蔡擇林

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

混合系數(shù)線性模型的一類有偏估計(jì)

蔡擇林

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

研究了連續(xù)測(cè)量數(shù)據(jù)情況下的混合系數(shù)線性模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題. 利用壓縮估計(jì)方法給出了該模型的一類有偏估計(jì)，并討論了該估計(jì)的一些優(yōu)良性質(zhì)和壓縮系數(shù)的選取問(wèn)題.

混合系數(shù)線性模型;stein估計(jì);嶺估計(jì);均方誤差 .

0 引言

考慮如下混合系數(shù)線性模型

z(t)=[x(t)]′a+[y(t)]′β

(1)

式中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xp(t))′,y(t)=(y1(t),y2(t),…,yq(t))′,x1(t),x2(t),…,xp(t) 及y1(t),y2(t),…,yq(t)都是t的已知函數(shù)，a是p×1的固定系數(shù)向量，β是q×1的隨機(jī)系數(shù)向量，且β～(b,∑).

現(xiàn)對(duì)m個(gè)樣品，分別在tij(ti1p+q) 時(shí)測(cè)得以下數(shù)據(jù)：

(2)

這里的βi和εij分別是每個(gè)樣品的隨機(jī)系數(shù)和每次測(cè)量的誤差，βi與εij獨(dú)立，且

若記zi=(zi1,zi2,…,zini)′,εi=(εi1,εi2,…,εini)′

則可得

zi=Xia+Yiβi+εi

(3)

式中

設(shè)Ci=(Xi,Yi),d=(a′,b′)′,ei=Yi(βi-b)+εi, 則式(3)變?yōu)?/p>

(4)

進(jìn)一步，記

D=diag(D1,D2,…,Dm)

z=Cd+e,e～(0,D)

(5)

這里p≥0,q≥0. 顯然，當(dāng)p=0時(shí)模型化為完全隨機(jī)系數(shù)形式，當(dāng)q=0時(shí)模型化為一般的線性模型.這里還要求 rank(Xi)=p,rank(Yi)=q,rank(Xi,Yi)=p+qg.混合系數(shù)線性模型的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與一般的線性模型及完全隨機(jī)系數(shù)的線性模型有很大的差異，而在實(shí)際問(wèn)題中又有著廣泛的應(yīng)用背景，如經(jīng)濟(jì)分析、可靠性退化分析以及生物學(xué)等領(lǐng)域，因此，對(duì)該模型的研究無(wú)論是從理論上還是從應(yīng)用角度都是十分重要和必要的.自莊東辰、茆詩(shī)松(文獻(xiàn)[4])提出了混合系數(shù)線性模型以后，許多學(xué)者研究了這種模型的參數(shù)估計(jì)(見(jiàn)文獻(xiàn)[5]-[18])，基于(5)，文獻(xiàn)[4]給出了d的LS 估計(jì), LS估計(jì)雖然無(wú)偏，但當(dāng)系數(shù)陣接近病態(tài)時(shí)， LS估計(jì)的均方誤差過(guò)大，穩(wěn)定性不好，針對(duì)此情況，文獻(xiàn)[7]提出了一種有偏估計(jì)——Stein估計(jì).本文亦利用壓縮估計(jì)方法給出了該模型的一類有偏估計(jì)，并討論了該估計(jì)的一些優(yōu)良性質(zhì)和壓縮系數(shù)的選取問(wèn)題.

1 新估計(jì)的提出

其中L=CQ,r=Q′d,Q′C′CQ=Λ=diag(λ1,λ2,…,λg)

文獻(xiàn)[7]給出了d的如下Stein 估計(jì)

(6)

其典則形式為

其中0≤k≤ 1 稱為壓縮系數(shù)

本文給出d的如下估計(jì)

(7)

其典則形式為

其中0≤K=diag(k1,k2,…,kg)≤I稱為壓縮系數(shù)。

顯然，當(dāng)K=kI,0≤k≤1 時(shí)即為普通stein估計(jì)(6),當(dāng)K=(Λ+S)-1Λ,S=diag(s1,s2,…,sg)≥0 時(shí)即為嶺估計(jì)。

2 新估計(jì)的一些性質(zhì)

證明 顯然

其中

lj=(L′ML)jj≥0

引理1 對(duì)于模型y=Xβ+e,e～(0,V),

假定X=I,則Ay～β的充要條件為1)AV對(duì)稱,2)A的所有特征根在[0,1]內(nèi).

KL′ML=L′MLK

證明 將模型(5)變?yōu)?/p>

(C′C)-1C′Z=d+(C′C)-1C′e,(C′C)-1C′e～(0,(C′C)-1C′DC(C′C)-1)

其中A=QKQ′,y=(C′C)-1C′Z,V=(C′C)-1C′DC(C′C)-1

故AV=(AV)′?QKQ′(C′C)-1C′DC(C′C)-1=(C′C)-1C′DC(C′C)-1QKQ′ ?KΛ-1L′DLΛ-1=Λ-1L′DLΛ-1K?KΛ-1L′MLΛ-1+σ2KΛ-1=Λ-1L′MLΛ-1K+σ2Λ-1K?KL′ML=L′MLK

A=QKQ′的特征根顯然均在[0,1]內(nèi)，由引理1知，定理得證。

3 壓縮系數(shù) K的選取

1)極小化均方誤差法

2)極小化均方誤差的無(wú)偏估計(jì)法

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Keywords:mixed-effect coefficient linear model;stein estimator;ridge estimator;mean square error

Anewbiasedestimatorforamixed-effectcoefficientlinearmodel

CAI Ze-lin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

In the paper, we consider a mixed-effect coefficient linear model with the repeatedly measured data. Using the shrunken method, a new biased estimator of the model are given and its optimal property is shown. And the optimal value for the shrunken coefficient is established.

2013—09—15

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目(Q20122203)

蔡擇林(1963— )，男，湖北浠水人，教授，主要研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì).

O212

A

1009-2714(2014)01- 0005- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.002