王廣勝，楊曉東

(1.沈陽航空航天大學 航空航天工程學部(院)，沈陽 110136；2.北京工業(yè)大學 機電工程學院，北京 100124)

超音速氣流中受熱壁板的非線性顫振特性

王廣勝1，楊曉東2

(1.沈陽航空航天大學 航空航天工程學部(院)，沈陽 110136；2.北京工業(yè)大學 機電工程學院，北京 100124)

隨著高速飛行器技術的快速發(fā)展，壁板熱顫振成為國內外研究人員的關注熱點。壁板熱顫振對飛行器性能有重大影響，甚至影響飛行安全。以超音速氣流下的無限展長二維壁板結構作為研究對象，計入熱效應的影響，根據Kirchhoff平板理論和Von Karman大變形幾何非線性壁板理論建立系統(tǒng)的運動微分方程。并以壁板在x=0.25處為算例繪制了其前三階彎曲構型的靜態(tài)分岔圖，對不同軸向載荷條件下壁板的屈曲構型進行了分析?？紤]到溫差ΔT是影響熱應力的重要因素，對比了不同溫差條件下，壁板的靜氣動彈性變形圖，結果表明，溫差越大，壁板偏離靜平衡位置的位移越大。

一般力學；熱顫振；壁板顫振；超音速氣流；氣動熱效應

隨著超音速飛行器技術的飛速發(fā)展，飛行器的飛行馬赫數(shù)越來越高。對于高馬赫數(shù)(一般大于2.2)飛行的飛行器，由于超音速和高超音速的氣流繞經飛行器，氣流受強烈的壓縮作用將會導致溫度的升高，而且邊界層內的劇烈摩擦作用也將會使氣體溫度大大升高，從而導致飛行器結構溫度升高。所以，對于此類飛行器在顫振設計中需考慮氣動加熱的影響，壁板的熱顫振問題成為一個很重要的氣動彈性問題。

氣動加熱產生的溫度效應對壁板顫振特性的影響主要體現(xiàn)在以下兩個方面[1]：(1)材料的機械性能將會隨著溫度的升高而發(fā)生改變。例如，材料的彈性模量會隨著溫度的升高而降低。(2)結構熱應力將會在溫度分布不均處或者結構變形受到約束的地方產生。由于材料性能的變化和結構熱應力的存在，顫振邊界和顫振特性將會產生變化，從而影響飛行器的性能甚至飛行安全。

Houbolt早在1958年首次研究了均勻分布溫度場下二維壁板的顫振特性，建立了相關的控制方程，并對二維壁板的顫振邊界以及屈曲失穩(wěn)特性進行了研究分析[2]。1976年Yang和Han采用有限元方法研究了相同溫度場條件下二維壁板的熱屈曲顫振問題[3]。Xue和Mei將溫度效應以熱應力的形式引入到板結構的動力學方程中，從而比較直觀和簡便地把復雜的溫度分布情況模擬出來。并用有限元法分析了超音速氣流中任意溫度下非線性壁板顫振問題[4]以及在溫度影響下二維壁板的顫振響應和疲勞壽命[5]。目前有關壁板熱顫振的研究大多集中于平板的顫振問題，但是也有部分文獻研究了帶有初始幾何曲率壁板的熱顫振問題。Ghoman和Azzouz在2008年到2009年分別運用時域和頻域方法研究了曲壁板在存在熱載荷時的非線性顫振特性，指出曲壁板不會出現(xiàn)熱屈曲[6-7]。在國內，張蕊麗等對曲壁板的非線性熱顫振問題進行了初步探究[8]。2012年，楊智春等應用數(shù)值求解的方法研究了帶初始幾何曲率的二維各向同性材料壁板的非線性熱顫振特性[9]。

熱效應對結構氣動彈性特性的影響非常復雜，陳文俊總結了前人的研究成果，歸納出了11條結論[10]。但是，在目前的研究現(xiàn)狀下，不可能同時兼顧所有這些因素，目前在研究中所采用的是兩個簡化假設：(1)溫度場不受結構變形的影響；(2)相對于顫振的響應時間來說，溫度變化是一個很緩慢的過程。本文在計入熱效應的條件下，推導了兩端簡支二維壁板的振動微分方程，并通過具體算例得出了壁板前三階彎曲構型的靜態(tài)分岔圖，而且對比了不同溫差下壁板的屈曲程度。

1 二維壁板在超音速流下的控制方程

建立二維壁板在超音速氣流中的力學模型，如圖1所示，考慮壁板受溫度變化ΔT影響下的簡支無限展長的壁板模型，其長度為L，厚度為h，密度為ρ，在其上表面有沿x方向的超音速氣流，流速為U∞，馬赫數(shù)為M∞，空氣密度為ρ∞。

