徐娜娜，姚 潔，管志文，朱家明

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽蚌埠233030)

車(chē)道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響

徐娜娜1，姚 潔1，管志文2，朱家明1

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽蚌埠233030)

針對(duì)車(chē)道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響,通過(guò)視頻信息收集分析得到與道路通行能力相關(guān)的數(shù)據(jù),使用Excel對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,建立了道路通行能力模型,并分析了事故發(fā)生對(duì)道路的實(shí)際通行能力的影響,再推導(dǎo)出排隊(duì)長(zhǎng)度預(yù)測(cè)模型,使用控制變量法、微分法等方法得到交通事故所影響的路段車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、與路段上游車(chē)流量的關(guān)系,最后將模型結(jié)果與實(shí)際相結(jié)合,得到具體問(wèn)題所求數(shù)據(jù).

車(chē)道占用；道路通行能力；控制變量法；微分法；排隊(duì)長(zhǎng)度預(yù)測(cè)；Excel

車(chē)道被占用是指因交通事故等因素,導(dǎo)致車(chē)道或道路橫斷面通行能力在單位時(shí)間內(nèi)降低的現(xiàn)象.由于城市道路具有交通流密度大、連續(xù)性強(qiáng)等特點(diǎn),一條車(chē)道被占用,也可能降低路段所有車(chē)道的通行能力,即使時(shí)間短,也可能引起車(chē)輛排隊(duì),出現(xiàn)交通阻塞,若處理不當(dāng)將出現(xiàn)區(qū)域性擁堵.車(chē)道被占用的情況種類(lèi)繁多、復(fù)雜,正確估算車(chē)道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響程度,可為交通管理部門(mén)正確引導(dǎo)車(chē)輛行駛、審批占道施工、設(shè)計(jì)道路渠化方案、設(shè)置路邊停車(chē)位和設(shè)置非港灣式公交車(chē)站等提供理論依據(jù).

1 數(shù)據(jù)的獲取及假設(shè)

數(shù)據(jù)來(lái)源于2013年數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽A[1].為便于解決問(wèn)題,提出如下假設(shè):⑴只考慮四輪及以上機(jī)動(dòng)車(chē)、電瓶車(chē)的交通流量；⑵視頻1和視頻2中的兩個(gè)交通事故處于同一路段的同一橫斷面,且完全占用兩條車(chē)道；⑶假設(shè)除了交通事故對(duì)道路通行能力的影響外其他因素的影響忽略不計(jì)；⑷假設(shè)事故影響的車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度只與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車(chē)流量有關(guān)；⑸假設(shè)正常通車(chē)時(shí)同一段道路相同時(shí)間段的車(chē)流量相同.

2 道路通行能力變化過(guò)程

2.1 車(chē)道寬度的修正

修正系數(shù)：指在數(shù)據(jù)計(jì)算、公式表達(dá)等由于理想和現(xiàn)實(shí)、現(xiàn)實(shí)和調(diào)查等產(chǎn)生偏差時(shí),為了使其盡可能地體現(xiàn)真實(shí)性能對(duì)計(jì)算公式進(jìn)行處理而加的系數(shù).車(chē)道寬度修正系數(shù)fW:

表1 車(chē)道寬度修正系數(shù)

道路通行能力是指單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路上指定斷面的最大車(chē)輛數(shù),用單位時(shí)間車(chē)流量表示基本通行能力，指在理想的道路和交通條件下,當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度和技術(shù)指標(biāo)的車(chē)輛,以前后兩車(chē)最小車(chē)頭間隔連續(xù)行駛時(shí),單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路上指定斷面的最大車(chē)輛數(shù),記作N(pcu/h).記車(chē)速為v(km/h),前后兩車(chē)最小車(chē)頭間距為d(m),顯然

交通工程中常用如下公式計(jì)算最小車(chē)頭間隔d

其中d1是剎車(chē)時(shí)司機(jī)在反應(yīng)時(shí)間t0內(nèi)汽車(chē)行駛的距離，d2是剎車(chē)時(shí)從制動(dòng)器開(kāi)始起作用到汽車(chē)完全停止行駛的距離，c是與車(chē)輛自重、路面阻力、濕度、坡度等諸多因素有關(guān)的系數(shù)，d3是兩車(chē)之間的安全距離，d4是車(chē)輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度.

