張 俊

1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854 2．宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京 100854

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基于開普勒二體運動修正地球扁率J2攝動項算法

張 俊1,2

1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854 2．宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京 100854

為了解決遠(yuǎn)程飛行器虛擬目標(biāo)點的地球扁率J2攝動項修正的技術(shù)難點，提出一種基于開普勒二體運動推算地球引力模型J2攝動項的間接補償?shù)姆椒?。該算法由基于二體運動時間推算J2攝動項飛行時間的計算模塊和基于二體運動J2攝動落點修正2個計算模塊構(gòu)成。通過算法設(shè)計和數(shù)學(xué)仿真驗證了算法的正確性，其中仿真結(jié)果表明，該算法有效解決地球扁率造成的虛擬目標(biāo)點計算精度不足的問題，在算法層面與傳統(tǒng)的地球扁率修正方法相比具有計算簡單和計算速度快等優(yōu)點,同時保證虛擬目標(biāo)點計算達到精度要求。

虛擬目標(biāo)點； 地球扁率；J2攝動項； 校正方法

遠(yuǎn)程飛行器制導(dǎo)計算時，計算虛擬目標(biāo)點需要補償?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)、再入大氣阻力和地球扁率的影響項，補償后瞄準(zhǔn)的目標(biāo)點稱為虛擬目標(biāo)點。在補償計算地球扁率時，主要的攝動源是地球扁率J2項，所以要保證虛擬瞄準(zhǔn)目標(biāo)點的精度，需要對其扁率J2的補償達到比較高的精度。一般J2項修正方法計算量比較大和繁瑣，考慮工程應(yīng)用的原因，借鑒開普勒二體運動和空間幾何關(guān)系得到修正J2攝動項的方法。本文主要闡述了根據(jù)開普勒二體運動修正地球扁率J2攝動項的計算方法。

1 基于二體運動修正虛擬目標(biāo)點的數(shù)學(xué)建模

為了驗證地球扁率對落點的影響程度及算法的正確性，采用算法驗證地球模型為橢球,地球的引力場為非有心引力場，考慮選用參考文獻[1]中地球扁率動力學(xué)方程組如下:

(1)

其中J2項選用參考文獻[2]的1.08263×10- 3。

2 基于二體運動飛行時間推導(dǎo)J2攝動項飛行時間

首先利用開普勒二體運動計算二體運動時間，再利用開普勒二體運動時間推算出遠(yuǎn)程飛行器J2攝動項飛行時間差量，其中遠(yuǎn)程飛行器J2攝動軌道與二體軌道的示意圖見圖(1)，確定當(dāng)前點至給定地心距r0位置點的二體運動飛行時間t0，并且利用四階龍格庫達法對方程組(1)積分t0時間，獲得對應(yīng)的位置速度值。

考慮到地球橢圓扁率不大，并且飛行器在飛行二體運動時間t0后已經(jīng)比較接近地面，可以將導(dǎo)彈的地心距近似為時間的單變量函數(shù)r(t)，單變量函數(shù)r(t)進行泰勒展開(略去高階項)得

(2)

其中，tJ2=t-t0為考慮J2攝動項后在二體運動時間基礎(chǔ)上的一個修正量。

基于式(2)可得：

(3)

其中，rT為遠(yuǎn)程飛行器著陸點的地心距。

為了確定式(3)中的分母部分，在t0的基礎(chǔ)上加上時間小量h，從t0對應(yīng)的R0,V0積分一個小的時間區(qū)間[0,h]，得到對應(yīng)的位置和速度R1,V1。

利用四階龍格庫達積分法確定的R1,V1,進而推導(dǎo)出：

(4)

將式(4)帶入式(3)得：

(5)

通過上述推導(dǎo),確定了遠(yuǎn)程飛行器J2軌道的飛行時間相對二體運動時間的時間補償量。那么，遠(yuǎn)程飛行器運動到給定地心距rT的飛行時間為：

tT=t0+tJ2

(6)

圖1 遠(yuǎn)程飛行器J2軌道落點時間計算示意圖

3 基于虛擬目標(biāo)點的J2攝動項落點校正方法

(7)

