詹長書，孫世磊，葛 強，丁瑋琛，郭 柯，高 峰

(東北林業(yè)大學 交通學院，哈爾濱 150040)

倒立擺系統(tǒng)是研究控制理論的實驗平臺，由于它的行為與火箭飛行以及兩足機器人行走有很大相似性，因而對其研究具有重大的理論和實踐意義。近30年來一直是控制界關注的焦點。倒立擺本身是一個多變量、強耦合、非線性和不穩(wěn)定系統(tǒng)。通過倒立擺可以檢驗各種控制策略的可行性。人們已經(jīng)利用經(jīng)典PID控制理論[1-2]、現(xiàn)代控制1理論[3-5]以及各種智能控制方法實現(xiàn)了多種倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。本文利用Matlab中的SimMechanics工具箱對倒立擺建立了動力學仿真模型，實現(xiàn)了PID控制、極點配置控制和LQR控制。為下一步的實驗奠定了堅實的理論基礎。

1 單級倒立擺的數(shù)學模型

在忽略了空氣阻力及各種摩擦力之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿的系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 單級倒立擺模型示意圖

圖1中，M為小車質(zhì)量(本實驗系統(tǒng)5 Kg)；m為擺桿質(zhì)量(本實驗系統(tǒng)0.2 Kg)；b為小車摩擦系數(shù)(本實驗系統(tǒng)0.1N/m/sec)；l為擺桿轉動軸心到桿質(zhì)心的長度(0.25 m)；I為擺桿慣量(0.006 kg*m*m)；F為加在小車上的力；x為小車位置；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角；θ為擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下)。

對小車水平方向所受的合力進行分析，應用Newton方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程。

小車水平方向進行受力分析，可以得到以下方程：

擺桿水平方向的受力分析可以得到下面等式：

即

把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：

(1)

對擺桿垂直方向上的受力進行分析，可以得到系統(tǒng)的第二個運動方程：

力矩平衡方程如下：

注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ,cosφ=-cosθ,sinφ=-sinθ，故等式前面有負號。

(2)

(3)

整理后得到傳遞函數(shù)：

其中：

q=[(M+m)(I+ml2)-(ml)2]

根據(jù)倒立擺的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間模型可得系統(tǒng)的零極點為，倒立擺是一不穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)可控性矩陣秩為4，和狀態(tài)空間矩陣維數(shù)相等，因此倒立擺是能控系統(tǒng)。

2 倒立擺的SimMechanics模型

SimMechanics 為Simulink環(huán)境下的多體動力機械系統(tǒng)及其控制系統(tǒng)的建模工具箱。它包含了實際系統(tǒng)的元件，如：剛體、鉸鏈、約束、坐標系統(tǒng)和傳感器等。使用這些模塊可以方便的建立復雜機械系統(tǒng)的圖示化模型，進行機械系統(tǒng)的單獨分析或與任何Simulink設計的控制器及其它動態(tài)系統(tǒng)相連進行綜合仿真。

根據(jù)倒立擺機構動力學模型，用Simulink和SimMechanics工具箱中提供的模塊，參照圖1所示的運動簡圖，將需要的模塊拖放到窗口中，連接起來，得到仿真模型(如圖2所示)。其中，Ground和Machine Enviroment為機架模塊；Cart、Pendulum分別為小車和倒立擺剛體模塊；Revolute為轉動副模塊；Primatic為移動副模塊；Joint Sensor、Joint Sensor1分別為小車和倒立擺傳感器模塊；Joint Actuator為小車驅(qū)動模塊；Scope為顯示模塊。

圖2 倒立擺的SimMechanics模型

3 單級倒立擺的控制器設計

3.1 PID控制器設計

系統(tǒng)輸出量為擺桿的位置，假定初始位置為垂直向下，控制擺桿擺起后，利用PID控制穩(wěn)擺，觀察擺桿的輸出響應。PID控制器只對擺桿擺角進行了控制，沒有控制小車的位置。系統(tǒng)框圖如圖3所示，其中KD(s)，G(s)分別為PID控制器和系統(tǒng)模型?？刂破髦蠵、I、D的參數(shù)確定為300、0.5、20。

圖3 PID系統(tǒng)框圖

從仿真曲線圖4中可以看出系統(tǒng)超調(diào)量為0.025，穩(wěn)定時間約為0.6 s左右，響應滿足指標要求。

圖4 調(diào)節(jié)PID參數(shù)后擺角輸出圖

3.2 極點配置控制

采用極點配置法設計多輸出的倒立擺系統(tǒng)的控制方案。可以用完全狀態(tài)反饋來解決，控制擺桿和小車的位置。如圖5所示是控制系統(tǒng)的示意圖。

圖5 控制系統(tǒng)框圖

假定所有的狀態(tài)變量都可以測量和反饋，可以驗證倒立擺系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的。那么，利用狀態(tài)反饋的方法，設計合理的全狀態(tài)反饋增益矩陣，可以把閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任何期望的位置，得到滿意的相應特性。

