王燕飛，楊沐華

(1.吉林化工學(xué)院理學(xué)院，吉林吉林132022;2.吉林石化公司乙二醇廠，吉林吉林132022)

由式(1)及(3)，行動(dòng)a2的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)為

關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)只研究了正態(tài)總體的情況.這種局限性主要是由于其需要構(gòu)造樞軸量及涉及的抽樣分布的復(fù)雜性.因此，對(duì)于總體分布為非正態(tài)分布時(shí)，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)就無(wú)能為力了.而貝葉斯統(tǒng)計(jì)恰好彌補(bǔ)了這個(gè)缺憾.在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，只要給出先驗(yàn)分布和總體分布形式，后驗(yàn)分布總是容易求得的.基于后驗(yàn)分布的貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題就相對(duì)應(yīng)用較廣.對(duì)于這一類(lèi)問(wèn)題，已經(jīng)有些研究者得出了一些研究成果.文獻(xiàn)［1］對(duì)比了貝葉斯統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的方法.文獻(xiàn)［2］推出了新的二項(xiàng)分布的貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)方法.文獻(xiàn)［3］研究了總體為幾何分布，負(fù)二項(xiàng)分布，威布爾分布和瑞利分布的未知參數(shù)的貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.文獻(xiàn)［4］研究了三類(lèi)非正態(tài)總體指數(shù)分布、二項(xiàng)分布和泊松分布的未知參數(shù)的貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)，給出了相應(yīng)的否定域.

無(wú)論貝葉斯決策論，還是經(jīng)典決策論都認(rèn)為，狀態(tài)集Θ ={θ}，行動(dòng)集A={a}和損失函數(shù)L(θ，a)是描述決策問(wèn)題的3個(gè)基本要素.但兩種決策論主要有2點(diǎn)不同:1.經(jīng)典決策問(wèn)題只利用抽樣信息，而貝葉斯決策問(wèn)題除了利用抽樣信息以外，還用先驗(yàn)信息;2.在做決策時(shí)兩種決策論所定義的期望損失不同.經(jīng)典決策論中定義的是風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，即損失函數(shù)對(duì)樣本分布的期望值.而貝葉斯決策論中，分別利用先驗(yàn)分布和后驗(yàn)分布計(jì)算期望損失，即先驗(yàn)期望損失和后驗(yàn)期望損失(后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)).貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上也是一類(lèi)決策問(wèn)題.

在貝葉斯決策問(wèn)題中，如果先驗(yàn)分布，總體分布形同，但損失函數(shù)不同，那么所得到的決策問(wèn)題仍不同.在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)遇到總體服從均勻分布的情況.而帕累托分布可用來(lái)描述諸如個(gè)人收入、某種藥理過(guò)程后病人的存活時(shí)間等，被廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、保險(xiǎn)損失、網(wǎng)絡(luò)流建模、可靠性研究等領(lǐng)域，非常具有研究?jī)r(jià)值.本文研究了在總體分布為均勻分布，先驗(yàn)分布為帕累托分布的(Pa-U)模型下，對(duì)二行動(dòng)線性決策問(wèn)題作出貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)的分析.這對(duì)于經(jīng)營(yíng)管理者作出較為合理的決策提供了統(tǒng)計(jì)依據(jù).

1(Pa-U)模型

后驗(yàn)分布綜合了先驗(yàn)信息，總體信息，樣本信息3種信息，貝葉斯的統(tǒng)計(jì)推斷和統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題都是基于后驗(yàn)分布進(jìn)行分析的.

2 (Pa-U)模型的二行動(dòng)線性決策的貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)

2.1 二行動(dòng)線性決策的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)有H0:θ＞θ0，H1:θ≤θ0兩個(gè)假設(shè)，兩個(gè)行動(dòng)a1，a2:a1表示接受H0的行動(dòng)，a2表示接受H1的行動(dòng).即決策者認(rèn)為，如果θ＞θ0，行動(dòng)a1適宜;如果θ≤θ0，則行動(dòng)a2最好.狀態(tài)θ可以是離散或連續(xù)的;收益函數(shù)對(duì)每個(gè)行動(dòng)都是狀態(tài)參數(shù)的線性函數(shù).即收益函數(shù)

不妨設(shè)m1＞m2，b1＜b2，保證θ0＞0.若m1＜m2，將a1與a2互換即可.

