郭欣紅(遼寧金融職業(yè)學院 素質教育學院， 遼寧 沈陽 110122)

函數在點x=x0處可導的充分條件

郭欣紅

(遼寧金融職業(yè)學院 素質教育學院， 遼寧 沈陽 110122)

通過幾個例子指出判斷函數在一點處是否可導要注意它的充分條件，剖析了錯誤判斷產生的原因.

函數；可導；充分條件

導數是微積分中的一個基本概念，關于函數f(x)在點x=x0處是否可導，一般是根據導數定義和定理，即函數y=f(x)在x=x0點可導的充要條件是：左右導數存在且相等.如果對導數概念沒有深刻領會和理解，往往會對一些相關結論做出錯誤判斷.本文列舉了幾個例子，剖析判斷函數在x=x0處是否可導應注意它的充分條件.

1 函數y=f(x)在點x=x0處是否可導

例1設函數f(x)在x=a的某個鄰域內有定義，則f(x)在x=a處可導的一個充分條件是( )[1].

這道題很容易選錯，如果對導數概念沒有充分理解，會認為4個選項都對，而正確答案是(D)，下面我們來剖析一下其他3個選項錯在哪兒.

1)剖析選項(A)： 如果函數在點x=a可導，根據導數定義，顯然

可見選項(A)是函數可導的必要不充分條件.

2 函數F(x)=f(x)+g(x)在x=x0處是否可導

例2函數f(x)和g(x)在點x0處可導是F(x)=f(x)+g(x)在該點處可導的( )[2].

(A) 充分不必要條件； (B) 必要不充分條件 ；(C) 充分必要條件 ；(D) 既不充分也不必要條件.

剖析此題容易錯誤地認為f(x)和g(x)在點x0處可導?F(x)=f(x)+g(x)在x0點可導，從而選(C).

例3函數f(x)和g(x)在點x0處可導是F(x)=f(x)·g(x)在該點處可導的( ).

(A)充分不必要條件；(B)必要不充分條件；(C)充分必要條件；(D)既不充分也不必要條件.

剖析同理此題也容易錯誤地認為f(x)和g(x)在點x0處可導?F(x)=f(x)·g(x)在x0點可導，從而選(C).

解如果f(x)和g(x)在點x0處可導，由導數定義可知，F(x)=f(x)·g(x)在x0處也可導；反之，則不一定成立.如f(x)=|x|，g(x)=-|x|，F(x)=f(x)·g(x)=-x2在點x=0處有導數，且F′(0)=-2x|x=0=0，然而f(x)=|x|，g(x)=-|x|,它們在點x=0處都不可導，因此選擇(A)充分不必要條件.

3 函數在點x=x0處是否可導

剖析此題可以利用導數定義，分別求出左右導數，判斷它們是否相等，也可以利用導數極限定理解決.

需要注意的是：導數極限定理只是函數在一點處可導的充分條件，如果把定理當做充要條件，很容易導致錯誤結果.

通過文中例題的剖析，我們看到，關注導數存在的充分條件，能更深入準確掌握導數的定義，加深對概念的理解.

[1]同濟大學數學系.高等數學[M]. 6版.北京: 高等教育出版社, 2009：125

[2]吉米多維奇.數學分析習題集題解 [M]. 濟南：山東科學技術出版社, 2005.

[3]時文俊. 分段函數分段點處可導性的討論 [J]. 科技創(chuàng)新導報，2013(15)：168-169.

TheSufficientConditionfortheDerivableFunctionatthePointx=x0

GUO Xin-hong

(CollegeofQualityEducation,LiaoningFinanceVocationalCollege，Shenyang110122，China)

By several examples, it points out that sufficient condition should be paid attention to in judgment of whether the function is derivative and the reason of making error judgment is analyzed.

function; derivable; sufficient condition

2014-01-22

郭欣紅(1969—)，女，遼寧沈陽人，遼寧金融職業(yè)學院素質教育學院教授，主要研究方向： 高等數學教學教法.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.01.002

O172.1

A

1007-0834(2014)01-0004-03