張 俊

1. 北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854 2．宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854

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基于開(kāi)普勒二體運(yùn)動(dòng)修正地球扁率J2攝動(dòng)項(xiàng)算法

張 俊1,2

1. 北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854 2．宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854

為了解決遠(yuǎn)程飛行器虛擬目標(biāo)點(diǎn)的地球扁率J2攝動(dòng)項(xiàng)修正的技術(shù)難點(diǎn)，提出一種基于開(kāi)普勒二體運(yùn)動(dòng)推算地球引力模型J2攝動(dòng)項(xiàng)的間接補(bǔ)償?shù)姆椒?。該算法由基于二體運(yùn)動(dòng)時(shí)間推算J2攝動(dòng)項(xiàng)飛行時(shí)間的計(jì)算模塊和基于二體運(yùn)動(dòng)J2攝動(dòng)落點(diǎn)修正2個(gè)計(jì)算模塊構(gòu)成。通過(guò)算法設(shè)計(jì)和數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證了算法的正確性，其中仿真結(jié)果表明，該算法有效解決地球扁率造成的虛擬目標(biāo)點(diǎn)計(jì)算精度不足的問(wèn)題，在算法層面與傳統(tǒng)的地球扁率修正方法相比具有計(jì)算簡(jiǎn)單和計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn),同時(shí)保證虛擬目標(biāo)點(diǎn)計(jì)算達(dá)到精度要求。

虛擬目標(biāo)點(diǎn)； 地球扁率；J2攝動(dòng)項(xiàng)； 校正方法

遠(yuǎn)程飛行器制導(dǎo)計(jì)算時(shí)，計(jì)算虛擬目標(biāo)點(diǎn)需要補(bǔ)償?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)、再入大氣阻力和地球扁率的影響項(xiàng)，補(bǔ)償后瞄準(zhǔn)的目標(biāo)點(diǎn)稱為虛擬目標(biāo)點(diǎn)。在補(bǔ)償計(jì)算地球扁率時(shí)，主要的攝動(dòng)源是地球扁率J2項(xiàng)，所以要保證虛擬瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)的精度，需要對(duì)其扁率J2的補(bǔ)償達(dá)到比較高的精度。一般J2項(xiàng)修正方法計(jì)算量比較大和繁瑣，考慮工程應(yīng)用的原因，借鑒開(kāi)普勒二體運(yùn)動(dòng)和空間幾何關(guān)系得到修正J2攝動(dòng)項(xiàng)的方法。本文主要闡述了根據(jù)開(kāi)普勒二體運(yùn)動(dòng)修正地球扁率J2攝動(dòng)項(xiàng)的計(jì)算方法。

1 基于二體運(yùn)動(dòng)修正虛擬目標(biāo)點(diǎn)的數(shù)學(xué)建模

為了驗(yàn)證地球扁率對(duì)落點(diǎn)的影響程度及算法的正確性，采用算法驗(yàn)證地球模型為橢球,地球的引力場(chǎng)為非有心引力場(chǎng)，考慮選用參考文獻(xiàn)[1]中地球扁率動(dòng)力學(xué)方程組如下:

(1)

其中J2項(xiàng)選用參考文獻(xiàn)[2]的1.08263×10- 3。

2 基于二體運(yùn)動(dòng)飛行時(shí)間推導(dǎo)J2攝動(dòng)項(xiàng)飛行時(shí)間

首先利用開(kāi)普勒二體運(yùn)動(dòng)計(jì)算二體運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再利用開(kāi)普勒二體運(yùn)動(dòng)時(shí)間推算出遠(yuǎn)程飛行器J2攝動(dòng)項(xiàng)飛行時(shí)間差量，其中遠(yuǎn)程飛行器J2攝動(dòng)軌道與二體軌道的示意圖見(jiàn)圖(1)，確定當(dāng)前點(diǎn)至給定地心距r0位置點(diǎn)的二體運(yùn)動(dòng)飛行時(shí)間t0，并且利用四階龍格庫(kù)達(dá)法對(duì)方程組(1)積分t0時(shí)間，獲得對(duì)應(yīng)的位置速度值。

考慮到地球橢圓扁率不大，并且飛行器在飛行二體運(yùn)動(dòng)時(shí)間t0后已經(jīng)比較接近地面，可以將導(dǎo)彈的地心距近似為時(shí)間的單變量函數(shù)r(t)，單變量函數(shù)r(t)進(jìn)行泰勒展開(kāi)(略去高階項(xiàng))得

(2)

其中，tJ2=t-t0為考慮J2攝動(dòng)項(xiàng)后在二體運(yùn)動(dòng)時(shí)間基礎(chǔ)上的一個(gè)修正量。

基于式(2)可得：

(3)

其中，rT為遠(yuǎn)程飛行器著陸點(diǎn)的地心距。

為了確定式(3)中的分母部分，在t0的基礎(chǔ)上加上時(shí)間小量h，從t0對(duì)應(yīng)的R0,V0積分一個(gè)小的時(shí)間區(qū)間[0,h]，得到對(duì)應(yīng)的位置和速度R1,V1。

利用四階龍格庫(kù)達(dá)積分法確定的R1,V1,進(jìn)而推導(dǎo)出：

(4)

將式(4)帶入式(3)得：

(5)

通過(guò)上述推導(dǎo),確定了遠(yuǎn)程飛行器J2軌道的飛行時(shí)間相對(duì)二體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的時(shí)間補(bǔ)償量。那么，遠(yuǎn)程飛行器運(yùn)動(dòng)到給定地心距rT的飛行時(shí)間為：

tT=t0+tJ2

(6)

