李亞楠，王國新

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部工程抗震研究所，遼寧大連116024)

隨著結(jié)構(gòu)抗震理論研究的深入，目前對(duì)結(jié)構(gòu)地震破壞比較一致的看法是:基于最大位移反應(yīng)首次超越和塑性累積損傷的雙重破壞準(zhǔn)則比較符合震害和試驗(yàn)實(shí)際?；谀芰康目拐鹪O(shè)計(jì)理論把地震作用看成是一種能量的傳遞、轉(zhuǎn)化與耗散的過程，該方法概念清晰，形式簡單，能夠同時(shí)反映出地震動(dòng)強(qiáng)度、頻譜和持時(shí)方面的特征，因此正日益朝著實(shí)用化設(shè)計(jì)的方向發(fā)展。

基于能量抗震設(shè)計(jì)方法的總體思路是使結(jié)構(gòu)的耗能能力大于地震波輸入的能量。結(jié)構(gòu)耗能能力的計(jì)算實(shí)際上是滯回耗能的計(jì)算，目前大多采用簡化方法，如推覆分析算法、模態(tài)分析算法等［1-3］。而在地震輸入能方面，一部分研究致力于建立瞬時(shí)輸入能與最大位移的關(guān)系［4-6］，試圖通過采用能量和位移雙參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)與評(píng)估;另一部分研究則專注于地震動(dòng)輸入能的估計(jì)和輸入能譜的建立上，希望以單自由度(single degree of freedom，SDOF)體系的地震輸入能來表示多自由度(multi-degree of freedom，MDOF)體系的地震輸入能［7-11］。然而，對(duì)于指定的結(jié)構(gòu)，地震動(dòng)的特性是影響地震輸入能量的主要因素，一些學(xué)者也試圖在地震動(dòng)與輸入能之間建立直接的簡化關(guān)系。目前已有的研究表明，對(duì)于SDOF體系的地震輸入能，線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的差別不大［12-13］，對(duì)特定的地震動(dòng)過程而言，輸入能是一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的量［14-15］，這說明該地震動(dòng)對(duì)不同周期結(jié)構(gòu)的輸入能最大值也是個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的量。因此，在地震動(dòng)過程中，有可能存在某種與能量譜峰值相關(guān)性很強(qiáng)的特定參數(shù)。

雖然之前研究人員從場地條件和結(jié)構(gòu)特性等方面對(duì)能量譜的影響因素做了許多研究，但研究并不深入。本文在已有研究滯回模型對(duì)SDOF體系輸入能影響時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選用若干條持時(shí)大致相當(dāng)、且將峰值加速度(peak ground acceleration，PGA)統(tǒng)一調(diào)整到400 cm/s2后的地震時(shí)程來計(jì)算地震動(dòng)能量時(shí)，所得到的這些地震動(dòng)能量譜曲線的峰值有較大的差別。為深入研究造成此現(xiàn)象的原因，并進(jìn)一步分析和探究能量譜與地震動(dòng)輸入之間的關(guān)系，本文從傅里葉幅值譜的角度，探究了地震動(dòng)輸入能量譜峰值與地震波頻譜之間的關(guān)系，用以建立簡化的計(jì)算方法。通過選取其他未參與統(tǒng)計(jì)的地震時(shí)程驗(yàn)證了本文提出方法的有效性。

1 問題的描述

1.1 能量方法基本概念

SDOF體系在地震作用下的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

式中:m是SDOF體系的質(zhì)量;c為體系的粘滯阻尼系數(shù);k是體系的剛度，對(duì)彈性SDOF體系，k是常數(shù)，對(duì)彈塑性SDOF體系，k由滯回模型定義;x分別是體系相對(duì)于地面的位移、速度和加速度;為地面運(yùn)動(dòng)的加速度。對(duì)式(1)用相對(duì)位移x積分，可得到結(jié)構(gòu)的相對(duì)能量方程:

