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        一道聯(lián)賽試題的多視角求解

        2014-08-09 03:35:10
        中學教研(數(shù)學) 2014年4期
        關鍵詞:根號換元評析

        (黃陂區(qū)第一中學盤龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

        競賽試題通常凝聚著命題專家的智慧,解題視角廣、途徑多,富含著數(shù)學的精神、思想和方法.對于一個數(shù)學問題,若能根據(jù)已知與要求之間的關系,發(fā)散思維,善于聯(lián)系,多角度深入的思考,可以得到多種不同的解法,從而訓練思維的靈活性,優(yōu)化思維品質.

        本題是2013年湖北省高中數(shù)學聯(lián)賽高一試題的第11題.求函數(shù)值域大家再熟悉不過,然而當你動筆去做時,你會發(fā)現(xiàn),此題看似平淡,其實意蘊不凡.下面給出筆者的一些思考.

        視角1單調(diào)性解 彰顯通法

        從而

        ①若x∈[1,+∞),則當x=1時y=1;當x→+∞時,y→+∞,故y≥1.

        ②若x∈(-∞,-1],則當x=-1時,y=1;當x→-∞時,

        評析單調(diào)性是函數(shù)性質的靈魂,借助單調(diào)性求函數(shù)的值域是中學階段最為重要的方法之一.有些函數(shù)的單調(diào)性可直接分析函數(shù)的結構特征,而有些則需要借助導數(shù)求解.解法1的關鍵是當x≤-1時對式子進行恰當變形,將變量集中在一個式子中,目的是分析出函數(shù)的單調(diào)性;解法2利用導數(shù)判斷單調(diào)性是通法,充分體現(xiàn)了導數(shù)的應用價值.

        視角2合理換元 意在簡化

        由0≤sinθ≤1,知y≥1.

        0≤sinθ<1,1≤1+sinθ<2,

        將式(2)平方得

        將式(1)代入式(3)得

        即 4yt-y+2t=0.

        (4)

        從而

        于是

        評析解法3聯(lián)想三角函數(shù)中的平方關系,借助三角換元,順利將根號去掉,最后利用三角函數(shù)的有界性來解題.解法4采用均值換元,先通過平方去掉根號,再借助關于t的一元二次的方程有符合條件的根求解.換元法是數(shù)學解題中的基本方法,表達式中的根號無疑是解題中的最大障礙,以上2種解法的初衷都是去掉根號.

        視角3以形助數(shù) 貴在直觀

        圖1

        n2=m(m-1),

        其中m≥0,即

        評析“數(shù)形結合”的思想是高中階段重要的數(shù)學思想,不少代數(shù)問題都有其幾何背景.挖掘這些幾何特征,“以形助數(shù)”能讓問題的解決更直觀簡捷,也體現(xiàn)了命題人“多一點想,少一點算”的指導思想.

        視角4巧妙反解 避重就輕

        平方得

        y2-2yx2=-x2,

        (1-2y)x2=y2.

        評析數(shù)學也是一個充滿思辨性的學科,“主與次”、“動與靜”在很多時候是可以相互轉化的,解法6正好體現(xiàn)了這一思想的運用,值得體會.

        視角5不等式法 自然天成

        解法7若x∈[1,+∞],略.若x∈(-∞,-1],顯然y≤1,又因為

        評析本題的難點在于當x≤-1時的求解,在放縮過程中,雖然等號取不到,但可無限接近.原本不等式的運用難在配湊,而此題無需配湊,自然天成,命題人可謂用心良苦,讓人拍案叫絕!

        解題是數(shù)學的永恒主題,數(shù)學的解題歷程是一項富有挑戰(zhàn)性的活動,每一次的解題思維過程都會給我們留下深刻的解題體驗和感悟.《新課標》明確提出了使學生獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗的目標要求.以上提供的7種解法,涉及函數(shù)、導數(shù)、三角、不等式等諸多知識,用到了換元、構造、反解等重要方法,滲透了分類討論、數(shù)形結合、等價轉化、函數(shù)與方程等核心思想.

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