豆書(shū)強(qiáng)，呼詠，榮國(guó)燦，楊兆軍

(吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130025)

理論上弧齒錐齒輪的齒形是球面漸開(kāi)線，其齒面為圓錐螺旋漸開(kāi)面。但是，目前在實(shí)際工程生產(chǎn)中大多數(shù)采用近似的球面漸開(kāi)線齒形，以達(dá)到簡(jiǎn)化弧齒錐齒輪加工制造方法的目的［1］，比較有代表性的就是美國(guó)格里森(Gleason)公司的以“局部共軛原理”為基礎(chǔ)的加工體系［2-3］。這種加工方法所加工的齒輪在傳動(dòng)中屬于局部點(diǎn)接觸，近似共軛傳動(dòng)［4］，為了獲得滿意的嚙合性能往往需要進(jìn)行反復(fù)的調(diào)整試切［5-7］。而本文所介紹的產(chǎn)形線切齒法可以有效地避免上述缺陷，具有加工效率高、無(wú)原理誤差和機(jī)床運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)［8］。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)螺旋錐齒輪的建模進(jìn)行了大量的研究工作。有的在對(duì)圓錐齒輪的齒面生成原理進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，在CAD的條件下實(shí)現(xiàn)了螺旋錐齒輪的精確建模［9］;有的基于參數(shù)化設(shè)計(jì)思想建立了弧齒錐齒輪模型［10］;有的則通過(guò)掃掠球面漸開(kāi)線齒廓的方法來(lái)建立錐齒輪模型［11］。本文提出了一種基于產(chǎn)形線切齒法的弧齒錐齒輪建模方法。

1 弧齒錐齒輪產(chǎn)形線切齒法

1.1 弧齒錐齒輪齒面的形成

由弧齒錐齒輪齒面與其基圓錐相交所形成的圓錐螺旋線，在弧齒錐齒輪基圓錐展開(kāi)成的扇形平面內(nèi)為一圓弧曲線AB，見(jiàn)圖1。圖中基圓錐的頂點(diǎn)與圓平面(Q)的圓心重合，基圓錐底面圓與圓平面(Q)的圓邊相切，當(dāng)基圓錐與圓平面(Q)相對(duì)作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)(保持 ω/ω1=sin δb)，圓弧曲線AB的軌跡所形成的圓錐螺旋漸開(kāi)面即為弧齒錐齒輪的齒面［12］。

圖1 球面漸開(kāi)線弧齒錐齒輪齒面的形成Fig.1 The formation of spiral bevel gear tooth surface with spherical involute

圓弧曲線AB即為弧齒錐齒輪齒面的產(chǎn)形線，如果以圓弧曲線AB構(gòu)成刀具的刀刃，并用這樣的刀具加工弧齒錐齒輪的方法(保證刀刃在(Q)平面內(nèi)，并且齒坯與(Q)平面相對(duì)作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng))即為弧齒錐齒輪的產(chǎn)形線切齒法。文獻(xiàn)［1，8，12］對(duì)這種加工方法進(jìn)行了詳細(xì)的論述。

1.2 弧齒錐齒輪齒面的切削

圖2為收縮齒制錐齒輪角度計(jì)算關(guān)系圖，其中δa、δf、δb分別為錐齒輪的面錐角、根錐角和基錐角，切平面(Q)與基圓錐切于母線OJ，并與面錐交于OA、OB，與根錐交于OK、OI，μ、ψ 分別為切削區(qū)角和切削區(qū)調(diào)整角。其中

圖2 收縮齒制錐齒輪角度計(jì)算關(guān)系Fig.2 Relations of the angles of the bevel gear with tapered tooth depth

將圖2所示按圖1關(guān)系繪于圖3，圖中Li為弧齒錐齒輪小端基錐母線長(zhǎng)，Le為弧齒錐齒輪大端基錐母線長(zhǎng)。半徑為R的圓弧WV作為產(chǎn)形線，其圓心Oo與回轉(zhuǎn)中心O的距離為q，稱之為刀位。當(dāng)產(chǎn)形線隨(Q)面一起以角速度ω繞回轉(zhuǎn)中心O旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，被加工錐齒輪以角速度ω1繞軸線OO1旋轉(zhuǎn)，保持二者作純滾動(dòng)(ω/ω1=sin δb)。產(chǎn)形線WV進(jìn)入切削區(qū)，由位置W1V1運(yùn)動(dòng)到位置W2V2完成齒面的切削，為了保證加工過(guò)程中不產(chǎn)生過(guò)切現(xiàn)象，要求圓弧刀刃繞其自身軸心Oo以 ω0自轉(zhuǎn)［12］。當(dāng)q=R=Lm(Lm為弧齒錐齒輪齒寬中點(diǎn)處的基錐母線長(zhǎng))時(shí)，弧齒錐齒輪齒寬中點(diǎn)處的基錐螺旋角 βm=30°［12］。

