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(彭陽(yáng)縣第三中學(xué) 寧夏彭陽(yáng) 756500)

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家?jiàn)W加涅相說(shuō)過(guò)：“必須重視很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題凝聚了專家、學(xué)者的集體智慧和結(jié)晶，研究這些習(xí)題，充分挖掘其內(nèi)在功能的教育教學(xué)價(jià)值是一線教師責(zé)無(wú)旁貸的任務(wù).通過(guò)研究習(xí)題可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)興趣，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

1 試題的呈現(xiàn)及解答

題目正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P,Q分別為AB,DA上的點(diǎn)，當(dāng)△APQ的周長(zhǎng)為2時(shí)，求∠PCQ的大小.

(人教A版數(shù)學(xué)必修4第147頁(yè)習(xí)題)

圖1

解法1(綜合幾何法)如圖1，將正方形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使邊CB與CD重合，則點(diǎn)P與點(diǎn)G重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)H重合，于是CP=CG，BP=DG，∠PCG=90°.又△APQ的周長(zhǎng)為2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，于是PQ=BP+QD=QG,從而△CPQ≌△CGQ，因此

圖2 圖3

解法2(三角法)如圖2，設(shè)BP,DQ的長(zhǎng)分別為a，b,∠BCP=α,∠DCQ=β.由已知得AP,AQ的長(zhǎng)分別為1-a，1-b，PQ的長(zhǎng)為a+b.由勾股定理得

(a+b)2=(1-a)2+(1-b)2，

即

a+b=1-ab,

又tanα=a,tanβ=b，于是

由0°<α+β<90°，得α+β=45°，故∠PCQ=45°.

解法3(坐標(biāo)法)建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，聯(lián)結(jié)AC,作QE⊥AC,垂足為點(diǎn)E.設(shè)P(a,0),Q(0,b),由已知得C(1,1),B(1,0),D(0,1),直線AC:y=x，由點(diǎn)到直線的距離公式得

由勾股定理得

PQ=2-(a+b)，

所以

即

ab+2=2(a+b)，

亦即

從而

于是Rt△CBP∽R(shí)t△CEQ.可知∠BCP=∠ECQ,故∠PCQ=∠ACB=45°.

2 試題的一般性結(jié)論

注意到題目的已知條件：△APQ的周長(zhǎng)恰好是正方形邊長(zhǎng)的2倍，從而可得一般性的結(jié)論.

結(jié)論1在正方形ABCD中，若點(diǎn)P,Q分別在邊AB,AD上，△APQ的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的2倍，則∠PCQ=45°.

用上面的方法易證明結(jié)論成立，此處略.

筆者嘗試用上述解法來(lái)考查結(jié)論的逆命題，發(fā)現(xiàn)也是一個(gè)真命題，于是便有如下的結(jié)論.

結(jié)論2在正方形ABCD中，若點(diǎn)P,Q分別在邊AB,AD上，若∠PCQ=45°，則△APQ的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的2倍.

3 試題的拓展研究

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過(guò)充分的探討與研究，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.”他打比方說(shuō)：“在你找到第一個(gè)蘑菇(或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn))后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的.”我們從面積的視角出發(fā)研究試題的一般性結(jié)論，可得如下的幾個(gè)結(jié)論.

結(jié)論3在正方形ABCD中，若點(diǎn)P,Q分別在邊AB,AD上，△APQ的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的2倍，則點(diǎn)C到線段PQ的距離CH等于正方形的邊長(zhǎng).

圖4

2m2-m(a+b).

由已知條件知

PQ=2m-(a+b)，

又由結(jié)論1知，∠PCQ=45°，于是

從而

由三角形面積公式得

即

PQ·CH=mPQ，

故CH=m.

由結(jié)論1和結(jié)論3易得如下2個(gè)結(jié)論.

結(jié)論4在正方形ABCD中，若點(diǎn)P,Q分別在邊AB,AD上，△APQ的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的2倍，則SABCD∶S△CPQ=2AB∶PQ.

結(jié)論5在正方形ABCD中，若點(diǎn)P,Q分別在邊AB,AD上，△APQ的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的2倍，則S△CPB+S△CDQ=S△CPQ.

如果聯(lián)結(jié)正方形的對(duì)角線BD，BD截△CPQ的2邊分出了一個(gè)小三角形，那么這個(gè)小三角形的面積與原△CPQ的面積有怎樣的關(guān)系呢？經(jīng)過(guò)嘗試研究得如下的結(jié)論.

結(jié)論6在正方形ABCD中，從頂點(diǎn)C引2條射線分別交AB,AD于點(diǎn)P,Q，若∠PCQ=45°，對(duì)角線BD交CP于點(diǎn)E，交CQ于點(diǎn)F，則S△CPQ=2S△CEF.

圖5

證明如圖5，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為m，BP=a，DQ=b，則

AP=m-a,AQ=m-b.

因?yàn)椤螾CQ=45°，所以由結(jié)論2知

AQ+AP+PQ=2m，

得

PQ=a+b.

由勾股定理得

(a+b)2=(m-a)2+(m-b)2，

化簡(jiǎn)得ab+ma+mb=m2.

(1)

又BD為正方形ABCD的對(duì)角線，由角平分線的性質(zhì)得

即

從而

得

同理可得

因此

將式(1)代入約分得

即

S△CPQ=2S△CEF.

圖6

結(jié)論7如圖6，在正方形ABCD中，若點(diǎn)P，Q分別在邊AB，AD上，∠PCQ=45°，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作邊CD,BC的垂線，垂足為E,F,線段PE和QF相交于點(diǎn)H，則SAPHQ=2SFHEC.

證明設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為m，BP=a，DQ=b，由結(jié)論6的證明可知

ab=m2-ma-mb,

從而SAPHQ=AP·AQ=(m-a)(m-b)=

m2-am-bm+ab=2ab,

又SFHEC=BP·DQ=ab，于是SAPHQ=2SFHEC.

4 結(jié)束語(yǔ)

正如數(shù)學(xué)家希爾伯特所說(shuō)：“好問(wèn)題就像一只會(huì)下金蛋的雞.”筆者從一道樸實(shí)無(wú)華的課本習(xí)題出發(fā)進(jìn)行研究，挖掘試題的本質(zhì)特征“△APQ的周長(zhǎng)是正方形邊長(zhǎng)的2倍”，從而延伸拓展得到了一些優(yōu)美的新結(jié)論.在教學(xué)中經(jīng)?！把蓄}”，有助于促進(jìn)教師專業(yè)知識(shí)的發(fā)展，提高課堂教學(xué)的有效性.