張夢(mèng)瑤

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029）

0 引言

在保險(xiǎn)精算文獻(xiàn)中，復(fù)合馬爾可夫二項(xiàng)模型是由Cossette等[1]最早提出的，他們?cè)谒髻r增量中通過(guò)馬爾可夫-伯努利序列引入一種相依結(jié)構(gòu)，從而推廣了經(jīng)典的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型。隨后，眾多的研究者對(duì)該模型作了進(jìn)一步的研究。Cossette等[2]指出條件最終破產(chǎn)概率是個(gè)超幾何分布，由此可以得到破產(chǎn)概率的上界估計(jì)和漸近表達(dá)式。Yuen和Guo[3]則通過(guò)考查普通更新和延遲更新兩個(gè)不同的更新過(guò)程得到了條件期望貼現(xiàn)懲罰函數(shù)的遞歸表達(dá)式。方世祖等[4]使用不同于文獻(xiàn)[3]的方法，得到了復(fù)合馬爾可夫二項(xiàng)模型中有條件和無(wú)條件Gerber-Shiu期望貼現(xiàn)懲罰函數(shù)的瑕疵更新方程以及漸近表達(dá)式。對(duì)于復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型另外一種推廣形式是在模型中引入紅利限值，這方面的研究由Tan和Yang[5]最早引入，他們得到破產(chǎn)概率、破產(chǎn)前盈余的概率生成函數(shù)等相關(guān)破產(chǎn)量的遞歸方程以及漸近表達(dá)式。

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文研究具有隨機(jī)紅利支付的復(fù)合馬爾可夫二項(xiàng)模型，并得到了條件Gerber-Shiu期望貼現(xiàn)懲罰函數(shù)所滿足的瑕疵更新方程。

1 模型結(jié)構(gòu)

我們首先給出復(fù)合馬爾科夫二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的基本結(jié)構(gòu)。令{ξt,t∈N+}是一個(gè)馬爾科夫鏈,其狀態(tài)空間為{0,1}，轉(zhuǎn)移矩陣為

其中 P(ξk+1=j｜ξk=i)=pij，假設(shè)初始概率為 P(ξ0=1)=q=1-P(ξ0=0)，其中q∈(0,1)而 0≤π＜1為相依參數(shù)，過(guò)程{ξt,t∈N+}在文獻(xiàn)中有時(shí)被稱為馬爾可夫-伯努利序列。

假設(shè)索賠額X1,X2,X3,…是獨(dú)立同分布的正的整值的隨機(jī)變量序列，保險(xiǎn)公司的資本盈余過(guò)程定義為

其中U(0)=u是初始剩余。這就是Cossette所提出的復(fù)合馬爾可夫二項(xiàng)模型。

在保險(xiǎn)實(shí)踐中，為了吸引投資保險(xiǎn)公司通常設(shè)計(jì)出一些具有紅利支付的產(chǎn)品。我們考慮文獻(xiàn)[5]中的一種紅利策略，即設(shè)總索賠額St=，其中 t≥1 并且 S0=0，總的紅利額

其中t≥1和Z0=0，ηk(k≥1)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)決策函數(shù)。具體地,假定 Pr(ηk=1)=q0，Pr(ηk=0)=p0，其中 0≤q0＜1 以及 p0+q0=1。 此時(shí)保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程為

其中u為初始剩余。由(1)我們可以得到

進(jìn)一步，假設(shè)索賠量的概率函數(shù)為p(k)=Pr(X=k)，k=1,2,3,…；分布函數(shù)為，尾分布為

為了保證保險(xiǎn)公司具有正的安全負(fù)載，我們定義θ為安全負(fù)載系數(shù)滿足

為條件期望貼現(xiàn)懲罰函數(shù),這里I(A)表示事件A的示性函數(shù),而為一個(gè)有界函數(shù)。

2 瑕疵更新方程

本節(jié)研究 m(u｜0)和 m(u｜1)滿足的瑕疵更新方程。

定理1 條件罰金函數(shù)m(u｜0)滿足的更新方程為

證明 首先處理m(u｜0)，考慮1時(shí)刻可能發(fā)生的情況由全概率公式得

由于p(0)=0，則上式等價(jià)于

類似地處理 m(u｜1)，我們可得

等價(jià)地

對(duì)（4）和（5）兩邊同時(shí)對(duì) zu從 0到 ∞ 求和，得

對(duì)（6）和（7）整理得，

那么由（8）和（9），我們可得

令

因此當(dāng) z=1 時(shí)，（10）式可得

由此，把（12）代入（10）式可變?yōu)?/p>

那么（11）減去（13）得

上式等價(jià)于

（15）式可變?yōu)?/p>

由（12）式可約去上式等式兩邊的常數(shù)項(xiàng)，則比較（16）兩邊關(guān)于zu的系數(shù)得，

最后證明更新方程是瑕疵的。事實(shí)上

定理證畢。

定理2 條件罰金函數(shù)m(u｜1)滿足下面的更新方程

證明 由（8）和（9）式得

當(dāng) z=1 時(shí)（18）式仍然可得（12）。 則（18）式可變?yōu)?/p>

（11）減去（19）式得，

上式變形為

上式可等價(jià)于

上式反演為

其中

由（17）式，可知所得更新方程為瑕疵的。定理證畢。

［1］COSSETE H,LANDRIAULT D and MARCEAU E,Ruin probabilities in the compound Markovbinomial model[J].Scandinavian Actuarial Journal,2003(4)：301-323.

［2］COSSETE H,LANDRIAULT D.and MARCEAU E,Exact expressions and upper bound for ruin probabilities in the compound Markov binomial model[J].Insurance Mathematics and Economics,2004(34)：449-446.

［3］YUEN K C,and GUO J Y,Ruin probabilities for time-correlated claims in the compound and Markov binomial model[J].Scandinavian Actuarial Journal,2006(3)：129-140.

［4］FANG S Z,ZHANG C M,SUN X,ZHAO P C,The Gerber-Shiu discounted penalty function in the Compound Markov binomial model[J].Chinese Journal of Applied Probability,2011,5(27)：461-471.

［5］TAN JY.and YANG X Q,The compound model with randomized decisions on paying dividends[J].Insurance Mathematics and Economics,2006(39)：1-18.