可作如下假設(shè):剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)做的功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變,且F與車(chē)的質(zhì)量m成正比.在制動(dòng)力tj=tq+tx作用下汽車(chē)行駛距離d2做的功為Fd2,而車(chē)速?gòu)膙變成0,動(dòng)能的變化為mv2/2,根據(jù)假設(shè)有

又因?yàn)閯x車(chē)時(shí)的加速度a為常數(shù),由牛頓第二定律知F=ma,代入(4)即得

所以

將(6)代入(2)并注意到v和d、t0的單位換算,可得

按(7)式計(jì)算不同的基本通行量，根據(jù)基本通行量和道路修正系數(shù)可計(jì)算道路的實(shí)際通行量NS:

其中n為單向車(chē)道數(shù),fW為車(chē)道寬度修正系數(shù),fP為駕駛員條件修正系數(shù),fHW為大型車(chē)修正系數(shù).

2.2 模型求解

通過(guò)觀察視頻測(cè)得不同車(chē)輛通過(guò)視頻標(biāo)記的120 m道路的時(shí)間,可以得到各不同時(shí)間段車(chē)輛的行駛速度v,如表2所示.

參考交通工程的專(zhuān)業(yè)教材[3],在一般情況下可取司機(jī)剎車(chē)的反應(yīng)時(shí)間t0=1s,系數(shù)c=0.01,安全距離d3=2 m,小型車(chē)輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度d4=5m,根據(jù)(7)式計(jì)算得到道路基本通行量.事故發(fā)生前單向車(chē)道數(shù)為3,發(fā)生后的單向車(chē)道數(shù)為1,由于此道路寬度為3.25 m,由表1車(chē)道寬度修正系數(shù)表,得到fW為0.94,假設(shè)駕駛員條件相同其修正系數(shù)都為1即fP=1,由于只統(tǒng)計(jì)小型車(chē)的車(chē)速,因此可考慮大型車(chē)混行修正系數(shù)fWH為1,最后根據(jù)(8)式即可得到不同時(shí)間段道路的實(shí)際通行能力（表2）.

表2 不同時(shí)間段道路實(shí)際通行能力

為了更直觀地反映實(shí)際通行能力變化趨勢(shì),作出如圖1的實(shí)際通行能力變化圖.

圖1 實(shí)際通行能力變化圖

由表2及圖1可以看出,事故發(fā)生后道路的實(shí)際通行能力明顯下降,在交通事故發(fā)生至撤離約20 min的時(shí)間里,事故所處橫斷面實(shí)際通行能力一直處于很低的狀態(tài),約為正常通行狀態(tài)的1/3左右,直到事故發(fā)生后約20 min,道路疏通后,該處的實(shí)際通行能力才漸漸恢復(fù)到發(fā)生前的水平.由于道路的通行能力與車(chē)速以及可通行車(chē)道數(shù)量成正比,事故發(fā)生后,將阻塞道路使可通行的車(chē)道數(shù)量減少,且通過(guò)該處的車(chē)輛將會(huì)減速,可見(jiàn),交通事故的發(fā)生對(duì)道路的實(shí)際通行能力有很大的影響.

3 占用車(chē)道不同對(duì)實(shí)際通行能力影響

3.1 模型準(zhǔn)備

一條直行車(chē)道的通行能力為

其中T為信號(hào)燈周期60 s.

混合行駛車(chē)道有3種組合方式,即直左車(chē)道、直右車(chē)道和左直右車(chē)道,其通行能力分別用CSL、CSR、CLSR表示,計(jì)算公式為:

其中KL為左轉(zhuǎn)車(chē)影響系數(shù),PL為左轉(zhuǎn)車(chē)占進(jìn)口交通量比例.

