聶盼山

河北省望都縣固店初級中學(xué)

淺談反比例函數(shù)比較大小的方法

聶盼山

河北省望都縣固店初級中學(xué)

一、背景和遇到的問題

在九年級上冊第一章反比例函數(shù)的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)習(xí)完反比例函數(shù)的性質(zhì)后，書本第14頁“做一做”第1題第2小題是這樣的：已知x1,y1和x2,y2是反比例函數(shù)兩對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，x1＞x2＞0，則(填＞、＜、=)，我們不妨稱此題為例1，本題中因?yàn)閍2≥0，所以-a2≤0，即反比例函數(shù)y=中的k＜0，所以y的值會隨x的增大而增大，因?yàn)閤1＞x2。所以y1＞y2，學(xué)生基本上能正確解決，但我相信，有許多同學(xué)都是一知半解的，為什么要在自變量中加入大于0的條件？為什么函數(shù)值中也涉及了與0的大小比較？所以我加入了例2，下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是， A、y=-3x+4 B、D、y=3x-2

生1：老師，選A。

生2：B也對，A和B都對。

師：同意生2的觀點(diǎn)嗎？

生：同意！

師：那誰來幫老師分析一下，為什么這兩個(gè)解都對？

生3：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+b，當(dāng)k＜0時(shí)，y必定隨著x的增大而減少，而A中，y=-3x+4，k=-3＜0，所以A正確。

師：對嗎？

生：對。

師：B呢？

師：講的很好。有誰需要補(bǔ)充嗎？

生：……

師：我們不妨回到書本第13頁，一起仔細(xì)地研讀反比例函數(shù)的性質(zhì)。

師：剛才生4的表述與書本上的表述有什么不同？

生5：書上詳細(xì)地講到，在圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)。

師：這是一句廢話嗎？為什么書本上不把它刪去？

生：……

生：x≠0。

師：為什么？

生：因?yàn)榉帜覆坏扔?。因?yàn)?不能作除數(shù)。

師：而一次函數(shù)y=kx+b中有沒有這樣的限制條件？

生：沒有。

師：那么體現(xiàn)在圖象上又有什么區(qū)別呢？

生：一次函數(shù)的圖象是一條直線，x可以取任意值。

師：對，但反比例函數(shù)的雙曲線呢？

如圖，當(dāng)k＞0時(shí)，圖象分布在一、三象限。試問：圖象的兩個(gè)分支可不可能與兩線標(biāo)軸相交？

生：不可能。因?yàn)閤≠0,y≠0。

師：恩，所以，兩個(gè)分支是獨(dú)立的。k＞0，y的值隨著x的增大而減小，但必須在同一分支上，即在圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)才可以比較大小。

生：也就是自變量x必須都大于0，或都小于0。

師：所以例2中，該選擇……

生：A。

師：若讓B也正確，該如何修改？

生：加上x＞0或x＜0。

師：講得很棒，現(xiàn)在我們再一起回過頭來看例1，你注意到例1中x1＞x2＞0了嗎？

生：嗯，所以，最好利用圖像來解決。

師：讓我們試一試。

圖象分布在二、四象限，x1＞x2＞0，說明圖象只研究位于第四象限的那一支，y1＞y2，且0＞y1＞y2。

二、問題的解決

作為教師，我們都知道，思維的發(fā)展過程是從發(fā)現(xiàn)問題開始，回答問題再次之，古今中外有成就的學(xué)者，都非常重視“問題”的意義，如鄭板橋老先生說過：“學(xué)問二字，需要拆開來看，學(xué)是學(xué)，問是問，有學(xué)無問，雖讀萬卷書，只是一條鈍漢耳?！睈垡蛩固挂舱f過：“我沒有什么才能，只不過喜歡尋根到底的追究問題罷了?！彼詫W(xué)生對數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)，可以說，是數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育的前提，學(xué)生應(yīng)成為“提出問題——分析問題——解決問題”這個(gè)認(rèn)知過程的主體，應(yīng)享有這種思維活動的權(quán)利和機(jī)會。

全日制義務(wù)教育新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生“在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。我想，我已經(jīng)在努力朝這個(gè)方向做了。

愛因斯坦說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要?！卑l(fā)現(xiàn)問題，大膽懷疑，課堂上把“提問權(quán)”還給學(xué)生，并對他們的提問給予積極的鼓勵、引導(dǎo)，對激發(fā)學(xué)生的強(qiáng)烈的探索動機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力會起到重要作用。在接下來的復(fù)習(xí)課中，我又結(jié)合兩種函數(shù)，即反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)值大小和學(xué)生進(jìn)行了一次探討。因?yàn)槲覀兌贾?，在初中階段，學(xué)習(xí)的幾種函數(shù)中，只有反比例函數(shù)對自變量加以了限制（函數(shù)應(yīng)用中自變量取值除外）。

三、反思

在這次反比例函數(shù)的教學(xué)事件中，我深刻地認(rèn)識到了以下幾點(diǎn)：

（1）教材編寫的嚴(yán)謹(jǐn)性，在我們的教學(xué)中，其實(shí)有的時(shí)候，學(xué)生的錯誤的解答是由于我們教師上課時(shí)，語言缺少嚴(yán)密性造成的，例2的教學(xué)就深刻地說明這一點(diǎn)，雖然只是一個(gè)自變量x≠0的取值，但它們將會涉及到整個(gè)函數(shù)值的大小比較。

（2）課堂模式，更多地采取討論、辯論等方式，讓學(xué)生積極主動地參與到教學(xué)中，學(xué)習(xí)效果會更好，學(xué)生的探究，不管正確與否，只要思考了、參與了，就該給予積極的表揚(yáng)。如果是錯了，也要聽聽他的錯誤思路的形成，或許，他會令你豁然開朗——哦，學(xué)生原來是這樣想的。

（3）在課堂教學(xué)中，我們應(yīng)積極主動地對課程進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚驼{(diào)適，靈活使用新教材，設(shè)計(jì)出新穎的教學(xué)過程，把枯燥的教學(xué)知識轉(zhuǎn)化為激發(fā)學(xué)生求知欲望的刺激物，引發(fā)他們的進(jìn)取心，這也是衡量課程實(shí)施效果的一個(gè)重要因素。如，新教材中安排“想一想”、“做一做”、“試一試”等內(nèi)容，我們可以利用新教材這種富有彈性的課程設(shè)置，結(jié)合學(xué)生智力發(fā)展水平和發(fā)展要求的個(gè)體差異，有針對性地實(shí)施因材施教；利用新教材相對較為寬松的課時(shí)安排，選擇更為合適的時(shí)機(jī)和內(nèi)容，開展更多的社會實(shí)踐活動，讓學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用于生活，從應(yīng)用中體會數(shù)學(xué)的快樂；還可以通過多種方式將科學(xué)技術(shù)發(fā)展的新成果、新動向和新趨勢，及時(shí)地應(yīng)用在教學(xué)活動中，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。

我相信，我們是在不斷地嘗試中，不斷地學(xué)習(xí)中求進(jìn)步，求發(fā)展，只要我們的腳步一直往前走，我們總會收獲許多。