問題，給考生提供了一定的思考研究空間，較好地考查了考生在數(shù)學(xué)思考能力和數(shù)學(xué)活動過程等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，力求通過不同層次、不同角度和不同視點的設(shè)問，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)思想方法不同程度的考查. 考查考生能否獨立思考、能否從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)和提出問題，并加以探索研究和解決，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式.

例5 （2014年高考江蘇卷—20）設(shè)數(shù)列{[an]}的前[n]項和為[Sn]. 若對任意的正整數(shù)[n]，總存在正整數(shù)[m]，使得[Sn=am]，則稱{[an]}是“[H]數(shù)列.”

（1）若數(shù)列{[an]}的前n項和[Sn=2n]（[n∈N?]），證明：{[an]}是“[H]數(shù)列”；

（2）設(shè)數(shù)列{[an]}是等差數(shù)列，其首項[a1]=1. 公差[d<0].若{[an]}是“[H]數(shù)列”，求[d]的值；

（3）證明：對任意的等差數(shù)列{[an]}，總存在兩個“[H]數(shù)列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

解析 （1）證明：∵[Sn=2n]，

∴[an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）]，

又[a1=S1=2=21]，∴[an=2， n=1，2n-1，n≥2.]

∴存在[m=n+1]使得[Sn=am.]

（2）由已知，得[S2=2a1+d=2+d]，因為{[an]}是“[H]數(shù)列”，所以存在正整數(shù)[m]，使得[S2=am]，即[2+d=1+（m-1）d]，于是[（m-2）d=1]，因為[d<0]，所以[m-2<0]，故[m=1]，從而[d=-1].

當(dāng)[d=-1]時，[an=2-n]， [Sn=n（3-n）2]是小于2的整數(shù)，[n∈N?]，于是對任意的正整數(shù)[n]，總存在正整數(shù)[m=2-Sn=2-n（3-n）2]，使得[Sn=2-m=am]，所以{[an]}是“[H]數(shù)列”. 因此[d]的值為-1.

（3）證明：設(shè)等差數(shù)列{[an]}的公差為[d]，則[an=a1+（n-1）d=na1+（n-1）（d-a1）]（[n∈N?]）

令[bn=na1]，[cn=（n-1）（d-a1）]，則[an=bn+cn][（n∈N?）]

下面證明{[bn]}是“[H]數(shù)列”.

設(shè){[bn]} 的前[n]項和為[Tn] ，則[Tn=n（n+1）2][（n∈N?）]，于是對任意的正整數(shù)[n]，總存在正整數(shù)[m=n（n+1）2]，使得[Tn=bm]，所以{[bn]}是“[H]數(shù)列”.

同理可證{[cn]}也是“[H]數(shù)列”.

所以，對任意的等差數(shù)列{[an]}，總存在兩個“[H]數(shù)列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

點撥 本題通過新概念，得到另一個新知識內(nèi)容的閱讀學(xué)習(xí)進(jìn)而應(yīng)用，可以說是另一種考查學(xué)習(xí)過程的構(gòu)題方式.這類問題的核心是考查考生的概念理解能力、“新知識”和已學(xué)知識聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的能力，以及現(xiàn)場學(xué)習(xí)、遷移和應(yīng)用的能力.它既要求考生善于對新情景、新信息進(jìn)行有效的加工和整合，形成對概念的認(rèn)識，又要求考生能對所學(xué)知識進(jìn)行必要的遷移、拓展、變形應(yīng)用.所以，這類試題多有較好的區(qū)分度和可推廣性.本題帶有濃郁的探究成分，是數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，打破了以往程式化的設(shè)問方式，由于情況的不確定性，需要對不同情況進(jìn)行分類討論. 完成本題需要有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)、遷移、分析、變形應(yīng)用、綜合、推理和探究能力.

4.注重綜合運用，合理體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與選拔功能

為體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試向高一級學(xué)校選拔和提供新生的目的，試題在命制過程中，充分注意到了設(shè)置合理的區(qū)分度，精心編制壓軸題，綜合考查考生的各種數(shù)學(xué)能力，以便正確區(qū)分不同考生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

例6 （2014年高考新課標(biāo)Ⅱ卷—21）已知函數(shù)[fx]=[ex-e-x-2x]

（1）討論[fx]的單調(diào)性；

（2）設(shè)[gx=f2x-4bfx]，當(dāng)[x>0]時，[gx>0]，求[b]的最大值；

（3）已知[1.4142<2<1.4143]，估計ln2的近似值（精確到0.001）.