圖1 二維壁板在超音速氣流中的力學模型

僅考慮板的橫向振動，采用Von Karman大變形幾何非線性壁板理論，應變位移關系表示為[11]：

(1)

應力為：

(2)

(3)

由Kirchhoff平板理論可以得到壁板的振動方程為：

(4)

其中，w為壁板在z方向的位移，Nx為面內力，Mx為彎矩，qa是氣動載荷。由此可計算單位長度壁板的面內力：

(5-a)

(5-b)

(6)

由于二維壁板的兩端都有約束，位移邊界條件為w|x=0,L=0，故：

(7)

由于面內力為常數(shù)，對其沿x向取平均并由式(7)可得：

(8)

在壁板顫振的超音速、高超音速非定常氣動力的計算中，目前廣泛采用形式簡單且具有較好的精度活塞理論[13]，當來流馬赫數(shù)較小時，一般采用一階線性活塞理論便可以較準確地計算系統(tǒng)的氣動力，其表達式為：

(9)

其中ξ，η分別表示氣動剛度系數(shù)和氣動阻尼系數(shù)。

(10)

其中ρ∞、U∞和M∞為自由流密度、來流速度和馬赫數(shù)。

整理化簡(6)式并做無量綱化處理，可得系統(tǒng)的振動方程為：

(11)

超音速氣流中的二維壁板受氣動熱的影響，會在熱載荷的作用下產生靜氣動彈性變形，為了研究兩端簡支的二維壁板靜氣動彈性變形，將上述控制方程去掉時間相關項、阻尼項和強迫項，可得：

(12)

2 二維壁板平衡構型計算

用Ψ(x)表示去掉時間相關項后的w(x,t)，表示二維壁板的屈曲構型，由式(11)可得：

(13)

兩端簡支的二維壁板的邊界條件為：

Ψ|x=0,1=0,Ψ″|x=0,1=0

(14)

將式(14)中的積分項記為由Ψ(x)確定的常數(shù)，令

(15)

其中Γ為常數(shù)，故式(14)可寫為：

Ψ(4)+(P-Γ)Ψ″=0

(16)

上式可記為：

Ψ(4)+λ2Ψ″=0

(17)

其中

λ2=P-Γ

(18)

式中λ2是表征臨界屈曲載荷的特征值。

將式(16)代入式(19)可得

(19)

方程(18)的通解[12]為：

Ψ(x)=c1+c2x+c3cosλx+c4sinλx

(20)

將(16)式代入邊界條件式(13)中，可得方程組：

(21)

由式(20)的行列式可得特征方程為：

csinλ=0或λ=mπ

(22)

故壁板的屈曲構型為：

Ψ(x)=csin(mπx) (其中m=1,2,3…)

(23)

將式(24)代入式(20)可得

λ2=P-Γ=P-3c2λ2

(24)

可知邊界條件中常數(shù)c和載荷P有關。

3 數(shù)值算例

由圖2可知：(1)隨著軸向載荷的逐漸加大，壁板在P=π2處發(fā)生了突變，平衡點也由原來的一個(x=0)變成了3個。(2)當軸向載荷P大于第一階臨界屈曲載荷時，即P>π2時，在x=0處的平衡點變?yōu)椴环€(wěn)定平衡點，且壁板在臨界值P=π2處出現(xiàn)分岔，壁板發(fā)生屈曲。軸向載荷越大，壁板偏離平衡位置越遠。(3)當軸向載荷繼續(xù)增大，超過第二階臨界屈曲載荷時，即P>4π2時，壁板存在三種平衡：第一種是不穩(wěn)定的靜平衡構型；第二種是步驟(2)中的屈曲構型；第三種是新產生的屈曲構型，屈曲構型如圖2所示。(4)當軸向載荷繼續(xù)大于第三階臨界屈曲載荷，即P>9π2時，壁板存在三個非平凡解，相應的對應如圖2所示三個屈曲構型。

圖2 二維壁板在x=0.25處前三階彎曲構型靜態(tài)分岔圖

通過以上的靜態(tài)分岔圖分析可以得知，溫度對壁板的穩(wěn)定性有著很重要的影響，熱應力越大，系統(tǒng)的構型就越復雜。由(14)式可知，對于選定的系統(tǒng)模型，溫差ΔT是影響熱應力的重要因素，故本文再次通過算例研究了不同溫差ΔT下壁板偏離平衡位置的程度。圖3描繪了三種不同溫差(ΔT=1、ΔT=3、ΔT=5)下，壁板系統(tǒng)偏離平衡位置的情況。

