王繼剛，周 立，蔣廷臣，孫佳龍

(淮海工學(xué)院 測(cè)繪學(xué)院，江蘇 連云港 222005)

一、引 言

道路橋梁工程、工業(yè)測(cè)量擬合、GIS數(shù)據(jù)采集和變形監(jiān)測(cè)分析與預(yù)報(bào)等測(cè)量數(shù)據(jù)處理工作中直線擬合有著廣泛的應(yīng)用。常規(guī)方法是測(cè)定直線上若干點(diǎn)，列立誤差方程式時(shí)只顧及因變量誤差，依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則獲得擬合方程。由于忽略了自變量誤差，導(dǎo)致擬合方程中存在著一定的模型誤差。若要克服模型誤差，應(yīng)利用整體最小二乘法來(lái)求解直線的斜率和截距。文獻(xiàn)[1—4]較為詳細(xì)地探討了顧及因變量誤差的直線擬合問(wèn)題，但這些文獻(xiàn)存在的問(wèn)題是：要么未徹底解決模型誤差問(wèn)題，要么模型僅僅適用于等精度觀測(cè)。事實(shí)上，在實(shí)際應(yīng)用中，直線坐標(biāo)分量觀測(cè)精度可能不等，這時(shí)應(yīng)使用加權(quán)整體最小二乘法擬合。沈云中等[5-8]提出了嚴(yán)密的加權(quán)整體最小二乘直線擬合模型，雖然這些模型精度高，但算法往往涉及復(fù)雜的矩陣?yán)碚?，運(yùn)算過(guò)程繁瑣，不利于廣大一線測(cè)繪工作者理解和應(yīng)用。

實(shí)際上，在不等精度直線擬合模型中，有兩個(gè)問(wèn)題待解決：① 同時(shí)考慮坐標(biāo)分量的誤差和觀測(cè)精度；② 所建立的直線方程是否是唯一的。無(wú)論哪種坐標(biāo)分量是因變量，也無(wú)論直線方程系數(shù)近似值是如何得到的，最終得到的擬合方程都是一樣的。本文通過(guò)對(duì)直線擬合模型的深入分析，從廣大測(cè)繪工作者熟悉的測(cè)量平差角度入手，運(yùn)用附有參數(shù)的條件平差理論建模，擬解決上述兩個(gè)問(wèn)題，將不等精度的整體最小二乘法直線擬合納入到測(cè)量平差方法范疇，為進(jìn)一步研究加權(quán)整體最小二乘擬合模型打下了基礎(chǔ)。

二、擬合模型

設(shè)某一條待定直線上某點(diǎn)i觀測(cè)值為(xi,yi)，i=1,2,…,n，其對(duì)應(yīng)的觀測(cè)誤差分別為εxi和εyi，那么坐標(biāo)分量之間存在的關(guān)系可表述為

a(x+εxi)+b(y+εyi)=c

(1)

式中，a和b為待估參數(shù)；c為由相關(guān)關(guān)系確定的常數(shù)，此處可設(shè)為1。

考慮到待估參數(shù)受到觀測(cè)誤差的影響，不妨取a=a0+δa和b=b0+δb，a0和b0分別為a和b的近似值，δa和δb分別為對(duì)應(yīng)的改正數(shù)。將式(1)展開(kāi)并略去二次項(xiàng)，得線性近似表達(dá)式為

a0vxi+b0vyi+xiδa+yiδb+a0xi+b0yi=1

(2)

式中，vxi和vyi為對(duì)應(yīng)誤差εxi和εyi的估計(jì)值?，F(xiàn)有n個(gè)觀測(cè)值，存在著n個(gè)觀測(cè)方程，用矩陣形式可表述為

在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，采用賦權(quán)方法處理不等精度觀測(cè)問(wèn)題，由加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則

VTPV=min

(4)

來(lái)求解式(3)。其中，權(quán)陣P為2n階方陣，權(quán)陣本質(zhì)是一種先驗(yàn)精度矩陣。當(dāng)所有的坐標(biāo)分量都是獨(dú)立觀測(cè)得到的，此時(shí)P為對(duì)角陣；更特殊的是所有坐標(biāo)分量都是獨(dú)立等精度觀測(cè)得到的，此時(shí)P為單位陣。