圖1 遠(yuǎn)程飛行器J2軌道落點(diǎn)時(shí)間計(jì)算示意圖

3 基于虛擬目標(biāo)點(diǎn)的J2攝動(dòng)項(xiàng)落點(diǎn)校正方法

(7)

從而完成考慮J2項(xiàng)影響后的落點(diǎn)校正，其中遠(yuǎn)程飛行器J2引起的目標(biāo)校正(虛擬目標(biāo)計(jì)算)的示意圖見(jiàn)圖2。

圖2 遠(yuǎn)程飛行器J2引起的目標(biāo)校正的示意圖

本算法的遠(yuǎn)程飛行器J2項(xiàng)引起的目標(biāo)校正巧妙的借助了計(jì)算出的J2攝動(dòng)項(xiàng)飛行時(shí)間，再通過(guò)確定的飛行時(shí)間及精確積分方法達(dá)到快速確定實(shí)際目標(biāo)的位置信息，其中J2攝動(dòng)項(xiàng)飛行時(shí)間可以利用二體運(yùn)動(dòng)飛行時(shí)間與2者地心距比例關(guān)系達(dá)到求解的目的。

4 算法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本算法的可行性，基于某總體參數(shù)進(jìn)行建模仿真，3組仿真的結(jié)果如下。

1) 算例1

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法精度和適應(yīng)性，采用戰(zhàn)術(shù)飛行器的總體參數(shù)指標(biāo)，起飛點(diǎn)選在從中國(guó)西北甘肅到新疆的庫(kù)爾勒，參數(shù)指標(biāo)如表1所示。

表1 仿真算例1發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的地心經(jīng)緯度

按照該算法展開(kāi)的J2項(xiàng)修正后的飛行精度分析結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 實(shí)施算例1的J2項(xiàng)修正后的飛行精度分析表

2) 算例2

算例2采用算例1的飛行器總體參數(shù)不變，起飛點(diǎn)改從中國(guó)海南地區(qū)到福建沿海地區(qū)，參數(shù)指標(biāo)如表3所示。

按照該算法展開(kāi)的J2項(xiàng)修正后的飛行精度分

析結(jié)果見(jiàn)表4。

表3 仿真算例2發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的地心經(jīng)緯度

表4 實(shí)施算例2的J2項(xiàng)修正后的飛行精度分析表

3) 算例3

算例3采用算例1的飛行器總體參數(shù)不變，起飛點(diǎn)改從中國(guó)腹地四川到南海地區(qū)，參數(shù)指標(biāo)如表3所示。

按照該算法展開(kāi)的J2項(xiàng)修正后的飛行精度分析結(jié)果見(jiàn)表6。

表5 仿真算例3發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的地心經(jīng)緯度

表6 實(shí)施算例3的J2項(xiàng)修正后的飛行的精度分析表

按照算法建模仿真落點(diǎn)對(duì)比結(jié)果：算例1的落點(diǎn)偏差在20m以內(nèi)，算例2的落點(diǎn)偏差在10m以內(nèi)，算例3的落點(diǎn)偏差在10m以內(nèi)。而未考慮進(jìn)行J2項(xiàng)修正的落點(diǎn)偏差在km級(jí)，可見(jiàn)本算法在瞄準(zhǔn)精度上效果提高顯著。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)遠(yuǎn)程飛行器發(fā)射前路徑規(guī)劃虛擬目標(biāo)點(diǎn)時(shí)遇到的地球扁率J2攝動(dòng)項(xiàng)修正問(wèn)題，傳統(tǒng)的修正方法需要大量的高等數(shù)學(xué)計(jì)算及推導(dǎo)，其計(jì)算量大，實(shí)時(shí)性差，工程應(yīng)用具有一定難度。而本文提出的間接修正補(bǔ)償?shù)姆椒?，?jì)算量小，數(shù)值積分采用大步長(zhǎng)四階龍格庫(kù)達(dá)方法，可以滿足精度和實(shí)時(shí)性要求。

[1] 程國(guó)采.飛行器制導(dǎo)方法與最優(yōu)控制[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1987.

[2] 賈沛然,陳克俊.遠(yuǎn)程火箭彈道學(xué)[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1981.

[3] 黃圳圭.航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1997.

TheCorrectionAlgorithmofJ2PerturbationsoftheEarthOblatenessBasedonKeplerTwo-BodyMotion

ZHANG Jun1,2
1. Beijing Aerospace Automatic Control Institute，Beijing 100854， China 2. National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Intelligence Control，Beijing 100854， China

AimingatsolvingtheproblemofJ2perturbationoftheEarthoblatenessofvirtuallandingpointofflyingvehicle,anindirectcompensationalgorithmisproposedforestimatingtheJ2perturbationoftheEarthgravitymodelbasedontheKeplertwo-bodymovement.Thetimealgorithmconsistsofthecalculationpartofpredictingtheflyingtimefromthebodymovementtimeandthelandingpointcorrectionpart.Aftermodelingsimulation,itshowsthatthedivergenceofthevirtuallandingpointprecisioniseffectivelyrestrainedafterapplyingthisalgorithm.BycomparingwithtraditionalEarthoblatenesscorrectionmethod,thecalculationcomplexityofthisalgorithmhasbeenmuchsimplifiedandthecalculationspeedisfaster.

Virtuallandingpoint;Earthoblateness;J2perturbation;Correctionmethod

2013- 03- 12

張俊(1979-),男，安徽馬鞍山人，工程師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)。

V448.2

： A

1006- 3242(2014)06- 0022- 04