晁 濤,王松艷,楊 明

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制與仿真中心,哈爾濱 150080)

傾斜轉(zhuǎn)彎(back-to-turn,BTT)飛行器不同于以往的側(cè)滑轉(zhuǎn)彎飛行器,只有一個(gè)主升力面,轉(zhuǎn)彎時(shí)需要將升力面轉(zhuǎn)到理想的方向,產(chǎn)生所需的機(jī)動(dòng)加速度。針對(duì)這種飛行器設(shè)計(jì)制導(dǎo)律,需要結(jié)合其自身的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),建立相應(yīng)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型,綜合考慮以特定角度攻擊目標(biāo)、合理分配過(guò)載要求等性能需求,因此,其制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法得到了廣泛關(guān)注。

針對(duì)上述需求,文獻(xiàn)[1]給出了具有角速率反饋形式的最優(yōu)導(dǎo)引律,通過(guò)建立俯沖平面和轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型,引入落角約束要求,在能量最優(yōu)的情況下達(dá)到期望的性能指標(biāo)要求。而文獻(xiàn)[2]給出了一種最優(yōu)制導(dǎo)律,只使用角度反饋即可實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)精度和落角約束的要求,適合應(yīng)用于采用角跟蹤伺服系統(tǒng)的雷達(dá)導(dǎo)引頭。文獻(xiàn)[3]利用拉格朗日法,構(gòu)造帶有落點(diǎn)和落角約束的飛行器運(yùn)動(dòng)方程,研究了制導(dǎo)系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)滯后對(duì)脫靶量和落角誤差的影響。文獻(xiàn)[4]應(yīng)用SDRE方法將終端角度約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性控制問(wèn)題,并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了該制導(dǎo)律對(duì)控制回路動(dòng)態(tài)有一定的魯棒性。文獻(xiàn)[5]基于比例導(dǎo)引律提出一種由末制導(dǎo)初始預(yù)定位置的幾何關(guān)系獲得導(dǎo)航系數(shù)的方位制導(dǎo)指令法,該方法能夠滿足期望的落角約束條件。文獻(xiàn)[6-7]討論了從制導(dǎo)模型中直接獲得最優(yōu)俯仰加速度指令和滾動(dòng)角速度指令的方法,引入一種設(shè)計(jì)BTT飛行器制導(dǎo)律的思路。文獻(xiàn)[8]在考慮BTT飛行器具有一階加速度跟蹤自動(dòng)駕駛儀和零階滾轉(zhuǎn)角速率跟蹤自動(dòng)駕駛儀的情況下,利用拉格朗日乘子法對(duì)飛行器進(jìn)行了最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì),得到理想的仿真結(jié)果。文獻(xiàn)[9]通過(guò)對(duì)視線轉(zhuǎn)率進(jìn)行修整來(lái)獲得調(diào)整參數(shù),建立能夠滿足終端時(shí)間和落角要求的視線轉(zhuǎn)率剖面,并應(yīng)用二階滑?？刂品椒ǜ櫰谕暰€轉(zhuǎn)率剖面。文獻(xiàn)[10]在視線測(cè)量存在延遲的情況下,基于改進(jìn)的比例導(dǎo)引律,用開(kāi)關(guān)控制函數(shù)代替視線轉(zhuǎn)率設(shè)計(jì)滑模制導(dǎo)律,并應(yīng)用閉環(huán)濾波法消除抖振。

通過(guò)對(duì)上述文獻(xiàn)的分析可知,文獻(xiàn)[1-5]考慮了落角約束的條件,沒(méi)有考慮飛行器控制回路的動(dòng)態(tài)特性;文獻(xiàn)[6-8]考慮了飛行器控制回路的動(dòng)態(tài)特性,但不能滿足落角約束要求。目前鮮有針對(duì)BTT飛行器的考慮角度約束和控制回路動(dòng)態(tài)特性的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法。

本文針對(duì)BTT飛行器,在考慮控制回路動(dòng)態(tài)特性的情況下,研究一種帶角度約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法。根據(jù)其控制方式,考慮控制回路的影響,建立以傾側(cè)角和法向過(guò)載指令為控制量的設(shè)計(jì)模型?；谠撃Ｐ?考慮終端角度約束條件,設(shè)計(jì)滑動(dòng)模態(tài)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,在滿足落點(diǎn)精度要求的同時(shí),滿足終端角度約束條件。引入動(dòng)態(tài)切換項(xiàng)以消除制導(dǎo)律開(kāi)關(guān)函數(shù)項(xiàng)的抖振。最后,從理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真兩方面對(duì)本文的制導(dǎo)律與文獻(xiàn)[1]中的最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行比較分析。

