惠俊軍 張合新 周 鑫 孟 飛 李國梁

1.第二炮兵工程大學，西安710025 2.中國人民解放軍96411部隊，寶雞721013

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基于時滯理論的火箭發(fā)動機燃燒過程有記憶反饋控制

惠俊軍1,2張合新1周 鑫1孟 飛1李國梁1

1.第二炮兵工程大學，西安710025 2.中國人民解放軍96411部隊，寶雞721013

在控制系統(tǒng)中，時滯的存在往往引起系統(tǒng)性能變差，甚至不穩(wěn)定。文中針對線性時滯系統(tǒng)，基于時滯分割方法分析建立了系統(tǒng)穩(wěn)定新條件，在此基礎上，設計了有記憶反饋控制器，該方法通過求解線性矩陣不等式(LMI)的可行解得到控制器的參數(shù)化表達式。該控制器應用于液體火箭發(fā)動機燃燒室燃燒過程的仿真表明，所提方法擴大了系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時滯上界范圍，具有更低的保守性，同時具有更好的控制效果。

火箭發(fā)動機；Lyapunov-Krasovskii (L-K)泛函；時滯分解；狀態(tài)反饋；線性矩陣不等式

時滯現(xiàn)象常存在于導彈的制導、飛行器的控制與航空航天系統(tǒng)當中，它的存在一方面使得系統(tǒng)的分析與控制器的設計變的復雜，另一方面可以導致系統(tǒng)性能惡化甚至不穩(wěn)定。所以對時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜合問題一直是控制理論研究的熱點問題[1]。

在載人航天，空間運輸?shù)膭恿ο到y(tǒng)——液體火箭發(fā)動機的研制當中，經(jīng)常會遇到不穩(wěn)定燃燒問題，其燃燒室內燃燒過程的動態(tài)模型是一不穩(wěn)定時滯系統(tǒng)[2-3]，近年來受到不少學者的關注[4-11]，如何保證燃燒室的穩(wěn)定燃燒，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，學者們提出不同的方法。文獻[4]利用矩陣特征等式降階技術研究了該系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定性問題；文獻[5-6]設計了變結構控制器；文獻[7]利用凸優(yōu)化算法設計了該系統(tǒng)的無記憶反饋控制器；文獻[8-9]采用模型變換結合交叉項界定技術對此問題做了進一步深入研究，得出系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定和鎮(zhèn)定的充分條件。然而由于模型變換存在固有的缺陷,會導致系統(tǒng)的保守性。文獻[10]基于拉格朗日均值定理和Lyapunov穩(wěn)定性定理相結合的分析方法，給出了系統(tǒng)可魯棒鎮(zhèn)定的時滯相關條件，該方法避免了模型變換引起的不足，但應用于燃燒鎮(zhèn)定時所獲得的參數(shù)可鎮(zhèn)定范圍較小。文獻 [11]采用積分不等式方法研究燃燒過程的無記憶魯棒鎮(zhèn)定問題，獲得了較好的穩(wěn)定性能和鎮(zhèn)定性能。然而文獻[11]在構造控制器的過程中，只利用當前狀態(tài)信息x(t)，沒有考慮狀態(tài)x(t-δ)對系統(tǒng)性能的影響，結論相對較為保守。

本文基于時滯分割理論，通過把時滯區(qū)間[-δ,0]進行平均分割，構造適當?shù)腖-K泛函并結合積分不等式方法建立了基于LMI形式的有記憶狀態(tài)反饋控制器。該控制器應用于火箭發(fā)動機的燃燒過程，仿真結果表明，該方法擴大了系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時滯上界范圍，且具有較好的控制效果。

1 問題描述

考慮如下線性時滯系統(tǒng)：

(1)

其中，x(t)∈Rn是狀態(tài)向量，u(t)∈R為控制輸入，φ(t)為連續(xù)的初始向量函數(shù)，A，A1，B為給定的常數(shù)矩陣。

本文的目的是設計有記憶的反饋控制器：

u(t)=K1x(t)+K2x(t-δ)

(2)

使得系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。

證明中用到如下引理：

引理[12]對于任意的定常矩陣X∈Rn×n,X=XT>0，標量h>0，向量函數(shù)x(t):[0,h]→Rn的以下相關積分項有定義，則有

2 穩(wěn)定性判據(jù)及控制器設計

首先考慮當u(t)=0時，系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性問題，即：

(3)

2.1 穩(wěn)定性判據(jù)

定理1 對于給定的常數(shù)δ和正整數(shù)N≥2，若存在正定矩陣P，Q，R，W和

(4)

則系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的，其中

Ξ12=W+S12，Ξ23=S23-S12，

證明：首先基于時滯分割法構造如下形式的L-K泛函：

(5)

其中,

取V(t)沿系統(tǒng)(3)對時間取導數(shù)得:

(6)

由引理可得

(7)

(8)

(9)

其中，

Φ12=W+S12，Φ14=PA1+R+ATMA1，

Φ23=S23-S12，M=δ2R+(δ/N)2W。

2.2 有記憶的反饋控制器的設計

在2.1穩(wěn)定性定理的基礎上，下面給出有記憶反饋控制器的設計。

(10)

則閉環(huán)控制系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的，且控制器的參數(shù)化表示為：

(11)