圖3 切削原理Fig.3 Cutting principle

2 球面漸開(kāi)線和齒面方程

2.1 球面漸開(kāi)線的生成

弧齒錐齒輪的齒形理論上為球面漸開(kāi)線，球面漸開(kāi)線的生成機(jī)理(見(jiàn)圖4)為:一圓平面(Q)的圓心與一基圓錐的頂點(diǎn)相重合，基圓錐的底面圓與圓平面的外圓相切，二者之間作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓平面上一點(diǎn)P所形成的軌跡PP1即為球面漸開(kāi)線。

圖4 球面漸開(kāi)線生成原理Fig.4 The generation theory of spherical involute

根據(jù)文獻(xiàn)［13］可以推導(dǎo)出球面漸開(kāi)線的方程為

式中:Rb為基圓錐大端母線長(zhǎng);δb為基圓錐錐角;Φ為基圓錐底面圓展成角;ψ為大圓(Q)展成角，ψ=Φsin δb。當(dāng)Φ取正值時(shí)可以得到右(左)旋齒輪的凸(凹)齒面齒廓的球面漸開(kāi)線，反之則為右(左)旋齒輪的凹(凸)齒面齒廓的球面漸開(kāi)線。

2.2 弧齒錐齒輪齒面方程

弧齒錐齒輪基圓錐的展開(kāi)平面圖如圖5所示，弧線AB為產(chǎn)線線，P為其上任意一點(diǎn)，θ為P點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極角，其余參數(shù)同前述。圖6為扇形平面所圍卷成的圓錐面，P1為P點(diǎn)在XOY平面內(nèi)的投影，γ為OP1與X軸正方向的夾角。根據(jù)幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出:

圖5 由基圓錐展開(kāi)的扇形平面Fig.5 The sectorial plane of generation of base cone

弧齒錐齒輪齒面是由無(wú)數(shù)條圖4所示的球面漸開(kāi)線構(gòu)成的，由圖6中圓錐螺旋線AB上任一點(diǎn)P所生成的球面漸開(kāi)線的方程在OX1Y1Z1坐標(biāo)系下與式(3)是相同的，只需將Rb變?yōu)镽bi(P點(diǎn)的母線長(zhǎng))即可。而由坐標(biāo)系OX1Y1Z1變換到坐標(biāo)系OXYZ的變換矩陣為

所以，弧齒錐齒輪的齒面方程為

式中:B1=Rbi(sin δbcos Φcos ψ+sin Φsin ψ)cos γ ，B2=Rbi(sin δbcos Φcos ψ+sin Φsin ψ)sin γ，C1=Rbi(sin δbsin Φcos ψ-cos Φsin ψ)sin γ，C2=Rbi(sin δbsin Φcos ψ-cos Φsin ψ)cos γ 。

圖6 扇形圍卷成圓錐面Fig.6 The cone surface with the rolled-up sector

根據(jù)齒輪參數(shù)(見(jiàn)表1)并參考圖5可以求出:

表1 弧齒錐齒輪參數(shù)Table 1 Spiral bevel gear parameters

3 弧齒錐齒輪齒面的界限

由弧齒錐齒輪齒面的方程式(6)和式(7)可知，弧齒錐齒輪齒面的界限主要取決于參數(shù)Φ和γ。根據(jù)1.2節(jié)所述，取弧齒錐齒輪齒寬中點(diǎn)處的基錐螺旋角βm=30°。參照?qǐng)D5，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可以求得θ的取值范圍為:0≤θ≤0.207 rad，再利用式(4)便可求出γ的取值范圍為:0≤γ≤0.710 6 rad。參數(shù) Φ 的計(jì)算可以參照?qǐng)D7，P＇為球面漸開(kāi)線上任意一點(diǎn)，δi為其對(duì)應(yīng)的錐角，其余符號(hào)同前所述。根據(jù)幾何關(guān)系可以求得:

對(duì)于面錐上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的Φ值可以帶入齒輪參數(shù)(見(jiàn)表1)求得:Φ=0.789 8 rad。所以Φ的取值范圍為0≤Φ≤0.789 8 rad，從而弧齒錐齒輪齒面的界限也就確定了。

圖7 展角計(jì)算Fig.7 Opening angle calculation

4 節(jié)錐螺旋角和中點(diǎn)分度圓弦齒厚的計(jì)算

節(jié)錐螺旋角是指節(jié)錐齒寬中點(diǎn)處的母線與節(jié)錐齒線在齒寬中點(diǎn)處切線的夾角。由式(3)和γ=0.344 6 rad、Φ =0.381 3 rad 可以求出節(jié)錐齒寬中點(diǎn)的坐標(biāo)為(35.728 9，13.459 8，117.085 2)。

節(jié)錐面的方程為

由此可求出節(jié)錐面齒寬中點(diǎn)處的法向量為

利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)可以求出弧齒錐齒輪齒面在節(jié)錐齒寬中點(diǎn)處的法向量為