解析 [∵f（x）=ex-e-x-2x，x∈R，]

[∴f（x）=ex+e-x-2][=ex+1ex-2≥2ex?1ex-2=0.]

[所以f（x）在R上單增.]

（2）[g（x）=f（2x）-4bf（x）]

[=e2x-e-2x-4x-4b（ex-e-x-2x）>0，x>0.]

∴[g（x）=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）]

①當(dāng)[b≤2]時，[g（x）]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)[x=0]時等號成立，

所以[g（x）]在[（-∞，+∞）]上單調(diào)遞增，而[g（0）=0]，

所以對任意[x>0]，[gx>0].

②當(dāng)[b>2]時，若[x]滿足2<[ex+e-x<2b-2]，

即[0

因此當(dāng)[0

綜上，[b]的最大值為2.

（3）由（2）知，[g（ln2）=32-22b+2（2b-1）ln2.]

當(dāng)[b=2]時，[g（ln2）=32-42+6ln2>0.]

所以[ln2>82-312>0.6928.]

當(dāng)[b=324+1]時，[ln（b-1+b2-2b）=ln2，]

[g（ln2）=-32-22+（32+2）ln2<0].

所以[ln2<18+228<0.6934].

所以[ln2>82-312>0.6928].

所以ln2的近似值為0.693.

例5 （2014年高考江蘇卷—20）設(shè)數(shù)列{[an]}的前[n]項和為[Sn]. 若對任意的正整數(shù)[n]，總存在正整數(shù)[m]，使得[Sn=am]，則稱{[an]}是“[H]數(shù)列.”

（1）若數(shù)列{[an]}的前n項和[Sn=2n]（[n∈N?]），證明：{[an]}是“[H]數(shù)列”；

（2）設(shè)數(shù)列{[an]}是等差數(shù)列，其首項[a1]=1. 公差[d<0].若{[an]}是“[H]數(shù)列”，求[d]的值；

（3）證明：對任意的等差數(shù)列{[an]}，總存在兩個“[H]數(shù)列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

解析 （1）證明：∵[Sn=2n]，

∴[an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）]，

又[a1=S1=2=21]，∴[an=2， n=1，2n-1，n≥2.]

∴存在[m=n+1]使得[Sn=am.]

（2）由已知，得[S2=2a1+d=2+d]，因為{[an]}是“[H]數(shù)列”，所以存在正整數(shù)[m]，使得[S2=am]，即[2+d=1+（m-1）d]，于是[（m-2）d=1]，因為[d<0]，所以[m-2<0]，故[m=1]，從而[d=-1].

當(dāng)[d=-1]時，[an=2-n]， [Sn=n（3-n）2]是小于2的整數(shù)，[n∈N?]，于是對任意的正整數(shù)[n]，總存在正整數(shù)[m=2-Sn=2-n（3-n）2]，使得[Sn=2-m=am]，所以{[an]}是“[H]數(shù)列”. 因此[d]的值為-1.

（3）證明：設(shè)等差數(shù)列{[an]}的公差為[d]，則[an=a1+（n-1）d=na1+（n-1）（d-a1）]（[n∈N?]）

令[bn=na1]，[cn=（n-1）（d-a1）]，則[an=bn+cn][（n∈N?）]

下面證明{[bn]}是“[H]數(shù)列”.

設(shè){[bn]} 的前[n]項和為[Tn] ，則[Tn=n（n+1）2][（n∈N?）]，于是對任意的正整數(shù)[n]，總存在正整數(shù)[m=n（n+1）2]，使得[Tn=bm]，所以{[bn]}是“[H]數(shù)列”.

同理可證{[cn]}也是“[H]數(shù)列”.

