孫德智，郭鋼，余偉

(南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

并聯機構具有高剛度、高精度和高承載能力等優(yōu)點而成為人們研究的熱點[1]。4-RCRP并聯機器人與廣泛應用的SCARA串聯機器人一樣，可以實現空間的三維移動與繞z軸的轉動，以該機器人為基礎可以設計出多種用途的空間并聯機器人、并聯虛擬軸機床、微動機器人等。

利用虛擬樣機可以代替物理樣機對產品進行創(chuàng)新設計、測試和評估，從而縮短開發(fā)周期，降低成本，改進產品設計品質[2]。為了有效地求解4-RCRP并聯機器人運動學問題，利用虛擬樣機技術對其進行運動學建模，并加以仿真，以驗證其運動學求解的正確性。

1 4-RCRP并聯機器人機構簡介

4-RCRP并聯機器人由4條對稱的R-C-R-P鏈、一個定平臺以及一個動平臺組成。圖1所示。

圖1 4-RCRP并聯機器人模型

2 4-RCRP并聯機器人的位置分析

圖2 在o-xyz坐標系的投影

機器人的位置分析是求解機構的輸入與輸出構件之間的位置關系。可由幾何關系求解其位置正逆解，如圖2，定平臺特征尺寸OAi’=R(i=1,2,3,4)，動平臺特征尺寸O’Bi’=r，點O’在O-xyz坐標系的坐標(x,y,z)就是動平臺的三個移動自由度，動坐標系O’-x’y’z’相對于定平臺坐標系O-xyz的姿態(tài)就反映了動平臺的姿態(tài)，F是動平臺的轉動自由度，可以用矩陣[T]表示。各支鏈坐標系Oi-xiyizi相對于O-xyz姿態(tài)可由[Ti]表示。Ai’Ci’=a，Bi’Ci’=Li，Ai’Ei’=li，

點Bi’在坐標系O-xyz下的坐標向量Bi為：

(1)

則有：

(2)

定平臺中AiO=R(i=1,2,3,4)，Ai在O-xyz中坐標為：

A1=[R, 0, 0]TA2=[0,R, 0]T

A3=[-R, 0, 0]TA3=[0, -R, 0]T

(3)

Ci、Ei在O-xyz中坐標為：

(4)

(5)

2.1 4-RCRP并聯機器人位置正解

4-RCRP并聯機器人的運動學正解可以描述為：己知各驅動轉角θi的值，求動平臺的位置和姿態(tài)(x,y,z,F)。由圖2分析可得以下關系式：

(6)

由式(2)—式(6)可得機器人正解方程組如下：

x2+y2+y12-2yy1-L12sin2φ+a2cos2θ+2rsinδ(y-y1)+

2rcosδ(x-R-acosθ1)+2acosθ1(x-R)-2xR+r2+R2+1=0

(7)

x2+y2+x22-2xx2-L22sin2φ+a2cos2θ2+2acosθ2(y-R)+2rsin(δ+μ)(y-R-acosθ2)+2rcos(δ+μ)(x-x2)-2yR+r2+

R2+=0

(8)

x2+y2+y32-2yy3-L32sin2φ+a2cos2θ3-2rsinδ(y-y3)-

2acosθ3(x+R)-2rcosδ(x+R+acosθ3)+2xR+r2+R2=0

(9)

x2+y2+x42-2xx4-L42sin2φ+a2cos2θ4-2acosθ4(R+y)-2rsin(δ+μ)(y+R-acosθ4)-2rcos(δ+μ)(x-x4)+2yR+r2+R2+=0

(10)

式(7)—式10即為4-RCRP并聯機器人正解模型，它是關于(x,y,z,F)的高次線性方程組。

2.2 4-RCRP并聯機器人位置逆解

當已知動平臺姿態(tài)(x,y,z,F)求解機構輸入θi(Li)(i=1,2,3,4),是位置反解。整理式1—式10，由圖2分析可得反解方程組如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

式(11)—式(14)是關于θ1,θ2,θ3,θ4的一元二次方程組，即為4-RCRP并聯機器人的反解。

3 4-RCRP并聯機器人的運動學仿真

在ADAMS中建立4-RCRP并聯機器人三維模型，利用ADAMS提供的約束庫施加各種約束限制構件之間的相對運動, 并將各個構件連接成一個機械系統(tǒng)。

該并聯機器人的結構參數為：

R=0.8485,r=3202,a=0.35,μ=1.3495,φ=0.5456,φ=0.3488.在動平臺中心添加驅動:alpha=0,beta=0,delta=pi/60×sin(0.25×pi×t)+pi/4-atan(0.8),

x=0.01×sin(0.25×pi×)t×(1/2)(1/2),

y=0.11×sin(0.25×pi×)t×(1/2)(1/2),

z=0.1×sin(0.25×pi×)t×(1/2)+1.133,以θ1,θ2,θ3,θ4作為輸出，θi[0,π],i=1,2,3,4。運行時間t=8s，步長為0.02 s。ADAMS仿真結果和計算結果如圖3—圖6所示。

從圖3—圖6可以看出θ1，θ2，θ3，θ4理論值所對應的星型線和仿真值所對應的實線基本重合,從而證明了理論分析的正確性。

圖3 θ1的仿真值與理論值

圖4 θ2仿真值與理論值

4 結論

本文建立了4-RCRP并聯機器人數學模型，求出了該機器人位置的正反解，仿真結果驗證了理論推導的正確性，為以后的機器人的靜、動態(tài)特性分析以及動力學分析打下了基礎。

圖5 θ3仿真值與理論值

圖6 θ4的仿真值與理論值

[1] 王波,劉向東,韓強,等.三自由度平面并聯機構位姿分析[J].電氣技術與自動化，2011.170-182.

[2] 李寒杰.虛擬樣機技術機器在工程機械領域的應用[J].裝備制造技術，2012,6:302-304.