設開環(huán)控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程為：x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)，其中，假設系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的；x(k)為在第k次采樣時刻的狀態(tài)矢量(n維矢量)；u(k)為在第k次采樣時刻的控制信號(標量)；G=n×n矩陣；H=n×1矩陣。

設極點配置的控制律形式為：

u(k)=-Kpx(k)。

式中：Kp為狀態(tài)反饋增益矩陣(1×n矩陣)，于是該系統(tǒng)就成為一個閉環(huán)控制系統(tǒng)，其閉環(huán)狀態(tài)方程為：x(k+1)=(G-HKp)x(k)。

注意，G-HKp的特征值就是所要求的閉環(huán)極點μ1,μ2,…μn。

利用狀態(tài)反饋u(k)=-Kpx(k)把閉環(huán)極點布置在z=μ1，z=μ2，…，z=μn。即要求特征方程為：

|zI-G+HKp|=(z-μ1)(z-μ2)…(z-μn)

=zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an-1z+an=0。

根據(jù)Cayley_hamiton定理，經(jīng)過推導(此略)可以得到狀態(tài)反饋增益矩陣Kp：

Kp=[0 0 … 0 1][H?GH?…?Gn-1H]-1φ(G)。

其中：

φ(G)=Gn+a1Gn-1+a2Gn-2+…+an-1G+anI。

選擇期望的閉環(huán)極點或期望的特征方程是在誤差矢量響應的快速性與對擾動和測量噪聲敏感型之間的一個折中方案。也就是說，如果使誤差響應的速度提高，那么擾動和測量噪聲的有害影響往往也會增強。在確定給定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣Kp時，通常比較按不同的期望閉環(huán)極點或期望特征方程得到的矩陣Kp，并從中選出使整個系統(tǒng)達到特性最好的那個矩陣Kp。在實際設計時，運用Matlab控制系統(tǒng)工具箱中的“place”函數(shù)直接進行仿真和運算。仿真結果如圖6所示。從圖6中可見小車和擺角的響應速度和精度滿足設計要求。

圖6 極點配置零輸入響應

3.3 LQR控制

設狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)律的形式為：

u(k)=-Krx(k)。

可以求得：

Kr=[Rr+HTP(K+1)H]-1HTP(k+1)G。

其中：P由下列黎卡提方程獲得P(k)=Qr+GTP(k+1)G-GTP(k+1)H[Rr+HTP(k+1)H]-1HTP(k+1)G。

式中：Qr，Rr分別為狀態(tài)向量x(k)、控制向量u(k)控制的性能度量的相對重要性加權值。

在實際運算中運用Matlab控制系統(tǒng)工具箱中的“l(fā)qr”函數(shù)直接進行運算。

利用lqr函數(shù)，需要提供兩個權值矩陣：Q、R。通常取R=1，而對于Q只能通過不斷的湊取來得到。在權衡了響應速度和超調(diào)量大小，最終選取了：

Q=[500 0 0 0；0 0 0 0；0 0 50 0；0 0 0 0]

此時的響應曲線如圖7所示。

圖7 LQR反饋控制響應圖

4 結束語

單級倒立擺是一個非常理想的控制理論實驗平臺。首先在建立了數(shù)學模型和SimMechanics環(huán)境下單級倒立擺的動力學模型基礎上，實現(xiàn)了起擺控制。然后分別切換到PID，極點配置和LQR三種控制方案，實現(xiàn)了對單級倒立擺的穩(wěn)擺控制，并優(yōu)化了三種方案的控制器參數(shù)。同時極點配置和LQR控制可以對小車和擺桿進行穩(wěn)定控制，PID可以對擺桿進行控制。仿真中響應速度和超調(diào)量達到了均衡，取得了良好的效果，這為實驗奠定了理論基礎。

【參 考 文 獻】

[1]劉 璟，梁昔明.LQR控制與PID控制在單級倒立擺中的對比研究[J].控制理論與應用，2007，26(1)：13-15.

[2]楊世勇，徐莉蘋，王培進.單級倒立擺的PID控制研究[J].控制工程，2007，14(S1)：23-25.

[3]楊 平，徐春梅，王 歡，等.直線型一級倒立擺狀態(tài)反饋控制設計及實現(xiàn)[J].上海電力學院學報.2007,23(3)：21-16.

[4]易 杰，俞 斌.倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點配置控制設計[J].電子測試，2008(8)：17-22

[5]李俊芳，牛文興，張振東.基于狀態(tài)空間法的倒擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制[J].天津理工學院學報，2003(2)：34-36