實(shí)際上式(3)是一個(gè)附有參數(shù)的條件平差問(wèn)題，與附有參數(shù)的條件平差問(wèn)題略有差異，其秩R(B)=2，參數(shù)的個(gè)數(shù)等于待估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)，但這不影響估計(jì)結(jié)果。從平差模型本質(zhì)上看，間接平差和條件平差模型都可以看成附有參數(shù)的條件平差的特例，附有參數(shù)的條件平差模型是無(wú)法用間接平差或條件平差模型所表述的狹義模型。

根據(jù)附有參數(shù)的條件平差模型求解參數(shù)估值和精度評(píng)定方法，易得參數(shù)估值、單位權(quán)方差估計(jì)及平差參數(shù)的協(xié)方差陣，現(xiàn)直接給出相關(guān)結(jié)果如下，具體推導(dǎo)和有關(guān)符號(hào)含義參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

特別的，當(dāng)P為單位陣時(shí)，式(5)和式(7)可分別簡(jiǎn)化為

三、實(shí)例計(jì)算

本文采用一個(gè)經(jīng)典的不等精度的直線擬合算例進(jìn)行分析，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。文獻(xiàn)[5—8]均運(yùn)用該算例驗(yàn)證了加權(quán)整體最小二乘法的有效性。算例中共有10個(gè)樣本點(diǎn)，每一個(gè)樣本點(diǎn)的坐標(biāo)分量觀測(cè)精度用權(quán)加以量化。

表1 觀測(cè)值樣本

對(duì)于表1中的數(shù)據(jù)，用常規(guī)的加權(quán)擬合法無(wú)法同時(shí)使用x和y兩坐標(biāo)分量的權(quán)，而如果僅僅采用x或y的權(quán)，得到的結(jié)果誤差較大，甚至嚴(yán)重地背離了真值，直接影響了擬合結(jié)果的應(yīng)用，幾種擬合方法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 幾種方法計(jì)算結(jié)果比較

在采用本文模型時(shí)，可認(rèn)為每個(gè)坐標(biāo)分量都是獨(dú)立觀測(cè)得到的，即權(quán)陣P為對(duì)角陣。首先分析等精度的情況，即忽略坐標(biāo)分量觀測(cè)精度，取P為20階單位陣，計(jì)算得到直線的斜率和截距與嚴(yán)密模型矩陣分解法(Golub算法)所得結(jié)果完全一致，表明本文建模方法是正確的。

對(duì)于加權(quán)模型，因?yàn)楂@取近似值的3種方法(即x為自變量、y為自變量和等精度模型)得到的a0和b0相差很大，必須采用迭代算法。本文閾值設(shè)置為10-5，對(duì)于這3種方法獲得的近似值，最多迭代5次后就都收斂到了同一數(shù)值，表明本算法穩(wěn)定，不受近似值的影響，解決了用不等精度直線擬合模型中存在的兩個(gè)問(wèn)題。

從表2可以看出，本文的結(jié)果與真值和嚴(yán)密算法相比還存有微小的誤差，用向量的2-范數(shù)來(lái)衡量相對(duì)誤差，該方法計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差僅有2%，完全能滿足一般工程計(jì)算的精度要求。表明本文所提出的加權(quán)擬合模型誤差小，進(jìn)一步證明了建模方法的正確性。

四、結(jié)束語(yǔ)

在深入分析直線擬合誤差模型的基礎(chǔ)上，本文基于附有參數(shù)的條件平差理論建模，得到了一種簡(jiǎn)單的加權(quán)整體最小二乘直線擬合模型。該模型解決了不等精度直線擬合中存在的兩個(gè)問(wèn)題，同時(shí)將加權(quán)整體最小二乘直線擬合模型納入到測(cè)量平差體系中，模型算法簡(jiǎn)單且穩(wěn)定、占機(jī)時(shí)間少、計(jì)算誤差小，不涉及諸如矩陣分解和Kronecker積運(yùn)算等復(fù)雜的矩陣?yán)碚?，非常有利于廣大一線測(cè)繪工作者的應(yīng)用。對(duì)于解決目前遇到的許多新問(wèn)題具有一定的參考價(jià)值，對(duì)進(jìn)一步研究顧及系數(shù)矩陣誤差的整體最小二乘解具有一定的啟發(fā)，為今后更深入地研究加權(quán)整體最小二乘在測(cè)繪中的應(yīng)用打下了一定的基礎(chǔ)。

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