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        廣義復(fù)空間形式中具有平行平均曲率向量場的予流形

        2014-08-20 05:50:46杜鋒張明波
        關(guān)鍵詞:定義

        杜鋒,張明波

        (1.荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,湖北 荊門448000;2.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,湖北 武漢430062)

        0 引言

        設(shè)(N,J,g)是復(fù)維數(shù)為2n的K?hler流形,其中J為復(fù)結(jié)構(gòu),g(或記為〈,〉)為黎曼度量,且x:M→N是實數(shù)為2n的浸入子流形.定義為N上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和曲率張量,則有:R~(X,Y)Z其中X,Y,Z是N的切向量場.定義TPM為M上p點的切空間,對任意的向量0≠Xp∈TpM,J(Xp)與切空間TpM的夾角記為θ(Xp),稱為Xp的 K?hler角.若角θ(Xp)使得0≤cosθ(Xp)≤1,且與Xp∈TpM的選取無關(guān),則稱子流形M是等K?hler角的.這個概念首先被Chern-Wolfson[1]引入到K?hler曲面N的浸入實超曲面M中,在這種情況下一個K?hler角就是M中度量每一點的切空間TpM和復(fù)子空間Tx(p)M的偏離程度的一些函數(shù).在文獻[2]中,Chen介紹了一種具有常等K?hler角的子流形,稱之為slant子流形[3-4].而Holomorphic和Lagrangian子流形分別是cosθ=1和cosθ=0的特殊slant子流形,因此,研究具有等K?hler角的子流形在什么條件下會成為holomorphic子流形或者Lagrangian子流形就是一個很自然的問題.

        在文獻[5]中,Li對具有常holomorphic截取率4c的復(fù)空間形式中具有平行平均曲率向量場的子流形分類做出了如下結(jié)果:

        命題1.1 設(shè)N是具有常holomorphic截取率4c的2n的維復(fù)空間形式,而M為N中具有等K?hler角的實的2n維浸入閉子流形,如果M上的平均曲率向量場是平行的.則有:

        1)當(dāng)c>0時,M或者是holomorphic子流形或者是Lagrangian子流形;

        2)當(dāng)c=0時,M上的一般K?hler角必為常數(shù).

        Gray-Vanbecke[6]引入了常數(shù)型的近K?hler流形的概念.在此基礎(chǔ)上,定義了具有常holomorphic截取率c和常數(shù)型α的RK-流形N(c,α)和廣義的復(fù)空間形式N(f1,f2).如果一個近Heimitian流形的曲率張量滿足:

        其中f1,f2為N上的光滑函數(shù),則稱N為廣義復(fù)空間形式,記作N(f1,f2).若即為RK-流形N(c,α),而若為復(fù)空間形式N(c),可以看出N(c)?N(f1,f2).

        本文中將命題1.1的相關(guān)結(jié)論推廣到上述定義的廣義復(fù)空間形式上,從而得到

        定理1.2 設(shè)N(f1,f2)為2n維的廣義復(fù)空間形式,而M為N中具有等K?hler角的實2n維浸入閉子流形.如果M上的平均曲率向量場是平行的,則有:

        1)對任意的f1,當(dāng)f2>0時,M或者是holomorphic子流形或者是Lagrangian子流形;

        2)對任意的f1,當(dāng)f2=0時,M上的一般K?hler角必為常數(shù).

        1 預(yù)備知識

        在本節(jié)中,我們將介紹一些關(guān)于廣義復(fù)空間形式的基本內(nèi)容,具體情況可參看文獻[7].

        設(shè)(N,J,g)是復(fù)維數(shù)為2n的K?hler流形,其中J為復(fù)結(jié)構(gòu),g(或記為〈,〉)為黎曼度量,g與J是相容的.而x:M→N是實維數(shù)為2n的浸入子流形.M的度量是由N的度量誘導(dǎo)所得.定義和B,分別為M上由N誘導(dǎo)的Levi-Civita聯(lián)絡(luò),法聯(lián)絡(luò),Weingarten算子和子流形M的第二基本形式.TM和T⊥M分別為M的切叢和M在N上的法叢.

        由子流形的知識可知形狀算子和第二基本形式之間有關(guān)系數(shù)式:

        對任意的X∈TM,v∈T⊥M,有:

        這里PX(tv)和NX(fv)分別為JX(Jv)的切向量場和法向量場.

