(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校，江蘇 南京 211102)

虛位移原理最早由瑞士著名數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)在1717年提出,又叫做虛功原理(principle of virtual work),是力學(xué)中的一條重要原理.虛位移原理的有意思之處在于其給出了求解靜力學(xué)平衡問題的動(dòng)力學(xué)方法.讓我們來看一個(gè)具體的問題.

圖1

如圖1所示為升降機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖,已知桿長(zhǎng)為l,桿與桿間用鉸鏈連結(jié),物塊的重力為mg.與A相連的物塊可在軌道中滑動(dòng),與E相連的物塊可在與其接觸的面上滑動(dòng),不計(jì)桿的質(zhì)量和一切摩擦.求使系統(tǒng)平衡的外力F.

圖2

因?yàn)檠貤U的速度相等，所以有:

(1)

又因?yàn)锽點(diǎn)的位移中y方向上的分量為:δyB=δsB·cosθ

(2)

再考慮到方向,由(1)(2)兩式可得:

(3)

不難發(fā)現(xiàn)，C點(diǎn)相對(duì)B點(diǎn)的位移為2δyB，D點(diǎn)相對(duì)于C點(diǎn)的位移也為2δyB、E點(diǎn)相對(duì)于D點(diǎn)的位移為δyB，所以，E點(diǎn)相對(duì)于地面的位移為6δyB，由虛位移原理，有：

δW=FδxA+mg·6δyB

(4)

由(3)(4)兩式可得F=3mgcotθ

從以上解答過程可以看出,應(yīng)用虛位移原理時(shí),首先要假設(shè)一個(gè)虛運(yùn)動(dòng),然后再找出相關(guān)虛位移之間的關(guān)系,最后利用虛位移原理列方程求解.當(dāng)然,上述問題也可以用力的平衡和力矩的平衡知識(shí)來解,但是會(huì)比較繁瑣.

實(shí)際上,對(duì)于受理想約束(即沒有摩擦且約束力做功等于零的約束)的復(fù)雜系統(tǒng)的平衡問題,因?yàn)樘撐灰圃碇苯咏o出了各主動(dòng)力之間的關(guān)系,從而使公式中避免出現(xiàn)約束力,這就避免了解聯(lián)立方程,使得計(jì)算過程大為簡(jiǎn)化.

在處理復(fù)雜的平衡問題時(shí),虛位移原理會(huì)顯得特別有力.另外,虛位移原理不僅可以用來求主動(dòng)力,還可以功妙地求出系統(tǒng)的內(nèi)力.下面讓我們來看一個(gè)復(fù)雜的求內(nèi)力的問題.

如圖所示,一桁架尺寸和所受荷載如圖所示.已知:l=5m,h=3m,F=100N,假設(shè)各桿之間用鉸鏈相連,G點(diǎn)用一個(gè)可以左右滑動(dòng)的架子支撐.試求CD桿中的內(nèi)力(不計(jì)桿的質(zhì)量和一切摩擦).

圖3

對(duì)于這個(gè)問題,如果單純用力的平衡和力矩的平衡來處理,確實(shí)不太容易理出思路,而如果采用虛位移原理,則會(huì)簡(jiǎn)明許多.

我們可以將桁架的CD桿截?cái)?，如圖所示，以F1和F1′代之，這樣桁架就分成了由桿AB、BC、CK、AK、BK組成的剛體Ⅰ和由桿DO、OE、EG、GH、HK、KD、DH、HO、HE組成的剛體Ⅱ.

圖4

假設(shè)K點(diǎn)向下有一個(gè)虛位移,設(shè)d為G點(diǎn)到F1′的作用線的垂直距離,此時(shí)剛體Ⅰ繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度為δφ,剛體Ⅱ繞G點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度為δθ,此時(shí)F1與其作用點(diǎn)的位移垂直,不做功,F1′的功F1′dδθ,由虛位移原理,可得:

(1)

桁架下方的三根桿的彈力與虛位移方向垂直,所以不考慮其做功,所以

(2)

又顯然有:lδφ=2lδθ

(3)

由(1),(2),(3)式可得:

負(fù)號(hào)表示和圖示方向相反,桿CD中的彈力為壓力.

剛體是不可以發(fā)生形變的，題中原來的各個(gè)構(gòu)件之間是不可以有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的,這里我們巧妙地截?cái)嗔薈D桿,假設(shè)了一個(gè)運(yùn)動(dòng),這樣虛位移原理得以運(yùn)用.

綜上所述,虛位移原理對(duì)于復(fù)雜的靜力學(xué)問題,是一個(gè)特別簡(jiǎn)明有力的方法,另外,雖然虛位移原理給出的是質(zhì)點(diǎn)或系統(tǒng)外力(主動(dòng)力)之間的關(guān)系,但也可以通過巧妙的處理,來求出系統(tǒng)的內(nèi)力.