牛海軍(鐵嶺師范高等?？茖W校 師范學院，遼寧 鐵嶺 112000)

關(guān)于某些抽象函數(shù)原型問題的研究

牛海軍

(鐵嶺師范高等專科學校 師范學院，遼寧 鐵嶺 112000)

抽象函數(shù)問題既能考查學生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，又能考查學生的推理和論證能力.利用極限的相關(guān)理論和實數(shù)理論，給出了4個抽象函數(shù)的原型問題的證明.

抽象函數(shù)；原型；具體化；高等數(shù)學

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式，只給出它的一些性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù).文獻[1]介紹了構(gòu)造背景函數(shù)解答抽象函數(shù)的解題應用，給出了6類抽象函數(shù)對應的解題函數(shù)(背景函數(shù)).文獻[2]從抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等出發(fā), 通過具體例子給出了抽象函數(shù)常用的證明方法.文獻[3]介紹了關(guān)于抽象函數(shù)問題的5種求法，其中模型法中也給出了抽象函數(shù)的一些具體模型，如正比例函數(shù)f(x)=kx滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，指數(shù)函數(shù)f(x)=ax滿足f(x+y)=f(x)f(y)等，但是滿足等式f(x+y)=f(x)+f(y)的函數(shù)是不是只有正比例函數(shù)f(x)=kx？滿足f(x+y)=f(x)f(y)的是不是只有指數(shù)函數(shù)f(x)=ax？下面就幾個具體抽象函數(shù)的原型問題給出相關(guān)證明.

命題1設(shè)f(x)在R上連續(xù)，且對任意x,y∈R滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)=kx，其中k=f(1).

證明由f(x+y)=f(x)+f(y)可知，令x=y=0時，有f(0)=0.令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，f(x)為奇函數(shù).

下面只需證明對任意無理數(shù)x，有f(x)=kx，其中k=f(1).

命題2設(shè)函數(shù)f(x)在R上連續(xù)，且對任意x,y∈R滿足f(x+y)=f(x)f(y)，則f(x)=0或f(x)=ax，其中a=f(1)為一正數(shù).

證明若?x0∈R使得f(x0)=0，則對?x∈R有f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0，即f(x)=0.

下面證明f(x)≠0的情形.

命題3設(shè)f(x)在(0,+∞)上連續(xù)，且對任意x,y∈(0,+∞)滿足f(xy)=f(x)f(y)，則f(x)=0或f(x)=xα，其中α為常數(shù).

證明顯然f(x)=0滿足等式.

若?x0∈R，使得f(x0)≠0，則令x=x0,y=0，有0≠f(x0)+f(x0)=2f(x0)f(0)，故f(0)=1.在等式中，令x=0，有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，故f(-y)=f(y)，即f(x)為偶函數(shù).所以只需討論x≥0時的情況.

因為f(0)=1>0，由f(x)的連續(xù)性可知?δ>0，在[0,δ]中，f(x)>0.

[1]廖金祥.構(gòu)造“背景函數(shù)”解答“抽象函數(shù)”問題的思考[J].中學數(shù)學教學參考:上旬，2013(1-2)：67-68.

[2]劉崇林.抽象函數(shù)推理題解法探析[J].數(shù)學教學研究,2009,28(6):55-57.

[3]舒忠田.抽象函數(shù)問題解題方法選粹[J].江西教育學院學報,2012,33(6):35-37.

[4]薛春華，徐森林.數(shù)學分析[M].北京：清華大學出版社，2007.

ResearchonSomePrototypesofAbstractFunction

NIU Hai-jun
(NormalCollege，TielingNormalCollege，Tieling112000，China)

Abstract function can not only test students’ understanding of the nature and concept of function, but also can test students’ ability of reasoning and argumentation. The proof of four abstract function prototypes was provided by limit theories and real number theories.

abstract function; prototype; specification; advanced mathematics

2013-12-15

北京市優(yōu)秀人才培養(yǎng)資助項目(2013D005022000002)

牛海軍(1974—)，男，遼寧鐵嶺人，鐵嶺師范高等?？茖W校師范學院副教授，主要研究方向：初等數(shù)學與高等數(shù)學教學銜接.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.01.004

O13

A

1007-0834(2014)01-0009-02