3.2 模型建立與求解

通過(guò)觀察視頻2,測(cè)算車(chē)輛通過(guò)與視頻1所標(biāo)記的那段相同的120 m道路的時(shí)間,得到視頻2中各不同時(shí)間段車(chē)輛的行駛速度v,同樣根據(jù)問(wèn)題1中的(7)(8)式得到視頻2中不同時(shí)間段道路的實(shí)際通行能力,為分析同一橫斷面交通事故所占車(chē)道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力影響的差異,只測(cè)算事故發(fā)生后不同時(shí)間的道路實(shí)際交通能力,與視頻1的比較如表3所示.

表3 事故持續(xù)時(shí)間和對(duì)應(yīng)實(shí)際通行能力

根據(jù)表3得到視頻1與視頻2中交通事故發(fā)生后道路實(shí)際通行能力隨時(shí)間的變化見(jiàn)圖2、圖3.

通過(guò)對(duì)表3、圖2和圖3進(jìn)行對(duì)比、觀察,可以看到交通事故發(fā)生至撤離期間內(nèi),同一橫斷面交通事故占據(jù)不同的車(chē)道對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力的影響是不同的.視頻1當(dāng)中事故占據(jù)了直行車(chē)道和直左車(chē)道,只有直右車(chē)道可以通行,視頻2當(dāng)中事故占據(jù)了直行車(chē)道和直右車(chē)道,只剩下直左車(chē)道可以通行.由表3可以看出,視頻1中事故發(fā)生后車(chē)輛的平均速度約為19 km/h,平均實(shí)際通行能力約為1 068 pcu/h,視頻2的事故后平均車(chē)速約為30 km/h,平均實(shí)際通行能力約為1 143 km/h.

從圖2和圖3對(duì)事故后實(shí)際通行能力的變化情況,能夠看到視頻1事故后的通行能力隨事故持續(xù)時(shí)間的增加,通行能力下降,變化范圍較大,視頻2事故后的通行能力隨事故持續(xù)時(shí)間增加,通行能力也在下降,但趨勢(shì)沒(méi)有視頻1明顯,且通行能力下降較少基本還在1 100pcu/h以上.

綜合上面的分析可以得到,當(dāng)發(fā)生事故占道行為時(shí),在同一橫斷面內(nèi)當(dāng)事故占據(jù)左邊車(chē)道,只有直右車(chē)道可通行時(shí),對(duì)該橫斷面的實(shí)際通行能力的影響要比事故占據(jù)右邊車(chē)道,只有直左車(chē)道可通行的影響要大.

圖2 視頻1事故后實(shí)際通行能力

圖3 視頻2事故后實(shí)際通行能力變化

3.3 結(jié)果分析

根據(jù)原題附件3顯示的車(chē)輛左轉(zhuǎn)、直行和右轉(zhuǎn)的流量比例分別為21%、44%和35%,由于兩個(gè)視頻中的交通事故都占據(jù)了直行車(chē)道,因此不考慮直行流量比例的影響.可以看到左轉(zhuǎn)流量比例要比右轉(zhuǎn)流量比例大14%,而通常情況下有意向左轉(zhuǎn)(右轉(zhuǎn))的車(chē)輛都會(huì)行駛在直左(直右)車(chē)道,因此直左車(chē)道的通行能力大于直右車(chē)道通行能力.

4 排隊(duì)長(zhǎng)度與實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車(chē)流量的關(guān)系

4.1 模型準(zhǔn)備

交通波原理:車(chē)流在運(yùn)行過(guò)程中,遇到交通事故時(shí),如果車(chē)流量很大,會(huì)造成道路阻塞,產(chǎn)生與車(chē)流運(yùn)行方向相反的停車(chē)波,形成排隊(duì)現(xiàn)象,當(dāng)因阻塞減速停下的車(chē)又啟動(dòng)時(shí),又會(huì)產(chǎn)生與車(chē)流運(yùn)行方向相反的啟動(dòng)波,排隊(duì)的車(chē)輛慢慢消散,排隊(duì)消散完畢后,車(chē)流就會(huì)恢復(fù)順暢的交通狀態(tài),整個(gè)時(shí)間就是事故持續(xù)時(shí)間.