也可表示為

為了消除結(jié)構(gòu)質(zhì)量的影響，可令

即

式中:VI稱為總輸入能的等價(jià)速度。一般情況下均以VI表示能量值大小。在進(jìn)行能量求解時(shí)，取適當(dāng)?shù)臅r(shí)間步長Δt，對(duì)式(2)進(jìn)行微分方程逐步積分，可得到各時(shí)刻結(jié)構(gòu)反應(yīng)的結(jié)果。以結(jié)構(gòu)初始周期作為橫坐標(biāo)，各周期下時(shí)程中的最大輸入能值作為縱坐標(biāo)，就得到輸入能譜。

1.2 能量譜計(jì)算

為減少由于不同地震間的差別對(duì)分析結(jié)果的影響，本文從美國西部強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫中選取了一次地震中(面波震級(jí)MS=8.1，1985年9月19日)在15個(gè)臺(tái)站記錄到的29條水平方向地震時(shí)程作為分析樣本，這些地震動(dòng)時(shí)程記錄均是在Ⅰ類自由場地上(詳細(xì)信息見表1)所獲取。為區(qū)分持時(shí)、PGA與其他主要因素對(duì)結(jié)果的影響，本文所選用的這29條地震動(dòng)持時(shí)均在40～60 s。同時(shí)，將29條地震動(dòng)的PGA統(tǒng)一調(diào)整為400 cm/s2。雖然基于能量的抗震設(shè)計(jì)方法不同于基于力與位移方法的重要一點(diǎn)是加入了持時(shí)的影響，然而持時(shí)主要影響滯回耗能而對(duì)總輸入能影響較小［16］，可近似認(rèn)為排除了持時(shí)對(duì)能量譜的影響。根據(jù)上節(jié)闡述的能量方程，用MATLAB編制了計(jì)算彈塑性SDOF體系能量的程序，取結(jié)構(gòu)的滯回模型為雙線型，第二剛度系數(shù)取0.1，阻尼比取 0.05，用VI譜方式來表示能量譜［15］。

圖1 12條地震動(dòng)時(shí)程VI譜Fig.1 VIspectrum of 12 records

為了圖示清晰便于判別，圖1是輸入能峰值前6條和后6條共12條地震動(dòng)的VI譜曲線。可以明顯看出，在相同的場地條件，且PGA相同、持時(shí)相差不大的情況下，VI譜出現(xiàn)了巨大差異。其他未繪出的地震動(dòng)VI譜曲線與這12條VI譜的變化趨勢相同，但分布均位于圖1的中部。本文認(rèn)為，該差異與地震波峰值速度(peak ground velocity，PGV)和峰值加速度比值(PGV/PGA)有較大的相關(guān)性，與震中距的關(guān)系并不突出。

表1 29條地震記錄Table 1 29 Earthquake records

2 VI譜差異的探討

2.1 地震波傅里葉加速度幅值譜

由上節(jié)可以看出，在一次地震中，在相同場地條件但不同臺(tái)站記錄的地震動(dòng)在PGA相同、持時(shí)相當(dāng)?shù)那闆r下，VI譜曲線在一定頻段出現(xiàn)了數(shù)倍的差異，這種現(xiàn)象比較常見。為深入探究這一現(xiàn)象的產(chǎn)生原因，本研究首先采用MATLAB對(duì)各地震動(dòng)時(shí)程做離散傅里葉變換，然后取變換后復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的平方和作為幅值，得到傅里葉加速度幅值譜(以下簡稱幅值譜)。為了更進(jìn)一步清楚地對(duì)比和觀察，這里仍采用上節(jié)的12條地震動(dòng)時(shí)程，并對(duì)每條時(shí)程進(jìn)行線性插值，使采樣間隔為0.005 s。根據(jù)奈奎斯特采樣頻率，在200 Hz的采樣頻率下，可以記錄到的最大頻率為100 Hz。因此，計(jì)算每條地震動(dòng)從0～100 Hz的幅值譜，計(jì)算結(jié)果如圖2所示。從圖2中可以看出，前6條地震動(dòng)的頻率比較集中且主要在低頻處，而且幅值譜較大。后6條地震動(dòng)的頻率分布則較分散，且幅值譜較小。

圖2 12條地震波的傅里葉幅值譜Fig.2 Fourier spectrum of 12 records

2.2 VI譜峰值參數(shù)與公式的建立

從圖2可以推斷VI譜極值與幅值譜的低頻集中程度和幅值大小有較強(qiáng)的相關(guān)性。經(jīng)過多次的嘗試，本文最終選定地震加速度時(shí)程的幅值譜集中度乘以幅值譜最大值作為衡量VI譜的參數(shù)。計(jì)算公式如下