所以，對任意的等差數(shù)列{[an]}，總存在兩個“[H]數(shù)列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

點撥 本題通過新概念，得到另一個新知識內(nèi)容的閱讀學(xué)習(xí)進(jìn)而應(yīng)用，可以說是另一種考查學(xué)習(xí)過程的構(gòu)題方式.這類問題的核心是考查考生的概念理解能力、“新知識”和已學(xué)知識聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的能力，以及現(xiàn)場學(xué)習(xí)、遷移和應(yīng)用的能力.它既要求考生善于對新情景、新信息進(jìn)行有效的加工和整合，形成對概念的認(rèn)識，又要求考生能對所學(xué)知識進(jìn)行必要的遷移、拓展、變形應(yīng)用.所以，這類試題多有較好的區(qū)分度和可推廣性.本題帶有濃郁的探究成分，是數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，打破了以往程式化的設(shè)問方式，由于情況的不確定性，需要對不同情況進(jìn)行分類討論. 完成本題需要有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)、遷移、分析、變形應(yīng)用、綜合、推理和探究能力.

4.注重綜合運用，合理體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與選拔功能

為體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試向高一級學(xué)校選拔和提供新生的目的，試題在命制過程中，充分注意到了設(shè)置合理的區(qū)分度，精心編制壓軸題，綜合考查考生的各種數(shù)學(xué)能力，以便正確區(qū)分不同考生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

例6 （2014年高考新課標(biāo)Ⅱ卷—21）已知函數(shù)[fx]=[ex-e-x-2x]

（1）討論[fx]的單調(diào)性；

（2）設(shè)[gx=f2x-4bfx]，當(dāng)[x>0]時，[gx>0]，求[b]的最大值；

（3）已知[1.4142<2<1.4143]，估計ln2的近似值（精確到0.001）.

解析 [∵f（x）=ex-e-x-2x，x∈R，]

[∴f（x）=ex+e-x-2][=ex+1ex-2≥2ex?1ex-2=0.]

[所以f（x）在R上單增.]

（2）[g（x）=f（2x）-4bf（x）]

[=e2x-e-2x-4x-4b（ex-e-x-2x）>0，x>0.]

∴[g（x）=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）]

①當(dāng)[b≤2]時，[g（x）]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)[x=0]時等號成立，

所以[g（x）]在[（-∞，+∞）]上單調(diào)遞增，而[g（0）=0]，

所以對任意[x>0]，[gx>0].

②當(dāng)[b>2]時，若[x]滿足2<[ex+e-x<2b-2]，

即[0

因此當(dāng)[0

綜上，[b]的最大值為2.

（3）由（2）知，[g（ln2）=32-22b+2（2b-1）ln2.]

當(dāng)[b=2]時，[g（ln2）=32-42+6ln2>0.]

所以[ln2>82-312>0.6928.]

當(dāng)[b=324+1]時，[ln（b-1+b2-2b）=ln2，]

[g（ln2）=-32-22+（32+2）ln2<0].

所以[ln2<18+228<0.6934].

所以[ln2>82-312>0.6928].

所以ln2的近似值為0.693.

例5 （2014年高考江蘇卷—20）設(shè)數(shù)列{[an]}的前[n]項和為[Sn]. 若對任意的正整數(shù)[n]，總存在正整數(shù)[m]，使得[Sn=am]，則稱{[an]}是“[H]數(shù)列.”

（1）若數(shù)列{[an]}的前n項和[Sn=2n]（[n∈N?]），證明：{[an]}是“[H]數(shù)列”；

（2）設(shè)數(shù)列{[an]}是等差數(shù)列，其首項[a1]=1. 公差[d<0].若{[an]}是“[H]數(shù)列”，求[d]的值；

（3）證明：對任意的等差數(shù)列{[an]}，總存在兩個“[H]數(shù)列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

解析 （1）證明：∵[Sn=2n]，

∴[an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）]，

又[a1=S1=2=21]，∴[an=2， n=1，2n-1，n≥2.]

∴存在[m=n+1]使得[Sn=am.]

（2）由已知，得[S2=2a1+d=2+d]，因為{[an]}是“[H]數(shù)列”，所以存在正整數(shù)[m]，使得[S2=am]，即[2+d=1+（m-1）d]，于是[（m-2）d=1]，因為[d<0]，所以[m-2<0]，故[m=1]，從而[d=-1].