1 數(shù)學(xué)模型與問(wèn)題描述

1.1 數(shù)學(xué)模型

目前已有的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型多是以速度轉(zhuǎn)率為控制量,當(dāng)計(jì)算BTT飛行器的制導(dǎo)指令值時(shí),需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換,給實(shí)現(xiàn)帶來(lái)不便。另外,以往制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí),通常忽略控制回路動(dòng)態(tài)特性對(duì)制導(dǎo)過(guò)程的影響,不利于提高制導(dǎo)性能[11]。因而,本文提出含控制回路動(dòng)態(tài)特性、以傾側(cè)角和法向過(guò)載指令為控制量的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型。

為簡(jiǎn)化研究,將飛行器與目標(biāo)間的三維運(yùn)動(dòng)分解為俯沖平面yoT和轉(zhuǎn)彎平面zox內(nèi)的二維運(yùn)動(dòng)來(lái)描述,如圖1所示,圖中oxsyszs為視線坐標(biāo)系。由幾何關(guān)系可知:

ηD=γD-λD

(1)

(2)

(3)

其中:v為飛行器速度;vD為速度在水平面內(nèi)的投影;ρ為彈目相對(duì)距離;γD為vD與平面xoz間的夾角;ηD為vD與視線間的夾角;λD為俯沖平面內(nèi)的視線高低角,即視線與平面xoz間的夾角。

圖1 俯沖平面內(nèi)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖

將式(3)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),整理得俯沖平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程:

(4)

同理,令ηT=γT-λTT,得到轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程:

(5)

式中:vT為飛行器速度v在轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的投影,γT為vT與平面xoy間的夾角,ηT為vT與視線間的夾角,λTT為視線與平面xoy間的夾角。

(6)

假設(shè)飛行器有時(shí)間常數(shù)為τb的傾側(cè)角自動(dòng)駕駛儀和時(shí)間常數(shù)為τa的法向過(guò)載自動(dòng)駕駛儀,即飛行器控制回路動(dòng)態(tài)特性滿足:

(7)

式中:nL,c,nL分別為飛行器的法向過(guò)載指令和實(shí)際法向過(guò)載;γv,c,γv分別為傾側(cè)角指令和實(shí)際傾側(cè)角。

(8)

1.2 問(wèn)題描述

考慮到以特定角度攻擊目標(biāo)的需求,可知飛行器的終端約束為

(9)

式中:tf為飛行結(jié)束時(shí)間,λD,f為期望落角。

綜合上述制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型推導(dǎo)和約束條件,將制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題描述為:在考慮飛行器控制回路動(dòng)態(tài)特性的情況下,針對(duì)式(8)所示的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型,設(shè)計(jì)一種滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,使飛行器滿足式(9)。

2 滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本文采用滑模變結(jié)構(gòu)方法,針對(duì)上節(jié)描述的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題,給出如下定理。

定理1 針對(duì)式(8)所示的飛行器制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型,設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律:

(10)

(11)

證明為滿足俯沖平面內(nèi)視線高低角的約束條件,將視線高低角期望動(dòng)態(tài)表示為

(12)

進(jìn)一步,將視線角轉(zhuǎn)率的期望動(dòng)態(tài)表示為

(13)

將式(13)帶入式(6)中,可推導(dǎo)出傾側(cè)角和法向過(guò)載的期望值γv,d和nL,d,即

(14)

式中:arctan2(·)表示反正切函數(shù),且其角度取值范圍為(-180°,180°]。

由式(12)～式(14)可知,要使視線角及視線角速率滿足終端約束條件,可通過(guò)使傾側(cè)角和法向過(guò)載達(dá)到期望值來(lái)實(shí)現(xiàn),故選取滑模面的2個(gè)切換函數(shù)為

(15)

(16)

設(shè)計(jì)滑模面s1和s2的指數(shù)趨近律:

(17)

其中,趨近律系數(shù)k1>0,k2>0;切換項(xiàng)增益ε1,ε2為

(18)

