楊 洋 唐 玲

(1.西南石油大學(xué)石油工程學(xué)院， 成都 610500； 2.新疆獨(dú)山子天利實(shí)業(yè)總公司樹脂項(xiàng)目部， 新疆 克拉瑪依 833600)

相對(duì)滲透率曲線是研究多相滲流的基礎(chǔ)，它在油田開發(fā)計(jì)算，動(dòng)態(tài)分析，確定儲(chǔ)層中油、氣、水的飽和度分布及與水驅(qū)油有關(guān)的各類計(jì)算中都是必不可少的資料。毛管壓力和相對(duì)滲透率作為巖石的基本屬性，都是(非)濕相飽和度的函數(shù)，它們之間存在一定的關(guān)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。應(yīng)用毛管壓力資料計(jì)算相滲曲線的方法有：

Corey模型[1]：

krw=(S′)4

(1)

krnw=(1-S′)2[1-(S′)2]

(2)

其中：

(3)

式中：krw— 濕相相對(duì)滲透率；krnw— 非濕相相對(duì)滲透率；S′ — 有效濕相飽和度；Sr— 最小濕相飽和度，即毛管壓力為無限大時(shí)的剩余濕相飽和度；Sw— 濕相飽和度。

由于Corey模型涉及到常數(shù)，對(duì)于不同孔隙分布的巖石，其計(jì)算結(jié)果仍一致，這與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)。Brooks和Corey[2]對(duì)Corey模型進(jìn)行改進(jìn)，引入了巖石孔隙大小分布指數(shù)λ：

(4)

(5)

式中：λ— 孔隙大小分布指數(shù)。

當(dāng)λ取2時(shí)，Brooks-Corey模型就變成Corey模型，說明Corey模型是一特例。李克文和Horne在測試毛管壓力以及應(yīng)用毛管壓力資料計(jì)算相滲曲線方面做了大量研究,且提出了Li-Horne模型[3]：

(6)

(7)

Burdine模型[4]是在Purcell模型(Purcell模型是根據(jù)簡單的毛管束模型推導(dǎo)出來的，與實(shí)際巖石的孔隙結(jié)構(gòu)相差很大，故其精度很低)基礎(chǔ)上引入了迂曲度的概念提出來的，提高了計(jì)算精度:

(8)

其中：

(9)

式中：λrw— 濕相彎曲度比值；Smin— 最小濕相飽和度；τw(1.0),τw(Sw) — 分別為濕相飽和度為100%和Sw時(shí)的彎曲度。

(10)

其中：

(11)

式中：λrnw— 非濕相彎曲度比值；Snw— 非濕相平衡飽和度。

前3種模型涉及到參數(shù)λ的確定，Standing指出孔隙大小分布指數(shù)λ與巖石孔隙尺寸分布范圍和分布頻率等有關(guān)。很多學(xué)者展開了λ與巖石孔隙尺寸分布范圍、頻率關(guān)系的研究[5-7]，但其研究只停留于定性關(guān)系上，并未給出它們之間的定量關(guān)系；而關(guān)于λ的應(yīng)用[8]，文中也都是憑經(jīng)驗(yàn)直接給出，存在著很大的誤差。本次研究以壓汞實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過毛管壓力定量數(shù)學(xué)模型(模型表達(dá)式中含λ)擬合實(shí)驗(yàn)實(shí)測點(diǎn)來確定λ值。由式(8)、(10)可以看出Burdine模型公式表達(dá)式較為復(fù)雜，涉及到迂曲度。為了簡化計(jì)算，可以結(jié)合其分形幾何表達(dá)式，只涉及到分形維數(shù)D，而D可以通過毛管壓力的分形公式求出。

1 λ值的確定

研究選用壓汞法測取的毛管壓力曲線如圖1所示。

圖1 毛管壓力曲線

選用的毛管壓力定量數(shù)學(xué)模型為Gerhard-Kueper模型[10]，因?yàn)樵撃Ｐ捅容^成熟，是Brooks-Corey毛管壓力定量數(shù)學(xué)模型的延伸，其第一次驅(qū)替曲線仍采用Brooks-Corey模型表達(dá)式，定義如下：

Pc=PD(S′)-1/λd

(12)

式中：PD— 第一次驅(qū)替曲線延伸到濕相飽和度Sw=1.0時(shí)的毛管壓力；S′ — 有效濕相飽和度；λd— 與驅(qū)替過程有關(guān)的孔隙大小分布指數(shù)。

吸入曲線定義為：

(13)

在參考了文獻(xiàn)[11-12]后，由毛管壓力曲線確定參數(shù)值圖2結(jié)合本次實(shí)驗(yàn)實(shí)測曲線得出各參數(shù)值，見表1。

圖2 毛管壓力曲線確定參數(shù)值圖

第一次驅(qū)替曲線(壓汞曲線)PD∕MPaSr∕%λd吸入曲線(退汞曲線)PT∕MPaSX*w∕%λi0.0219.267 51.960.0165.1171.24