式中:

所以，節(jié)錐齒線在齒寬中點(diǎn)處的切向量為

節(jié)錐齒寬中點(diǎn)處的母線向量為

節(jié)錐齒寬中點(diǎn)處的螺旋角為

中點(diǎn)分度圓弦齒厚為

5 弧齒錐齒輪建模過(guò)程和模型檢驗(yàn)

5.1 弧齒錐齒輪的建模過(guò)程

本文以右旋弧齒錐齒輪為例，齒輪參數(shù)示于表1，建模過(guò)程如下:

1)利用MATLAB的surf函數(shù)與齒輪參數(shù)繪制右旋弧齒錐齒輪的凸齒面三維圖形(見(jiàn)圖8)，觀察凸齒面的形狀，以初步檢驗(yàn)弧齒錐齒輪齒面方程的正確性。

2)根據(jù)式(6)，利用MATLAB的xlswrite函數(shù)分別將弧齒錐齒輪凹(Φ取負(fù)值)、凸(Φ取正值)齒面上的點(diǎn)導(dǎo)進(jìn)excel文件中。

3)進(jìn)入CATIA安裝文件目錄下(D:Program Files→Dassault Systemes→B17→intel_a→code→command)，找到文件 GSD_Point SplineLoftFrom Exc el.xls并打開(kāi)，依次進(jìn)入工具→宏→Visual Basic編輯器修改CATIA自帶宏程序 Feuil1.CreationSpline與Feuil1.CreationLoft中所允許輸入點(diǎn)、線的上限，以滿足建模的需要。輸入的點(diǎn)、線的數(shù)目越多所建的模型越精確。

4)利用CATIA自帶的宏程序Feuil1.Creation-Loft和導(dǎo)出的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)弧齒錐齒輪凹、凸齒面進(jìn)行建模，結(jié)果示于圖9(a)。

5)進(jìn)入CATIA創(chuàng)成式設(shè)計(jì)模塊，根據(jù)分度圓弦齒厚對(duì)凹齒面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作，以滿足齒厚的要求(見(jiàn)圖9(b))。

6)再次利用CATIA的拉伸、修剪、封閉曲面、倒圓角等功能對(duì)弧齒錐齒輪的錐體、齒厚、背錐等特征進(jìn)行建模，最后得到一個(gè)齒的模型，如圖9(c)所示。將這個(gè)齒進(jìn)行圓環(huán)陣列操作得到弧齒錐齒輪的整體模型(見(jiàn)圖9(d))

圖8 弧齒錐齒輪凸齒面Fig.8 Convex tooth surface of spiral bevel gear

圖9 弧齒錐齒輪建模過(guò)程Fig.9 The modeling process of spiral bevel gear

5.2 弧齒錐齒輪模型的檢驗(yàn)

根據(jù)上述的建模方法，建立另外一個(gè)齒數(shù)z2=46，模數(shù)m=6的左旋弧齒錐齒輪模型，二者傳動(dòng)比為46∶15。把2個(gè)齒輪模型導(dǎo)入CATIA的裝配設(shè)計(jì)模塊中，添加合適的位置約束和接觸約束(兩錐齒輪的錐頂點(diǎn)重合，軸線垂直)，通過(guò)CATIA裝配設(shè)計(jì)模塊中的“碰撞停止”命令調(diào)整兩齒輪的相對(duì)位置，使其相互正確嚙合(如圖10所示)。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)兩齒輪無(wú)干涉現(xiàn)象，可以驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性和可靠性。

圖10 弧齒錐齒輪裝配圖Fig.10 Assembling diagram for spiral bevel gear

6 結(jié)束語(yǔ)

介紹了產(chǎn)形線切齒法原理，它不同于現(xiàn)有的齒輪加工方法。產(chǎn)形線切齒法從齒輪齒面的生成機(jī)理出發(fā)，以齒面的發(fā)生線構(gòu)形刀具用于加工齒輪齒面，這種加工方法具有切齒效率高、沒(méi)有原理誤差、機(jī)床運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。

由于用產(chǎn)形線切齒法原理加工的齒輪的參數(shù)是以基錐為基礎(chǔ)的，而現(xiàn)有的齒輪計(jì)算體系是以節(jié)錐為基礎(chǔ)的，所以本文推導(dǎo)了基于產(chǎn)形線切齒法的弧齒錐齒輪的齒面方程，確定了弧齒錐齒輪齒面的界限，同時(shí)提出了一種由弧齒錐齒輪基錐螺旋角計(jì)算節(jié)錐螺旋角的方法。

提出了一種基于產(chǎn)形線切齒法的弧齒錐齒輪精確建模方法，并建立一個(gè)右旋弧齒錐齒輪精確模型。結(jié)果表明這種建模方法理論正確、簡(jiǎn)單實(shí)用、具有可行性，并為弧齒錐齒輪進(jìn)行有限元分析等研究奠定了基礎(chǔ)。

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