從而完成考慮J2項影響后的落點校正，其中遠(yuǎn)程飛行器J2引起的目標(biāo)校正(虛擬目標(biāo)計算)的示意圖見圖2。

圖2 遠(yuǎn)程飛行器J2引起的目標(biāo)校正的示意圖

本算法的遠(yuǎn)程飛行器J2項引起的目標(biāo)校正巧妙的借助了計算出的J2攝動項飛行時間，再通過確定的飛行時間及精確積分方法達到快速確定實際目標(biāo)的位置信息，其中J2攝動項飛行時間可以利用二體運動飛行時間與2者地心距比例關(guān)系達到求解的目的。

4 算法驗證

為了驗證本算法的可行性，基于某總體參數(shù)進行建模仿真，3組仿真的結(jié)果如下。

1) 算例1

為了進一步驗證算法精度和適應(yīng)性，采用戰(zhàn)術(shù)飛行器的總體參數(shù)指標(biāo)，起飛點選在從中國西北甘肅到新疆的庫爾勒，參數(shù)指標(biāo)如表1所示。

表1 仿真算例1發(fā)射點和目標(biāo)點的地心經(jīng)緯度

按照該算法展開的J2項修正后的飛行精度分析結(jié)果見表2。

表2 實施算例1的J2項修正后的飛行精度分析表

2) 算例2

算例2采用算例1的飛行器總體參數(shù)不變，起飛點改從中國海南地區(qū)到福建沿海地區(qū)，參數(shù)指標(biāo)如表3所示。

按照該算法展開的J2項修正后的飛行精度分

析結(jié)果見表4。

表3 仿真算例2發(fā)射點和目標(biāo)點的地心經(jīng)緯度

表4 實施算例2的J2項修正后的飛行精度分析表

3) 算例3

算例3采用算例1的飛行器總體參數(shù)不變，起飛點改從中國腹地四川到南海地區(qū)，參數(shù)指標(biāo)如表3所示。

按照該算法展開的J2項修正后的飛行精度分析結(jié)果見表6。

表5 仿真算例3發(fā)射點和目標(biāo)點的地心經(jīng)緯度

表6 實施算例3的J2項修正后的飛行的精度分析表

按照算法建模仿真落點對比結(jié)果：算例1的落點偏差在20m以內(nèi)，算例2的落點偏差在10m以內(nèi)，算例3的落點偏差在10m以內(nèi)。而未考慮進行J2項修正的落點偏差在km級，可見本算法在瞄準(zhǔn)精度上效果提高顯著。

5 結(jié)束語

針對遠(yuǎn)程飛行器發(fā)射前路徑規(guī)劃虛擬目標(biāo)點時遇到的地球扁率J2攝動項修正問題，傳統(tǒng)的修正方法需要大量的高等數(shù)學(xué)計算及推導(dǎo)，其計算量大，實時性差，工程應(yīng)用具有一定難度。而本文提出的間接修正補償?shù)姆椒?，計算量小，?shù)值積分采用大步長四階龍格庫達方法，可以滿足精度和實時性要求。

[1] 程國采.飛行器制導(dǎo)方法與最優(yōu)控制[M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，1987.

[2] 賈沛然,陳克俊.遠(yuǎn)程火箭彈道學(xué)[M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，1981.

[3] 黃圳圭.航天器姿態(tài)動力學(xué)[M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，1997.

TheCorrectionAlgorithmofJ2PerturbationsoftheEarthOblatenessBasedonKeplerTwo-BodyMotion

ZHANG Jun1,2
1. Beijing Aerospace Automatic Control Institute，Beijing 100854， China 2. National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Intelligence Control，Beijing 100854， China

AimingatsolvingtheproblemofJ2perturbationoftheEarthoblatenessofvirtuallandingpointofflyingvehicle,anindirectcompensationalgorithmisproposedforestimatingtheJ2perturbationoftheEarthgravitymodelbasedontheKeplertwo-bodymovement.Thetimealgorithmconsistsofthecalculationpartofpredictingtheflyingtimefromthebodymovementtimeandthelandingpointcorrectionpart.Aftermodelingsimulation,itshowsthatthedivergenceofthevirtuallandingpointprecisioniseffectivelyrestrainedafterapplyingthisalgorithm.BycomparingwithtraditionalEarthoblatenesscorrectionmethod,thecalculationcomplexityofthisalgorithmhasbeenmuchsimplifiedandthecalculationspeedisfaster.

Virtuallandingpoint;Earthoblateness;J2perturbation;Correctionmethod

2013- 03- 12

張俊(1979-),男，安徽馬鞍山人，工程師，主要研究方向為導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)。

V448.2

： A

1006- 3242(2014)06- 0022- 04