4.2 模型建立與求解

由參考資料知,格林伯速度-密度模型為[4-5]:

式中vf為暢行車(chē)速,kj為阻塞密度.

令 ηi=ki/kj,定義ηi為標(biāo)準(zhǔn)化密度,有:v1=vf(1-η1),v2=vf(1-η2).

對(duì)于停車(chē)波,令k2=kj,v2=0,結(jié)合波速公式得:

其中k1為為停車(chē)密度.

對(duì)于啟動(dòng)波,令k1=kj,v1=0,結(jié)合波速公式得:

其中k2為啟動(dòng)密度.

易知,啟動(dòng)波與停車(chē)波相遇的位置就是排隊(duì)消散完畢的位置,設(shè)啟動(dòng)波產(chǎn)生的時(shí)刻起到排隊(duì)消散完畢時(shí)刻止的消散時(shí)間為tx,停車(chē)波產(chǎn)生到啟動(dòng)波產(chǎn)生的這段時(shí)間為tq,事故持續(xù)時(shí)間為tj,有:

啟動(dòng)波與停車(chē)波相遇的位置與停車(chē)波產(chǎn)生位置之間的距離就是排隊(duì)長(zhǎng)度延伸的最長(zhǎng)距離,記為L(zhǎng)則有:

下游路段通行能力和上游路段車(chē)流量分別為：

⑴首先固定事故橫截面通行力、事故持續(xù)時(shí)間,僅分析排隊(duì)長(zhǎng)度與上游路段車(chē)流量的關(guān)系.

保證排隊(duì)長(zhǎng)度有意義,必須滿足約束條件ln(Q/k1f(N))＞0,即Q＞k1f(N).記排隊(duì)長(zhǎng)度與上游路段車(chē)流量的關(guān)系滿足

⑵再固定上游路段車(chē)流量、事故持續(xù)時(shí)間,僅分析排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫截面通行力的關(guān)系.

記排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫截面通行力的關(guān)系滿足

⑶最后固定事故橫截面通行力、上游路段車(chē)流量,分析排隊(duì)長(zhǎng)度與事故持續(xù)時(shí)間的關(guān)系.

記排隊(duì)長(zhǎng)度與事故持續(xù)時(shí)間的關(guān)系滿足

j時(shí)間成正比關(guān)系,即排隊(duì)長(zhǎng)度隨著事故時(shí)間的推移延長(zhǎng)不斷增加.

5 排隊(duì)時(shí)間

5.1 模型準(zhǔn)備

參照交通工程的專(zhuān)業(yè)教材得知,小型車(chē)輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為5 m,而大型車(chē)輛與小型車(chē)輛的折算標(biāo)準(zhǔn)比為2 pcu,即大型車(chē)輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為10 m,大型車(chē)與小型車(chē)的比例可以忽略不計(jì),在此取車(chē)身的平均長(zhǎng)度為5 m,由于是求極限時(shí)間,所以在此將車(chē)間距簡(jiǎn)化為0.由于此道路為3車(chē)道,交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40 m,因此堵車(chē)的車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度可以作為140×3=420 m,假設(shè)車(chē)輛進(jìn)入橫斷面而不駛出,即連續(xù)排420 m的距離,此時(shí)需要420/5=84 pcu,根據(jù)路段上游車(chē)流量為1 500 pcu/h,需要的最少時(shí)間為84/1500=0.056 h,或3.36 min，即從事故發(fā)生到車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度到達(dá)上游路口的排隊(duì)時(shí)間應(yīng)大于等于3.36 min.

