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(金陵高級(jí)中學(xué) 浙江長(zhǎng)興 313100)

●蔡小雄

(杭州第十一中學(xué) 浙江杭州 310014)

圓錐曲線中的切線問(wèn)題是近幾年競(jìng)賽、高校自主招生考試的考查熱點(diǎn)之一，但教材中關(guān)于切線問(wèn)題涉及較少.以下基于有心二次曲線的統(tǒng)一特征，對(duì)有關(guān)切線問(wèn)題進(jìn)行探討，以饗讀者.

1 有心二次曲線的統(tǒng)一特征

(1)定義相似:圓和橢圓、雙曲線的定義都可以圍繞動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離展開.

(3)圖像的對(duì)稱性相似:圓和橢圓、雙曲線的圖像均為中心對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形.

2 有心二次曲線切線問(wèn)題的2個(gè)引理

證明設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0)，切線斜率為kl，因?yàn)閗l和kOP存在，則x0≠0且y0≠0.

當(dāng)y>0時(shí),曲線為

當(dāng)y<0時(shí)，曲線為

同理可得

結(jié)論成立.

這一結(jié)論可用點(diǎn)差法直接證明，此處略.

3 有心二次曲線的切線性質(zhì)及切點(diǎn)關(guān)系的推廣

基于上述有心二次曲線的統(tǒng)一特征及引理，不難得出如下結(jié)論：

這里給出統(tǒng)一證明，下面就不分類表述了.

證明當(dāng)曲線的切線斜率kl和直線OP的斜率kOP存在時(shí),由引理1可得

即

從而切線方程為

即

證明設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),由性質(zhì)1得切線PA,PB的方程分別為

顯然點(diǎn)P(x0,y0)為PA,PB的交點(diǎn)，從而

推論切線和鄰邊所成的角等于三角形其余2條邊所夾的角.

圖1

y-y0=k(x-x0)，

則直線AC的方程為

y-y0=-k(x-x0).

(n+mk2)x2+2km(y0-kx0)x+

同理可得

因此

從而kBC+kl=0.由kBC+kl=0及kAB+kAC=0可直接得出推論.

4 有心二次曲線上阿基米德三角形的推廣

由拋物線的弦和過(guò)弦的端點(diǎn)的2條切線所圍成的三角形常被稱作為阿基米德三角形.筆者將該三角形遷移到有心二次曲線上，不妨統(tǒng)稱為“阿基米德三角形”.于是有以下結(jié)論：

圖2

若曲線為橢圓或雙曲線，且直線AB過(guò)焦點(diǎn)F，則點(diǎn)F的軌跡為該曲線的相應(yīng)準(zhǔn)線.

若曲線為橢圓或雙曲線，且點(diǎn)P在該曲線的一條準(zhǔn)線上，則直線AB過(guò)該曲線相應(yīng)的焦點(diǎn)F.

化簡(jiǎn)整理得 (qnx-pmy)x0+my-mnq=0.

圖3 圖4

又因?yàn)椤螾FA和∠PFB均為銳角，所以∠PFA=∠PFB.

牛頓說(shuō)：“每一個(gè)目標(biāo)，我都要它停留在我的眼前，從第一道曙光初現(xiàn)開始，一直保留，慢慢展開，直到整個(gè)大地光明為止.”筆者在有心二次曲線統(tǒng)一特征的基礎(chǔ)上，通過(guò)探究，得到了一系列美妙的切線性質(zhì)，但這絕不是全部.我們有理由相信，隨著研究的深入會(huì)有更多、更美妙的規(guī)律與性質(zhì)展現(xiàn)在我們面前，期待我們的“磚”能引來(lái)更多的“玉”，期待數(shù)學(xué)探究的魅力能給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)更多的樂趣！