        當(dāng)復(fù)結(jié)構(gòu)J和g正交時,以下公式成立:

        又因為在N上,J和平行,沿著切向量場X∈TM求微分,則可以得到切向和法向分量分別在:

        現(xiàn)在我們假設(shè)x:M→N是具有K?hler角θ的浸入,則有:

        cosθ是M上的局部Lipschitz函數(shù),且在M的開集上是光滑非退化的.如果開集上沒有holomorphic和Lagrangian點,則可以選取TM上局部正交標(biāo)架場{e1,…,e2n},使得:

        和T⊥M上的局部正交標(biāo)架場,使得:

        利用(3)式和(4)式也可得到:

        由(5)式,?X,Y,Z∈TM,有:

        以下我們約定指標(biāo):α,β,γ,…∈{1,…,2n}和i,,j,,k,…∈{1,…,n}.而第二基本形式的分量記為將X=eα,Y=ek和Z=en+l代入(9)式中,再利用(7)式,直接計算可以得到:

        這里的Γγαβ是M的聯(lián)絡(luò)系數(shù),定義為

        2 定理1.2的證明

        為了證明本文中的主要結(jié)論,我們先介紹一個引理,并給出其證明.

        引理2.1 設(shè)L={p∈M|cosθ=0}.而L0是L中的最大開子集,N(f1,f2)為2n維的廣義復(fù)空間形式,而M為N中具有等K?hler角的實2n維浸入閉子流形.如果M上的平均曲率向量場在N上是平行的,則在L0∪(M-L)上,有

        引理2.1的證明 設(shè)0≤cosθ≤1,則可選取在第二節(jié)中的正交標(biāo)架場.定義函數(shù)F如下:

        可得:

        由(5)式和(7)式,再選取第二節(jié)中所取的標(biāo)架場,可以得到:

        由上式,可以得到:

        通過與上式類似的計算,可以得到:

        再由Codazzi方程可知:這里H=trB是M的平均曲率向量場.因此,由(14~16)式,可以得到:

        所以

        以下,將計算(18)式,根據(jù)第三節(jié)中選取的標(biāo)架場,直接計算,可以得到:

        類似地,可以得到:

        于是,可得:

        由于f是斜對稱的,再由(19)式和(20)式,可得:

        再在(20)式中,令k=l,可以得到

        常見的斷面形式主要有梯形、矩形、拱形。實際截割時,具體的截割工藝隨著巷道大小和形狀的變化而有所不同。斷面截割的方式一般是首先截割出一個大致的輪廓,再慢慢修正,直到形成預(yù)期的斷面效果,在斷面成形的過程中主要依靠工作人員的經(jīng)驗或者卷尺等工具來完成,所以存在很大的隨機性和經(jīng)驗性。因此,采用先水平后垂直的循環(huán)截割方式,如圖2中所示的S形截割路線[7-8],從斷面的最下面鉆進開始截割,按照路徑順次向上截割,最后進行擴幫,完成一次斷面截割(以矩形巷道為例)。

        由此,可得:

        選擇合適的坐標(biāo)標(biāo)架場,可以得到

        再次選擇合適的坐標(biāo)標(biāo)架場,可以得到

        由(23)~(25)式,可以得到:

        由(1),可以得到:

        當(dāng)平均曲度向量場H是平行的,由(26)~(29)式可以得到:

        由于(30)式與局部標(biāo)架場的選取無關(guān),因此,對?p∈M,可以通過選取局部法坐標(biāo)系,使得Γγαβ(p)=0,此時可以得到A=0,同時通過直接計算可以得到:

        將A=0和(31)式代入(30)式,可以得到:

        由此可知引理是成立的.

        證明了引理后,下面我們將給出定理1.2的證明.定理1.2的證明 由Δcosθ≤-6f2sin2θcosθ.我們可以得到:

        1)當(dāng)f2>0時,對上式在M上進行積分,再注意到cosθ≥0,可知

        由此可知sinθ=0或者cosθ=0,則此時,M或者是holomorphic子流形或者是Lagrangian子流形.

        2)當(dāng)f2=0,可以得到

        由極大值原理,可知cosθ是常數(shù),因此具有常K?hler角.

        因此,定理1.2得證.

        [1]Chern S S,Wolfson J G.Minimal surfaces by moving frames[J].Amer J Math,1983,105:59-83.

        [2]Chen B Y.Geometry of slant submanifolds[M].Louvain:Katheolieke University Leucen,1990.

        [3]Chen B Y.CR-submanifolds of a K?hler manifold[J].J Differential Geom,1981,16(2):305-322.

        [4]Li G,Wi C.Slant immersions of complex space forms and chen inequalities[J].Acta Math Csi,2005,25B(2):223-232.

        [5]Li G.Submanifolds of complex space forms with parallel mean curvature vector fields and eaual K?hler angles[J].Indian J Pure Appl Math,2004,35(6):759-769.

        [6]Gray A,Vanhecke L.Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature[J].Casopis Pest Mat,1979,104:170-179.

        [7]吳傳喜,李光漢.子流形幾何[M].北京:科學(xué)出版社,2002.

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