劉志成，閻占元 ，馬金英

(1.華北電力大學 科技學院，河北 保定 071003；2. 華北電力大學 數理學院，河北 保定 071003)

隨著微電子學和納米技術的飛速發(fā)展，集成電路的基本設備尺度已經到達介觀層次，其量子效應不可忽視，介觀電路的量子理論應運而生[1].Louisell在20世紀70年代，最早進行了介觀LC電路的量子化，借用簡諧振子的量子化方法，得到了真空態(tài)下體系的量子漲落[2].之后的近20年的時間里，對介觀電路的研究幾乎沒有進展，到了20世紀90年代中期，隨著電路越來越小型化，介觀電路量子理論的越來越急需.人們從不同的角度先后研究了介觀LC電路、介觀RLC電路以及介觀耦合電路分別處于不同的某些特定狀態(tài)下的量子力學效應，得到了一些具有一定意義的結果[3-9].在量子化介觀電路時，關鍵的是把電路合適量子化，然后求解系統(tǒng)的薛定諤方程.方法大致分為3類：1)借用簡諧振子的量子化方法，或引入產生和湮滅算符實現介觀電路量子化[2,10]，這是目前研究最為廣泛和深入的一種方法.2)在電荷分立取值的基礎上，重新定義廣義坐標動量算符和哈密頓算符，建立一種有限差分形式的薛定諤方程，實現介觀電路的量子化[5,11]，對有限差分形式薛定諤方程的求解困難，限制了這類方法的應用范圍.3)在路徑積分的基礎，求解出系統(tǒng)的傳播子，從而得到系統(tǒng)的性質[12-13].

介觀電子諧振腔是一種介觀器件[14]，近年來，因其電阻振蕩性引起了人們的廣泛關注[15].本文采用Feynman路徑積分的方法對介觀電子諧振腔進行了量子化.應用高斯型傳播子，求出系統(tǒng)的能級，得到波函數隨時間的演化公式，進而討論系統(tǒng)的量子漲落和不確定關系.

1 介觀電子諧振腔的量子化

圖1 介觀電子諧振腔示意 Fig.1 Sketch drawing of the mesoscopic electron resonator

按照Utreras Diaz等人[16]的模型，介觀諧振腔結構如圖1所示，是由1個量子點接觸和1個圓弧形反射壁組成，反射壁上電壓為Vg.電子通過量子點接觸注入系統(tǒng)，在空腔內多次反射，從反射壁的兩側流出.系統(tǒng)等效為LC電路.

系統(tǒng)的經典哈密頓為

(1)

(2)

2 系統(tǒng)傳播子

在路徑積分形式中，只要確定系統(tǒng)的傳播子，任意時刻的波函數可通過初態(tài)演化而得.傳播子的泛函積分形式為

(3)

(4)

(5)

(6)

其中Scl為經典作用量，與δq無關.過程用到δq在端點為零和運動方程.路徑積分的測度變成D[q(t)]=D[δq(t)]，傳播子化為

(7)

其中A(t)是對δq積分后的結果.所以二次型的作用量，對應的傳播子是高斯型.為計算簡便，寫出以下一般形式的高斯型傳播子，再定出各項系數.

(8)

傳播子滿足薛定諤方程

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

解以上微分方程，并利用初始條件K(q,t;q0,0)

t→0=δ(q-q0)，可得6個系數分別為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

其中

(23)

3 系統(tǒng)波函數

(24)

令t=0，可得系統(tǒng)的初態(tài)波函數和能級：

(25)

(26)

應用傳播子式(22),容易得到體系任意時刻的波函數，

(27)

即

(28)

其中，

(29)

(30)

利用恒等式

(31)

(32)

(33)

化簡得到體系任意時刻波函數為

(34)

其中γ=cosωtC2αVg+q-u.

4 量子漲落和不確定關系

作為以上得到的波函數的應用，利用上節(jié)結論和厄密多項式的性質，可求解體系的量子漲落和不確定關系.

(35)

(36)

(37)

(38)

因此，漲落為

(39)

(40)

.

(41)

5 結論

本文在介觀電子諧振腔等效電路的哈密頓基礎上，采用Feynman路徑積分的方法對介觀電子諧振腔進行了量子化求解.應用高斯型傳播子，求出了系統(tǒng)的能級以及波函數隨時間的演化公式，并討論了系統(tǒng)的量子漲落和不確定關系.結果表明，無耗散的介觀電子諧振腔系統(tǒng)的電荷和電流的量子漲落，與介觀LC電路的量子漲落相同，并且不隨時間變化.

參 考 文 獻:

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