模型驅(qū)替曲線與壓汞實(shí)測點(diǎn)的擬合情況見圖3；模型吸入曲線與退汞實(shí)測點(diǎn)的擬合情況見圖4。

圖3、4的擬合效果較好，由此確定出孔隙大小分布指數(shù)λ的正確性，由于毛管壓力的孔隙分布主要由第一次驅(qū)替判定，因此計(jì)算相滲公式中λ取值為第一次驅(qū)替曲線的分布指數(shù)λd。

圖3 驅(qū)替擬合圖

圖4 吸入擬合圖

2 分形維數(shù)D的確定

前人研究結(jié)果表明，可以用分形幾何學(xué)來描述經(jīng)典歐幾里德難以描述的復(fù)雜不規(guī)則的巖石孔隙結(jié)構(gòu)，儲(chǔ)層巖石孔隙尺寸在0.2～50 μm范圍具有很好的分形特征。1998年賀承祖[13]結(jié)合分形理論，推導(dǎo)出了毛管壓力曲線和相滲的分形幾何公式：

(14)

式中：Pmin— 儲(chǔ)層中最大孔徑rmax對(duì)應(yīng)的毛管壓力，即入口毛管壓力；S— 濕相飽和度。

(15)

(16)

對(duì)式(16)兩邊取對(duì)數(shù)，得：

lgS=(3-D)lgPmin+(D-3)lgPc

(17)

根據(jù)壓汞實(shí)驗(yàn)實(shí)測點(diǎn)(在退汞過程中，有一定量的汞滯留在巖石孔隙中，退汞不能正確反應(yīng)巖石孔隙結(jié)構(gòu)，因此此處擬合壓汞實(shí)驗(yàn)主要實(shí)測點(diǎn))，對(duì)lgS～lgPc雙對(duì)數(shù)作圖得到一條直線(見圖5)，由直線斜率可求出分形維數(shù)D(D約為2.33)，代入式中即可求出相對(duì)滲透率。

3 計(jì)算實(shí)例

將前面確定的參數(shù)λd和分形維數(shù)D，結(jié)合實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)，分別代入4個(gè)模型中，得到相滲曲線如圖6所示。從圖中可以看出，以分形維數(shù)D為橋梁結(jié)合分形幾何式計(jì)算出的相滲曲線與前幾種模型計(jì)算結(jié)果相差不大，而且算法更為簡單；分形維數(shù)還可以用于評(píng)價(jià)巖石的非均質(zhì)性。

圖5 lgS～lgPc雙對(duì)數(shù)圖

圖6 相滲曲線

4 結(jié) 論

(1)提出了通過擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定孔隙分布指數(shù)λ值，比憑經(jīng)驗(yàn)取值可靠，更有理論依據(jù)。

(2)提出計(jì)算相滲曲線更簡單的方法，即通過擬合毛管壓力資料求出分形維數(shù)D，進(jìn)而計(jì)算出相對(duì)滲透率。

[1] Corey A T.The Interrelation Between Gas and Oil Relative Permeabilities[J].Prod.Mon.,1954,19(1):38-41.

[2] Brooks R H,Corey A T.Hydraulic Properties of Porous Media[J].Colorado State University Hydrology Papers,1964:72-80.

[3] Li K,Horne R N.Comparison of Methods to Calculate Relative Permeability from Capillary Pressure in Consolidated Water-wet Porous Media[J].Water Resources Research,2006,14(6):42-54.

[4] Burdine N T.Relative Permeability Calculations from Pore Size Distribution Data[J].Trans.AIME,1953,19(8):71-79.

[5] Mccuen R H,Rawls W J,Brakensiek D L.Statistical Analysis of the Brooks-Corey and the Green-Ampt Parameters Across Soil Textures[J].Water Resources Research,1981,17(4):1005-1013.

[6] Bloomfield J P,Gooddy D C,Bright MI,et al.Pore-throat Size Distributions in Permo-Triassic Sandstones from the United Kingdom and some Implications for Contaminant Hydrogeology[J].Hydrogeology Journal,2001, 9:219-230.

[7] Cary J W,Hayden C W.An Index for Soil Pore Size Distribution[J].Geoerma,1973,9(4):249-256.

[8] Mark L Porter,Dorthe Wildenschild,Gavin Grant,et al.Measurement and Prediction of the Relationship between Capillary Pressure,Saturation,and Interfacial Area in a NAPL-water-glass Bead System[J].Water Resources Research,2010,46:1-10.

[9] 何更生.油層物理[M].北京：石油工業(yè)出版社，1994:11．

[10] Gerhard J I,Kueper B H.Capillary Pressure Characteristics Necessary for Simulating DNAPL Infiltration,Redistribution,and Immobilization in Saturated Porous Media[J].Water Resources Research,2003,39(8):1-12.

[11] Muhammad Sahimi.Flow Phenomena in Rocks:from Continuum Models to Fractals,Percolation,Cellular Automata,and Simulated Annealing[J].Reviews of Modern Physics,1993,65(4):1393-1534.

[12] Assouline S.On the Relationships Between the Pore Size Distribution Index and Characteristics of the Soil Hydraulic Functions[J].Water Resources Research,2005,41:1-13.

[13] 賀承祖，華明琪.儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)的分形幾何描述[J].石油與天然氣地質(zhì)，1998,19(1)：15-23.