張興蕾

(棗莊學(xué)院 機(jī)電工程系，山東 棗莊 277160)

0 模態(tài)分析原理

實(shí)際工程中的彈性結(jié)構(gòu)，可以離散化成有限質(zhì)量、阻尼和彈性元件組成的N個(gè)自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)[1].結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程為

(1)

當(dāng){Q}=0時(shí)，即結(jié)構(gòu)不承受外載荷，若再將阻力忽略，則動(dòng)力方程可寫成：

(2)

方程(2)為系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程.對(duì)方程(1)兩端作傅里葉變換得：(-ω2[M]+jω[C]+[K]{X(ω)})={δ(ω)}

(3)

{X(ω)}=[H(ω)]{δ(ω)}

(4)

上式中 [H(ω)]為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣；[X(ω)]為響應(yīng){x(t)}的傅氏變換；

{δ(ω)}為激勵(lì){δ(t)}的傅氏變化.[H(ω)]也也稱之為導(dǎo)納矩陣，元素H1p(ω)的物理意義：當(dāng)其它點(diǎn)上激勵(lì)為零時(shí)，1點(diǎn)響應(yīng)譜同p點(diǎn)激勵(lì)譜的復(fù)數(shù)比，即

(5)

因?yàn)閷?dǎo)納矩陣具有對(duì)稱性，所以只要通過提高測(cè)試獲得導(dǎo)納矩陣的一列或一行元素，就能確定整個(gè)導(dǎo)納矩陣，便可以確定系統(tǒng)全部的動(dòng)態(tài)特性了.在結(jié)構(gòu)阻尼、小阻尼或比例阻尼存在的情況下，通過振型矩陣的正交特性，可以獲得導(dǎo)納矩陣與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系式：

(6)

式中，(φ)i為第i階振型，mi,ki,ci分別為第i階質(zhì)量、模態(tài)剛度、阻尼.通過運(yùn)用實(shí)模態(tài)阻尼參數(shù)識(shí)別理論來(lái)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)的識(shí)別，就可以獲得每階的模態(tài)參數(shù).彈性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)本身具有連續(xù)性，位移{u}也是連續(xù)的，包括無(wú)限個(gè)自由度.在有限元離散化結(jié)束后，單元內(nèi)的位移按照事先假定的位移形式來(lái)振動(dòng)，節(jié)點(diǎn)位移差值可以表示該振動(dòng).此時(shí)，連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)就被離散化成有限個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng).如果全部節(jié)點(diǎn)的自由度為N個(gè)，那么式(6)就稱之為N階自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程.根據(jù)自由振動(dòng)的理論，N階自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程公式(6)應(yīng)該存在N個(gè)固有頻率ωk(k=1,2....N),ωk通過頻率的行列式得出：

(7)

求解式(7)，即可得出N個(gè)固有頻率與振型，如果結(jié)構(gòu)存在剛體位移，那么對(duì)應(yīng)的模態(tài)為零頻.針對(duì)一般的工程問題，只需要計(jì)算前6階模態(tài)即可.對(duì)高速旋轉(zhuǎn)的單層復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析[2]，可以獲得其振動(dòng)的固有頻率和振型，以此來(lái)評(píng)價(jià)材料的動(dòng)力學(xué)特性，進(jìn)而判斷其是否發(fā)生共振情況，檢驗(yàn)?zāi)B(tài)設(shè)計(jì)結(jié)果是否滿足控制系統(tǒng)要求.

1 一階固有頻率理論計(jì)算

飛輪轉(zhuǎn)子的第i階固有頻率fi對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速ωi為[3]：

ωi=60fir/min

(8)

2 單層復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子模態(tài)分析

對(duì)高速旋轉(zhuǎn)的輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行有限元模態(tài)分析，其模態(tài)的提取方法為分塊蘭索斯法，它具有求解精度高、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，適合用于稱特征值的求解問題.因?yàn)榈碗A模態(tài)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的影響較大，因此在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析時(shí)一般提取前5—12階即可滿足要求，本文提取是飛輪轉(zhuǎn)速為16000rpm的前6階模態(tài)，模態(tài)的擴(kuò)展階數(shù)為6.其固有頻率和固有振型，計(jì)算結(jié)果如表1及圖1所示：

表1 飛輪轉(zhuǎn)子的前六階固有頻率

儲(chǔ)能飛輪轉(zhuǎn)子的前6階固有頻率如表1所示，前6階固有振型如圖1所示，一階固有頻率為632.32Hz，明顯遠(yuǎn)大于理論計(jì)算值266.67Hz，這說(shuō)明飛輪轉(zhuǎn)子從靜止?fàn)顟B(tài)到16000rpm的加速階段乃至以后的勻速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)都不會(huì)產(chǎn)生共振現(xiàn)象.

3 結(jié)論

對(duì)高速旋轉(zhuǎn)的復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子進(jìn)行固有頻率分析，獲得高速旋轉(zhuǎn)飛輪轉(zhuǎn)子的前6階固有頻率及固有振型，其中1階固有頻率為632.32Hz，明顯遠(yuǎn)大于理論計(jì)算值266.67Hz，在飛輪轉(zhuǎn)子的工作環(huán)節(jié)是不會(huì)引起共振的，滿足控制系統(tǒng)要求，對(duì)預(yù)測(cè)高速旋轉(zhuǎn)飛輪轉(zhuǎn)子的損傷或破壞起到了理論應(yīng)用和參考價(jià)值.

圖1 飛輪轉(zhuǎn)子前6階固有振型

[1]孔繁鑫,黃勤,李光喜,等. 高儲(chǔ)能飛輪轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)特性及應(yīng)力分析[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2014,5:28-30.

[2]張興蕾,李帥. 單層復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子仿真計(jì)算分析[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,30(5):89-94.

[3]王慶五,左昉,胡仁喜.ANSYS10.0機(jī)械設(shè)計(jì)高級(jí)應(yīng)用實(shí)例[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2006.