式中:εi0>0;μ1>0,μ2>0,是切換項(xiàng)增益變化率的系數(shù);δ1和δ2都是小正數(shù),是自定義的邊界參數(shù),可根據(jù)實(shí)際需要選擇。從式(18)可知,如果‖si‖>δi,趨近速度將增加,否則趨近速度會(huì)減小。與切換項(xiàng)增益εi取固定值相比,選用動(dòng)態(tài)值時(shí)能夠使系統(tǒng)以較小的速率趨近滑模面,起到消除抖振的效果。結(jié)合上述滑模趨近律可得:

(19)

(20)

3 與最優(yōu)制導(dǎo)律的比較

文獻(xiàn)[1]給出的帶落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律為

(21)

(22)

式中各符號(hào)的定義同前。

首先,在飛行器末制導(dǎo)的開(kāi)始階段對(duì)2種制導(dǎo)律進(jìn)行比較分析。末制導(dǎo)開(kāi)始時(shí),傾側(cè)角γv和法向過(guò)載nL的初值為0,由式(7)和式(14)可得:

(23)

式中:

(24)

最優(yōu)制導(dǎo)律的制導(dǎo)指令值如式(22)所示,法向過(guò)載指令與速度轉(zhuǎn)率的平方相關(guān),傾側(cè)角指令的正切值與速度轉(zhuǎn)率的比值相關(guān),速度轉(zhuǎn)率變化將引起指令值較大的變化,很容易造成指令值過(guò)大,因而在末制導(dǎo)初始階段實(shí)際值很難跟蹤上指令值。

其次,對(duì)飛行器在滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的導(dǎo)引下進(jìn)入滑模面運(yùn)動(dòng)后的情況與在最優(yōu)制導(dǎo)律的導(dǎo)引下跟蹤上制導(dǎo)指令值后的情況進(jìn)行比較分析。

當(dāng)系統(tǒng)處于滑模面運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí),s1=0,s2=0,則有

(25)

(26)

(27)

由式(26)和式(27)可知,當(dāng)取k11=-1/tg,k21=-2/tg,k22=-1/tg時(shí),系統(tǒng)在滑模面上實(shí)際的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與最優(yōu)制導(dǎo)律期望的飛行器運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同,本文通過(guò)調(diào)整該制導(dǎo)律的系數(shù),能夠得到不同的制導(dǎo)效果。

4 數(shù)值仿真

分別將變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律和最優(yōu)制導(dǎo)律應(yīng)用在BTT飛行器的末制導(dǎo)過(guò)程中進(jìn)行仿真,其中初始條件設(shè)置如下:目標(biāo)點(diǎn)距地面的高度為0;飛行器末制導(dǎo)起始位置距離目標(biāo)點(diǎn)的距離為9.45 km,距地面高5 km,初始速度v0=300.0 m/s;初始彈道傾角為0°,彈道偏角為2°;終端約束條件要求落地時(shí)的彈道傾角為-90°;仿真結(jié)束的標(biāo)志為飛行器的高度為0。根據(jù)收斂速度的需要確定制導(dǎo)律參數(shù):k1=15/tg,k2=6/tg,k11=-1/tg,k21=-2/tg,k22=-1/tg。

仿真結(jié)果如圖2和圖3所示,其中SMC,optC分別表示變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律指令和最優(yōu)制導(dǎo)律指令。SM,opt分別表示經(jīng)過(guò)姿態(tài)環(huán)節(jié)后的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律仿真結(jié)果和最優(yōu)制導(dǎo)律結(jié)果。

圖2 傾側(cè)角隨時(shí)間的變化曲線

圖3 法向過(guò)載隨時(shí)間的變化曲線

從圖2可見(jiàn),最優(yōu)制導(dǎo)律的初始段傾側(cè)角指令很大,并要求瞬間達(dá)到,而實(shí)際上傾側(cè)角在3.4 s之后才跟蹤上指令。變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的傾側(cè)角指令是從零開(kāi)始緩慢增大,因而與實(shí)際傾側(cè)角的變化幾乎同步,跟蹤性能好。從圖3可見(jiàn),在初始段,變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的法向過(guò)載指令從一個(gè)較小值開(kāi)始緩慢增大;在末段時(shí),指令下降到最小,此時(shí)飛行器控制能力的裕量較大,提高了攻擊目標(biāo)時(shí)抑制外界干擾的能力。從仿真結(jié)果可知,最優(yōu)制導(dǎo)律的落點(diǎn)偏差為0.26 m,變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的落點(diǎn)偏差為0.15 m,二者落點(diǎn)位置幾乎一致,均能達(dá)到位置要求。最優(yōu)制導(dǎo)律的落角偏差為-0.42°,滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的落角偏差為0.41°,均能滿足落角要求。