式中:α0-f表示VI譜峰值的參數(shù);P0-f是0～1的數(shù)，代表了幅值譜的集中度;M是0～100 Hz的幅值譜最大值;S0-f表示幅值譜在0～fHz的譜值和;T表示幅值譜在0～100 Hz的譜值總和。

f取不同的值，可以得到不同的α值。為保證分析結(jié)果的穩(wěn)定性和可靠性，本文在上節(jié)所用的29條地震時(shí)程的基礎(chǔ)上，又增加I類場地條件下自由場地的40條共計(jì)69條地震時(shí)程作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫。表2列出了用選取的69條地震時(shí)程計(jì)算得到的VI譜極值VImax和不同f下的α0-f的Pearson相關(guān)性系數(shù)。當(dāng)取幅值譜0～10 Hz區(qū)間上的值作為計(jì)算參數(shù)時(shí)，α與VImax具有最大相關(guān)性。

圖3所示為VImax和α0-10的擬合關(guān)系圖。圖中顯示隨α0-10的增加，VImax呈現(xiàn)出線性增長趨勢。采用線性擬合，可以得到下式:

式中，VImax的單位為m/s。

表2 α0-f與VI max譜峰值Pearson相關(guān)系數(shù)Table 2 Pearson correlation coefficient of α0-fand VI max

圖3 VImax-α0-10曲線Fig.3 Fitting relationship of VImaxand α0－10

3 方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的參數(shù)的有效性，從強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫中另外選出9條來自不同國家和地區(qū)、具有明顯區(qū)域性特征的地震動(dòng)時(shí)程，用傳統(tǒng)的能量計(jì)算方法以及本文建議的簡化模型(式(7))分別估計(jì)其VI譜峰值。

表3 VI譜峰值時(shí)程計(jì)算與簡化計(jì)算的比較Table 3 Comparison of peak value of VIspectrum using dynamic analysis versus simplified method

這里所有地震時(shí)程均調(diào)整為采樣間隔為0.005 s且PGA為400 cm/s2。在任意 PGA下的VI譜峰值可以根據(jù)相對(duì)能量方程進(jìn)行換算得出，即能量峰值增大倍數(shù)為PGA增大倍數(shù)的平方。表3給出了9條地震動(dòng)VI譜峰值時(shí)程計(jì)算結(jié)果與簡化計(jì)算結(jié)果，可以看出，本文建議的方法具有與時(shí)程計(jì)算結(jié)果相同的趨勢，并且可忽略持時(shí)影響，即使在地震動(dòng)區(qū)域性特征突出的情況下，可以簡便地估計(jì)出地震動(dòng)VI譜峰值。相對(duì)于方法的計(jì)算效率，該估計(jì)量的誤差較小，而且結(jié)果也偏于安全。

4 結(jié)論

通過SDOF體系建立能量譜對(duì)基于能量的抗震設(shè)計(jì)方法具有深遠(yuǎn)的意義。本文總結(jié)了過去研究過程中的現(xiàn)象和疑問，從地震波頻譜分布的角度觀察了影響能量譜峰值的主要因素。該方法避免了復(fù)雜的時(shí)程計(jì)算，為進(jìn)一步研究基于能量概念的抗震設(shè)計(jì)提供參考。研究結(jié)果可以得出以下結(jié)論:

1)對(duì)于指定結(jié)構(gòu)，經(jīng)歷相同場地條件、相同PGA和相同持時(shí)的地震波后，得到的能量譜可能有巨大差異。是抗震設(shè)計(jì)挑選地震波時(shí)，應(yīng)格外注意的問題。

2)地震波傅里葉幅值譜的低頻集中度越高，峰值越大，得到的VI譜峰值越大。說明了地震波頻譜特性的重要性。

3)地震波VI譜峰值參數(shù)中，α0-10和VI譜峰值具有最大相關(guān)性。該關(guān)聯(lián)性呈線性關(guān)系，可以方便的計(jì)算出VI譜峰值，結(jié)果偏于安全。

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