其中，

3 火箭發(fā)動機燃燒過程仿真

本節(jié)考慮帶有反饋伺服機構的單一燃料液體火箭發(fā)動機，在假定非恒穩(wěn)流動并考慮一致滯后情況下，文獻[2-3,7]給出整個系統(tǒng)的動態(tài)方程為：

(12)

其中,φ(t) 表示燃燒室內的瞬時壓力，μ1(t)表示燃料流過的瞬時質量速度，μ(t)表示整個系統(tǒng)的燃料穩(wěn)態(tài)質量速率，ψ(t)表示燃料管道的瞬時壓力。選u(t)為壓力控制輸入,取γ=1，ξ=0.5，P=1，J=2，Ee=1，令x(t)=[φ(t)μ1(t)μ(t)

ψ(t)]T，則燃燒過程方程可表示為:

(13)

其中：

圖1 燃燒室燃燒過程的自由運動曲線

下面分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性能及控制器的鎮(zhèn)定性能。

1) 自由系統(tǒng)穩(wěn)定性能分析

首先考慮在不加控制時，自由系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。由文獻[11]定理1計算可知，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時滯上界為δmax=0.7061；應用本文定理1，當取時滯分割數(shù)N=2時，計算可得保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時滯上界 為δmax=0.7440；當N=3時，獲得的最大時滯上界δmax=0.7510?？梢姳疚姆椒〝U大了系統(tǒng)穩(wěn)定的時滯上界范圍，具有更低的保守性。

2) 系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性能

在線性反饋控制器的作用下，文獻[10]計算系統(tǒng)可鎮(zhèn)定的時滯上界為δmax=0.898，相應的控制增益為：K=[-89.125 -20.000 -215.161 -125.040]。

文獻[11]得到的最大時滯上界為δmax=0.999995，為了便于比較，這里取相同的時滯參數(shù)δ=0.898，則對應的控制增益為：

K=

[46.1892 -14.0652 107.4290 -87.1953]。

由本文定理2，當時滯分割數(shù)N=5(取調整參數(shù)d1=0.3，d2=0.6)時，求解定理2的線性矩陣不等式(10)，可得系統(tǒng)鎮(zhèn)定的時滯上界為δmax=1.0440，取δ=0.898，則相應的參數(shù)解為：

，

，

控制器增益為：

K1=

[9.3956 -4.3986 5.4489 -4.0673]，

K2=

[-4.6602 -0.3174 0.7965 -0.1295]。

可見本文方法擴大了閉環(huán)系統(tǒng)可鎮(zhèn)定的范圍，具有更低的保守性。另外在相同的比較條件下，本文控制器具有較小的增益。

將上述反饋增益代入燃燒過程仿真得圖2～4所示。

圖2 文獻[10]控制器作用下系統(tǒng)的狀態(tài)響應

圖3 文獻[11]控制器作用下系統(tǒng)的狀態(tài)響應

圖4 本文控制器作用下系統(tǒng)的狀態(tài)響應

從圖2～4可以看出，系統(tǒng)在文獻[10]的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)曲線振蕩幅度較大，收斂較慢；在文獻[11]控制器的作用下,收斂較快，但是狀態(tài)變量x2(t)曲線振蕩仍然較大；在本文有記憶狀態(tài)反饋控制器的作用下,收斂較快、狀態(tài)曲線振蕩較小，具有較好的控制效果。

4 結論

首先基于時滯分割理論研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，在此基礎上設計了有記憶反饋控制器。該控制器應用于液體火箭發(fā)動機的燃燒室的燃燒過程，仿真驗證了所提方法的有效性，同時和已有文獻相比，具有更小的保守性和較好的控制效果。

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The Memory Feedback Controller for Combustion Process in Rocket Motor Based on Theory of Time-Delay

HUI Junjun1,2ZHANG Hexin1ZHOU Xin1MENG Fei1LI Guoliang1

1. Department of Automation, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China 2. No.96411 Unit,People’s Liberation Army of China,Baoji 721013, China

Incontrolsystems,timedelayisalwaysthesourceofinstabilityandpoorperformance.Regardingthelineartime-delaysystem,anewstabilityconditionisformulated,whichisbasedondelay-decompositionapproach.Basedonthiscondition,amemorystatefeedbackcontrollerisdesignedandtheparameterexpressionofcontrollerisobtainedbysolvingthefeasiblesolutionproblemoflinearmatrixinequality(LMI).Then,thiscontrollerisappliedtothecombustionprocessinliquidpropellantrocketmotorchambers.Thesimulationresultsshowthattheproposedmethodenlargestheupperboundofthetime-delayandhasgoodperformance.

Rocketmotors; Lyapunov-Krasovskii (L-K)functional;Delay-decomposition;Statefeedback；Linearmatrixinequality(LMI)

2013-07-23

惠俊軍(1977-)，男，西安人，博士，主要研究方向為時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性與控制；張合新(1965-)，男，河北易縣人，教授，博士生導師，主要研究方向為導航、制導與控制；周 鑫(1979-)，男，湖南益陽人，講師，主要研究方向為網(wǎng)絡控制系統(tǒng)；孟 飛(1976-)，男，安徽亳州人，講師，主要研究方向為導航、制導與控制；李國梁(1981-)，男，呼和浩特人，博士，主要研究方向為網(wǎng)絡控制系統(tǒng)。

1006-3242(2014)04-0031-06

TP13

A