圖3 不同溫差下二維壁板的彎曲構型

由圖可知，當溫差ΔT不同時，壁板在同一位置偏離平衡位置的程度也不同，溫差T越大，壁板偏離平衡位置就越遠。由此可知，溫差的大小對壁板的彎曲構型有很大的影響。

4 結論

本文運用Von Karman大變形非線性應變-位移關系，基于Kirchhoff平板理論，建立了熱環(huán)境下二維壁板在超音速流作用下的顫振微分方程，分析了溫度變化對壁板顫振的影響規(guī)律，可得出如下結論：

(1)熱應力是降低壁板穩(wěn)定性的一個因素。隨著熱應力的增大，壁板系統(tǒng)的軸向載荷大于臨界載荷時，壁板偏離平衡位置，并發(fā)生屈曲。熱應力繼續(xù)增大時，壁板系統(tǒng)同時存在多種平衡位置，對應著多種屈曲構型。

(2)溫差T是影響熱應力的一個重要因素。當溫差越大時，壁板同一位置偏離平衡點的位移也越大，溫差的存在使得壁板表現(xiàn)出的熱顫振特性更加復雜。

[1]楊智春，夏巍，孫浩.高速飛行器壁板顫振的分析模型和分析方法[J].應用力學學報，2006，23(4):537-542.

[2]Houbolt J C.A study of several aerothermoelastic problems of aircraft in high-speed flight[D].Eidenossischen Technischen Hochschule,The Swiss Federal Institute of Technology,Zurich Switzerland,1958.

[3]Yang T Y,Han A D.Flutter of thermally buckled finite element panels[J].AIAA Journal,1976,14(7):975-977.

[4]Xue D Y,Mei C.Finite element non-linear panel-flutter with arbitrary temperature in supersonic flow[J].AIAA Journal,1933,31(1):154-162.

[5]Xue D Y,Mei C.Finite element nonlinear flutter and fatigue life of two dimensional panels with temperature effects[J].Journal of Aircraft,1993,30(6):993-1000.

[6]Ghoman S,Mei C,Azzouz MS.Frequency domain method for flutter analysis of curved panels under yawed supersonic flow at elevated temperature[R].AIAA,2008-2312,2008.

[7]Ghoman S,Mei C,Azzouz MS.Time domain method for nonlinear flutter of curved panels under yawed supersonic flow at elevated temperature[R].AIAA,2009-2598,2009.

[8]張蕊麗，楊智春.曲壁板在超音速氣流中的分岔特性[J].力學學報，2010,42(5):863-869

[9]楊智春，周建，谷迎松.超音速氣流中受熱曲壁板的非線性顫振特性[J].力學學報,2012,44(1):30-38.

[10]陳文俊.氣動加熱對飛行器氣動彈性特性的影響[J].現(xiàn)代防御技術，1998,26(3):20-28.

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[13]Ashley H,Zartarian G.Piston theory-A new aerodynamic tool for the aeroelastician[J].Journal of Aeronautical Science,1956,23(10):1109-1118.

(責任編輯：吳萍 英文審校：劉敬鈺)

Nonlinearthermalflutterfeaturesofheatedpanelsinsupersonicairflow

WANG Guang-sheng1,YANG Xiao-dong2

1.Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136;2.School of Mechanical and Electrical Engineering,Beijing University of Technology,Beijing 100124)

Panel thermal flutter has become the research focus both at home and abroad with the rapid development of high-speed craft technology.Panel thermal flutter has a great influence on vehicle performance,and even affects the flight safety.The nonlinear flutter analysis of panel with thermal effect is carried out.Based on the Kirchhoff thin plate theory and the Von Karman′s nonlinear large deformation strain-displacement relations,the dynamic equations of the flat panel are established.The paper takes the point atx=0.25 as an example to draw its first three curved configuration static bifurcation diagrams,and the buckling configuration of panel of different axial load conditions is analyzed.As the difference in temperature is an important factor affecting the thermal stress,the paper compares the elastic deformation of different temperature conditions,and results show that the greater the temperature difference is,the greater displacement of the panel deviation from the static equilibrium position will be.

general mechanics;thermal flutter;panel flutter;supersonic flow;aerodynamic heating effect

2013-05-28

國家自然科學基金(項目編號：11172010,10702045)

王廣勝(1987-)，男，山東泰安人，在讀研究生，主要研究方向：非線性動力學與結構振動，E-mail:wzss1987@126.com； 楊曉東(1977-)，男，河北滄州人，教授，主要研究方向：非線性動力學與結構振動，E-mail:jxdyang@163.com。

2095-1248(2014)01-0020-04

O322

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2014.01.005