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        一類解析函數(shù)類的凸性

        2014-08-20 05:50:42李小飛熊良鵬
        關(guān)鍵詞:中令星象常數(shù)

        李小飛,熊良鵬

        (1.長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院,湖北 荊州434020;2.成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院,四川 樂山614000)

        0 引言

        本文中用U表示復(fù)平面內(nèi)的單位圓盤U={z:|z|<1,z∈C},并用H(U)表示U內(nèi)的解析函數(shù)族,S表示U內(nèi)的單葉函數(shù)族.記

        并記A(1,1)=A.定義

        為p葉α階星象函數(shù)類[1-2],并記S*1(1,α)=S*(α)表示傳統(tǒng)意義下的α階星象函數(shù)類,S*1(1,0)=S*表示傳統(tǒng)意義下的星象函數(shù)類.定義

        為p葉α階凸函數(shù)類[3-4],并記K1(1,α)=K(α)表示傳統(tǒng)意義下的α階凸函數(shù)類,K1(1,0)=K表示傳統(tǒng)意義下的凸函數(shù)類.由定義容易知道,Kn(p,α)?S*n(p,α)?S.

        Frasin[5]定義了A中的函數(shù)類B(μ,α):

        Macarie V M等[6]定義了積分算子函數(shù):

        本文中新定義一類函數(shù)類BS(n,p,μ,α):

        當(dāng)μ=1時,BS(n,p,1,α)當(dāng)p=n=1時,BS(1,1,μ,α)=B(μ,α);當(dāng)p=n=1,μ=0時,BS(1,1,0,α)?R(α),許多作者[7-11]研究過這些函數(shù)類的性質(zhì).本文中利用解析函數(shù)理論,研究得到函數(shù)類BS(n,p,μ,α)中積分算子函數(shù)Hn(z),H(z),G(z)的凸性和α階凸性.

        1 主要結(jié)果

        引理1.1[12]設(shè)函數(shù)f(z)是圓盤UR={z∈C,|z|<R}內(nèi)的解析函數(shù)且|f(z)|≤M,M是回定的非負(fù)實數(shù).若f(z)在z=0處有大于或等于m階的零點,則等號(不等式中z≠0)成立當(dāng)且僅當(dāng)這里θ為常數(shù).

        定理1.2 設(shè)fi(z)∈BS(n,p,μi,αi),μi≥0,0≤αi<p,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤Mi,Mi≥1為常數(shù),則Hn(z)∈Kn(p,δ),這里

        定理1.2的證明 假設(shè)fi(z)∈BS(n,p,μi,αi),i=1,2,…,n,則

        因此,Hn(z)∈Kn(p,δ).

        推論1.3 設(shè)fi(z)∈BS(n,p,μi,αi),μi≥0,0≤αi>p,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤M,M≥1為常數(shù),則Hn(z)∈Kn(p,δ),這里則即因此

        推論1.3的證明 在定理1.2中令Mi=M即可.

        推論1.4 設(shè)fi(z)∈B(μi,αi),μi≥0,0≤αi<1,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤Mi,Mi≥1為常數(shù),則Hn(z)∈這里

        推論1.4的證明 在定理1.2中令n=p=1即可.

        推論1.5 設(shè)fi(z)∈R(αi),0≤αi>1,i=1,2,…,n,則Hn(z)∈K(δ),這里

        推論1.5的證明 在定理1.2中令n=p=1,μi=0,i=1,2,…,n即可.

        推論1.6 設(shè)fi(z)∈S*n(p,αi),0≤αi<p,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤Mi,Mi≥1為常數(shù),則Hn(z)∈Kn(p,δ),這里

        推論1.6的證明 在定理1.2中令μi=1,i=1,2,…,n即可.

        定理1.7 設(shè)fi(z)∈BS(n,p,μi,αi),μi≥0,0≤αi<p,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤Mi,Mi≥1為常數(shù),則H(z)∈Kn(p,δ),這里1]+n|β-1|≤1,β∈C/{0}.