5.2 模型的建立與求解

根據(jù)對(duì)上游路段車(chē)流量的求解公式Q=kj(v-v2/vf)，得到阻塞密度kj與車(chē)流量，車(chē)速和暢行車(chē)速vf之間的關(guān)系式如下:

根據(jù)Greenshields通過(guò)對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,提出車(chē)速與密度之間的線性模型

得到

由于求排隊(duì)時(shí)間問(wèn)題的題設(shè)是事故持續(xù)不撤離,即不存在啟動(dòng)波使車(chē)輛排隊(duì)消散,因此事故的排隊(duì)長(zhǎng)度就是停車(chē)波波速vA與事故持續(xù)時(shí)間t的乘積:L=|vA|t,得

根據(jù)視頻信息統(tǒng)計(jì)事故發(fā)生后平均車(chē)速v為20 km/h，vf為50 km/h，題設(shè)車(chē)流量Q為1 500 pcu/h代入公式(20)得阻塞密度kj為125 pcu/km，通過(guò)公式(22)得停車(chē)密度k1為75 pcu/km,啟動(dòng)密度k2為65 pcu/km,取t0=0.05 s，代入公式(23)解得t=0.13×60=7.8 min.

6 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)綜合使用控制變量法、微分法等方法,給出了較為完善的道路實(shí)際通行能力模型和排隊(duì)長(zhǎng)度預(yù)測(cè)模型,為測(cè)量道路通行能力和判斷是否出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象提供理論依據(jù),通過(guò)極值思想對(duì)排隊(duì)時(shí)間問(wèn)題結(jié)果進(jìn)行了分析.同時(shí)本文的模型對(duì)于道路阻塞問(wèn)題、排隊(duì)等待問(wèn)題均具有普遍適用性.

[1]中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì).2013年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題[DB/OL].(2013-09-13)[2013-09-15].http://www.mcm.edu. cn/problem/2013/2013.html.

[2]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].第四版.北京:高等教育出版社, 2011.

[3]徐吉謙.交通工程學(xué)[M].北京:人民交通出版社,2008.

[4]臧華,彭國(guó)雄.高速道路異常狀況下車(chē)輛排隊(duì)長(zhǎng)度的預(yù)測(cè)模型[J].交通與計(jì)算機(jī),2003(3):10-11.

[5]紀(jì)英,高超.道路堵塞時(shí)排隊(duì)長(zhǎng)度和排隊(duì)持續(xù)時(shí)間計(jì)算方法[J].交通信息與安全,2009(S1):41-42.

[6]楊桂元,朱家明.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文評(píng)析[M].合肥:中國(guó)科技大學(xué)出版社,2013.

【編校：許潔】

Analysis on the Influence of Lane Occupation on Traffic Capacity

XU Nana1,YAO Jie1,GUAN Zhiwen2,ZHU Jiaming1
(1.Institute of Statistics and Applied Mathematics,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu,Anhui 233030,China;2.School of Economics and Finance,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu,Anhui 233030,China)

The traffic capacity model was built according to the influence of lane occupation and based on the analysis of the relevant data.The vehicle queue length model was deduced through evaluating the effects of accidents on actual traffic capacity. Then by using the control variables and differential method,the relationship among vehicle queue length,traffic capacity,traffic accident time and traffic flow was obtained.Finally,combining the theory of model with practice,the result of specific issues were gained.

lane occupation;traffic capacity;the control variables method;differential method;the vehicle queue length model; Excel

U491.31

A

1671-5365(2014)06-0071-04

2013-11-09修回：2013-12-11

國(guó)家自然科學(xué)項(xiàng)目(61305070)；大學(xué)生創(chuàng)業(yè)創(chuàng)新項(xiàng)目(201310378056)

徐娜娜(1993-)，女，本科生，研究方向?yàn)樾畔⑴c計(jì)算科學(xué)

朱家明(19730-)，男，副教授，碩士，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模

時(shí)間：2013-12-30 11:57

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20131230.1157.003.html