5 結(jié)論

本文針對(duì)BTT飛行器的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),考慮控制回路特性對(duì)制導(dǎo)過(guò)程的影響,建立了以傾側(cè)角和法向過(guò)載指令為控制量的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型。該模型與已有的設(shè)計(jì)模型相比,不需要進(jìn)行指令轉(zhuǎn)換,為BTT飛行器制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型的建立提供了一種新方法。

針對(duì)該制導(dǎo)律設(shè)計(jì)模型,提出了一種滿足終端角度約束的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法,通過(guò)合理的選擇趨近律參數(shù)可以消除抖振,使系統(tǒng)更好地趨近滑模面。理論分析表明,在初始階段該制導(dǎo)律較最優(yōu)制導(dǎo)律對(duì)過(guò)載的需求小;通過(guò)調(diào)整參數(shù),當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑模面運(yùn)動(dòng)后,飛行器能按最優(yōu)制導(dǎo)律命中目標(biāo)。該制導(dǎo)律在保證滿足落點(diǎn)精度要求和落角約束條件的同時(shí),在末制導(dǎo)過(guò)程中的各個(gè)階段對(duì)過(guò)載的需求分配合理,終端速度損失小,因而具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

[1] 趙漢元.飛行器再入動(dòng)力學(xué)和制導(dǎo)[M].長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社,1997:202-282.

ZHAO Han-yuan.Reentry vehicle dynamics and guidance[M].Changsha:National University of Defense Technology Press,1997:202-282.(in Chinese)

[2] 陳海東,余夢(mèng)倫,董利強(qiáng).具有終端角度約束的機(jī)動(dòng)再入飛行器的最優(yōu)制導(dǎo)律[J].航天控制,2002(1):6-11.

CHEN Hai-dong,YU Meng-lun,DONG Li-qiang.An optimal guidance law of maneuvering reentry vehicles with terminal angular constraint[J].Aerospace Control,2002(1):6-11.(in Chinese)

[3] 常超,林德福,祁載康,等.帶落點(diǎn)和落角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律研究[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,29(3):233-239.

CHANG Chao,LIN De-fu,QI Zai-kang,et al.Study on the optimal terminal guidance law with interception an impact angle[J].Journal of Beijing Institute of Technology,2009,29(3):233-239.(in Chinese)

[4] ASHWINI R,DEBASISH G.SDRE based guidance law for impact angle constrained trajectories[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2009,32(1):320-326.

[5] ASHWINI R,DEBASISH G.Satisfying terminal angular constraint using proportional navigation,AIAA-2009-6088[R].2009.

[6] STALLARD D V.Biased optimal guidance for bank-to-turn missile[C]//Proceedings of the American Control Conference.San Francisco:IEEE,1983:1 068-1 077.

[7] STALLARD D V.An approach to optimal guidance for a bank-to-turn missile[C]//Proceedings of the AIAA Guidance and Control Conference.New York:AIAA,1980:192-202.

[8] AGGARWAL R K,MOORE C R.Terminal guidance algorithm for ramjet-powered missiles[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1992,21(6):862-866.

[9] HARL N,BALAKRISHNAN S N.Impact time and angle guidance with sliding mode control[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2012,20(6):1 436-1 449.

[10] LUM K Y,XU J X,KHALID A,et al.Sliding mode guidance law for delayed LOS rate measurement[C]//Proceedings of the AIAA Guidance,Navigation and Control Conference and Exhibit.Honolulu:AIAA,2008:1-11.

[11] TAL S,MOSH I,ODED M G.Sliding-mode control for integrated missile autopilot guidance[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2006,29(2):250-260.

[12] 王妍.可重復(fù)使用飛行器末段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2010.

WANG Yan.Design method of terminal guidance law for reusable launch vehicle[D].Harbin:Harbin Institute of Technology,2010.(in Chinese)