根據(jù)公式，有:行動(dòng)ai的損失函數(shù)為L(zhǎng)(θ，ai)=maax Q(θ，a)-Q(θ，ai)，得:

2.2 (Pa-U)模型的假設(shè)檢驗(yàn)

即后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)表示把損失函數(shù)L(θ，a)對(duì)后驗(yàn)分布π(θ|x)求期望，是用后驗(yàn)分布求得的平均損失［5］.它在樣本x給定下，不同的行動(dòng)a有不同的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn).而在行動(dòng)a固定下，樣本x的變化也會(huì)使后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)隨之變化.對(duì)于決策者來(lái)說(shuō)，我們希望找到最有行動(dòng)，使得后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小.

由式(1)及(2)，行動(dòng)a1的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)為

由式(1)及(3)，行動(dòng)a2的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)為

當(dāng)θ0≤ c時(shí)，

同理，行動(dòng) a1的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)為 R(a1|x)=Eθ|xL(θ，a1)=0，

行動(dòng)a2的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)為

由于R(a1|x)＜R(a2|x)，故應(yīng)當(dāng)接受H0，認(rèn)為θ＞θ0，行動(dòng)a1更好.

對(duì)于決策者來(lái)說(shuō)，如果認(rèn)定總體X服從均勻分布，通過(guò)先驗(yàn)信息確定未知參數(shù)θ為帕累托分布，那么只要知道收益函數(shù)的平衡點(diǎn)θ0與c=max{α，x(n)}及n，β的值，就能得到相應(yīng)的檢驗(yàn)結(jié)果，從而采取相應(yīng)的行動(dòng).而后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)可以作為做決策的量化分析，通過(guò)其大小來(lái)衡量是否值得作出該決策，或者說(shuō)，如果兩個(gè)行動(dòng)的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)相差不多時(shí)，考慮更加節(jié)約成本，獲利更大的決策更佳.

3 實(shí) 例

某美術(shù)廠與外單位商談一批美術(shù)品繪制任務(wù).若繪制成功，每張美術(shù)作品可得800元;若繪制不成，每張要賠償損失1 600元.為了決定是否接受該訂單，廠長(zhǎng)希望企劃部門(mén)作出有理有據(jù)的決策，故進(jìn)行如下調(diào)查.假設(shè)廢品率X～U(0，θ).而根據(jù)該廠的技術(shù)力量估計(jì)θ～Pa(α，β).α=0.2，β=1.抽取過(guò)去10 年作品得到廢品率分別為x1=0.1，x2=0.1，x3=0.05，x4=0.25，x5=0.04，x6=0.15，x7=0.13，x8=0.03，x9=0.04，x10=0.06.故 n=10，c=max{α，x10}=max{0.2，0.25}=0.25.設(shè) H0:θ＞ θ0，H1:θ≤θ0.a1:接受H0，則不接單，a2:接受H1，則接單.每張美術(shù)作品收益函數(shù)為

［1］張靜.貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)有經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)的對(duì)比研究［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2012(9):36-37.

［2］賈旭山，金振中.二項(xiàng)分布貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)方法［J］.現(xiàn)代防御技術(shù)，2008，36(5):37-40.

［3］姜培華，范國(guó)良.幾種非正態(tài)總體參數(shù)的貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題［J］.南通大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，12(1):82-86.

［4］楊興瓊，張德然，周偉萍.一類(lèi)非正態(tài)總體未知參數(shù)的Bayes假設(shè)檢驗(yàn)［J］.綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，26(8):14-16.

［5］茆詩(shī)松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)［M］.北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999.