        定理1.7的證明 假設(shè)fi(z)∈BS(n,p,μi,αi),i=1,2,…,n,則

        由引理1.1可知,對i=1,2,…,n,有且|z|p<1.又fi(z)∈BS(n,p,μi,αi)知,所以,

        因此,H(z)∈Kn(p,δ).

        推論1.8 設(shè)fi(z)∈BS(n,p,μi,αi),μi≥0,0≤αi<p,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤M,M≥1為常數(shù),則H(z)∈Kn(p,δ),這里1]+n|β-1|≤1,β∈C/{0}.

        推論1.8的證明 在定理1.7中令Mi=M,i=1,2,…,n即可.

        推論1.9 設(shè)fi(z)∈B(μi,αi),μi≥0,0≤αi<1,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤Mi,Mi≥1為常數(shù),則H(z)∈K(δ),這里1,β∈C/{0}.

        推論1.9的證明 在定理1.7中令n=p=1即可.

        推論1.10 設(shè)fi(z)∈S*n(p,αi),0≤αi<p,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤Mi,Mi≥1為常數(shù),則H(z)∈β∈C/{0}.

        推論1.10的證明 在定理1.7中令μi=1,i=1,2,…,n即可.

        定理1.11 設(shè)fi(z)∈BS(n,p,μi,αi),μi≥0,0≤αi<p,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤Mi,Mi≥1為常數(shù),

        則G(z)∈Kn(p,δ),這里Kn(p,δ),這里

        定理1.11的證明 假設(shè)fi(z)∈BS(n,p,μi,αi),μi≥0,0≤αi<p,由G(z)的定義,知由引理1.1和fi(z)的定義可得,

        推論1.12 設(shè)fi(z)∈BS(n,p,μi,αi),μi≥0,0≤αi<p,i=1,2,…,n,若|fi(z)≤M,M≥1為常數(shù),則G(z)∈Kn(p,δ),這里

        推論1.12的證明 在定理1.11中令Mi=M,i=1,2,…,n即可.

        推論1.13 設(shè)fi(z)∈B(μi,αi),μi≥0,0≤αi<1,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤Mi,Mi≥1為常數(shù),則G(z)∈K(δ),這里

        推論1.13的證明 在定理1.11中令n=p=1即可.

        推論1.14 設(shè)fi(z)∈S*n(p,αi),0≤αi<p,i=1,2,…,n,若|fi(z)|≤Mi,Mi≥1為常數(shù),則G(z)∈Kn(p,δ),這里

        推論1.14的證明 在定理1.11中令μi=1,i=1,2,…,n即可.

        [1]揚定恭.關(guān)于具有負(fù)系數(shù)的p葉星象函數(shù)的注記[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1993,9(1):119-122.

        [2]劉金林.關(guān)于p葉星象函數(shù)和Bazilevi函數(shù)的若干注記[J].揚州師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,1996,16(2):12-15.

        [3]劉金林.關(guān)于p葉解析函數(shù)的若干結(jié)果[J].工科數(shù)學(xué),1992,57(2):165-175.

        [4]揚定恭.亞純p葉凸象函數(shù)的子類[J].數(shù)學(xué)研究與評論,2000,20(2):215-219.

        [5]Frasin B A,Jahangiri J.A new and comprehensive class of analytic functions[J].Anal Univ Oradea Fasc Math,2008(15):59-62.

        [6]Macarie V M,Breaz D.On the convexity of certain integral operator[J].Ann Funct Anal,2012,3(2):183-190.

        [7]韋葉,隱建蘭,劉金林.由線性算子定義的一類p葉解析函數(shù)[J].揚州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,9(1):5-8.

        [8]武懷勤.由算子定義的p葉函數(shù)的子類[J].五邑大學(xué)學(xué)報,2001(3):1-4.

        [9]倉交玲.由算子定義的一類p葉解析函數(shù)性質(zhì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(2):57-61.

        [10]Frasin B A,Darus M.On certain analytic univalent functions[J].Int J Math Csi,2001,25(5):305-310.

        [11]Frasin B A,Jahangiri J M.A ner and comprehensive class og analytic functions[J].Analele Universitatii din Oradea,Tom XV,2008:61-64.

        [12]Mayer O.Function theory of one complex variable[M].Bucuresti:Academy Press,1981.

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