當(dāng)[d=-1]時，[an=2-n]， [Sn=n（3-n）2]是小于2的整數(shù)，[n∈N?]，于是對任意的正整數(shù)[n]，總存在正整數(shù)[m=2-Sn=2-n（3-n）2]，使得[Sn=2-m=am]，所以{[an]}是“[H]數(shù)列”. 因此[d]的值為-1.

（3）證明：設(shè)等差數(shù)列{[an]}的公差為[d]，則[an=a1+（n-1）d=na1+（n-1）（d-a1）]（[n∈N?]）

令[bn=na1]，[cn=（n-1）（d-a1）]，則[an=bn+cn][（n∈N?）]

下面證明{[bn]}是“[H]數(shù)列”.

設(shè){[bn]} 的前[n]項和為[Tn] ，則[Tn=n（n+1）2][（n∈N?）]，于是對任意的正整數(shù)[n]，總存在正整數(shù)[m=n（n+1）2]，使得[Tn=bm]，所以{[bn]}是“[H]數(shù)列”.

同理可證{[cn]}也是“[H]數(shù)列”.

所以，對任意的等差數(shù)列{[an]}，總存在兩個“[H]數(shù)列” {[bn]}和{[cn]}，使得[an=bn+cn]（[n∈N?]）成立.

點撥 本題通過新概念，得到另一個新知識內(nèi)容的閱讀學(xué)習(xí)進(jìn)而應(yīng)用，可以說是另一種考查學(xué)習(xí)過程的構(gòu)題方式.這類問題的核心是考查考生的概念理解能力、“新知識”和已學(xué)知識聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的能力，以及現(xiàn)場學(xué)習(xí)、遷移和應(yīng)用的能力.它既要求考生善于對新情景、新信息進(jìn)行有效的加工和整合，形成對概念的認(rèn)識，又要求考生能對所學(xué)知識進(jìn)行必要的遷移、拓展、變形應(yīng)用.所以，這類試題多有較好的區(qū)分度和可推廣性.本題帶有濃郁的探究成分，是數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，打破了以往程式化的設(shè)問方式，由于情況的不確定性，需要對不同情況進(jìn)行分類討論. 完成本題需要有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)、遷移、分析、變形應(yīng)用、綜合、推理和探究能力.

4.注重綜合運用，合理體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與選拔功能

為體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試向高一級學(xué)校選拔和提供新生的目的，試題在命制過程中，充分注意到了設(shè)置合理的區(qū)分度，精心編制壓軸題，綜合考查考生的各種數(shù)學(xué)能力，以便正確區(qū)分不同考生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

例6 （2014年高考新課標(biāo)Ⅱ卷—21）已知函數(shù)[fx]=[ex-e-x-2x]

（1）討論[fx]的單調(diào)性；

（2）設(shè)[gx=f2x-4bfx]，當(dāng)[x>0]時，[gx>0]，求[b]的最大值；

（3）已知[1.4142<2<1.4143]，估計ln2的近似值（精確到0.001）.

解析 [∵f（x）=ex-e-x-2x，x∈R，]

[∴f（x）=ex+e-x-2][=ex+1ex-2≥2ex?1ex-2=0.]

[所以f（x）在R上單增.]

（2）[g（x）=f（2x）-4bf（x）]

[=e2x-e-2x-4x-4b（ex-e-x-2x）>0，x>0.]

∴[g（x）=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）]

①當(dāng)[b≤2]時，[g（x）]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)[x=0]時等號成立，

所以[g（x）]在[（-∞，+∞）]上單調(diào)遞增，而[g（0）=0]，

所以對任意[x>0]，[gx>0].

②當(dāng)[b>2]時，若[x]滿足2<[ex+e-x<2b-2]，

即[0

因此當(dāng)[0

綜上，[b]的最大值為2.

（3）由（2）知，[g（ln2）=32-22b+2（2b-1）ln2.]

當(dāng)[b=2]時，[g（ln2）=32-42+6ln2>0.]

所以[ln2>82-312>0.6928.]

當(dāng)[b=324+1]時，[ln（b-1+b2-2b）=ln2，]

[g（ln2）=-32-22+（32+2）ln2<0].

所以[ln2<18+228<0.6934].

所以[ln2>82-312>0.6928].

所以ln2的近似值為0.693.