錢 虹，金蔚霄，駱建波，周金明

(1.上海電力學(xué)院 自動化工程學(xué)院，上海 200090；2.上海市電站自動化技術(shù)重點實驗室，上海 200072)

研究核電站反應(yīng)性擾動下核功率的動態(tài)特性以及非線性關(guān)系是核電站棒位控制優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)，將這種關(guān)系以控制所需的數(shù)學(xué)模型的形式表達則是設(shè)計數(shù)字優(yōu)化控制算法(如預(yù)測控制算法)的關(guān)鍵。目前，對反應(yīng)堆的控制研究多側(cè)重于優(yōu)化控制算法本身，而用于控制的核功率動態(tài)特性模型僅有一些初步的研究，如文獻[1-2]僅限于點堆的微觀表達。對于不同容量不同堆芯設(shè)計的壓水堆機組，以及同一機組的不同功率水平，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生改變時，機理模型的修改成本較高[3-4]。已知運動機理時，采用辨識進行參數(shù)估計不失為一種有效的建模方法[5]。目前，遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和粒子群算法的智能算法在模型參數(shù)辨識方面得到了一定的研究[6-7]，基于自回歸遍歷(autoregressive exogenous，ARX)模型的最小二乘法是動態(tài)系統(tǒng)辨識中較經(jīng)典的方法[8-12]，在過程控制的動態(tài)領(lǐng)域得到了大量應(yīng)用，如文獻[13-15]中分別用該方法進行辨識建模，并得到了較精確實用的模型。

本研究旨在通過點堆機理建模，在核電高功率(大于75%FP)下不同功率水平進行小區(qū)域線性化，在區(qū)域內(nèi)使用基于ARX模型的最小二乘辨識方法用于核功率動態(tài)特性模型的參數(shù)估計，建立不同功率水平下的動態(tài)特性模型組，用于核電站核功率快速準(zhǔn)確跟蹤負(fù)荷變化時的控制棒棒位和控制策略的研究[16]。

1 反應(yīng)性擾動下核功率動態(tài)特性離散模型

1.1 基于動力學(xué)的機理建模

圖1 具有溫度反饋的核反應(yīng)堆系統(tǒng)方框圖

核反應(yīng)堆在高功率運行時，需考慮核反應(yīng)堆內(nèi)部燃料溫度與慢化劑的溫度變化引起的反應(yīng)性反饋。核反應(yīng)堆的功率變化時，燃料溫度產(chǎn)生變化，引起瞬發(fā)的反應(yīng)性效應(yīng)，同時，慢化劑的溫度也隨功率變化而變化，由于慢化劑熱容量較大，會產(chǎn)生有較大時間延遲的反應(yīng)性效應(yīng)[4]。核反應(yīng)堆溫度反饋原理如圖1所示。圖中，KRGR(s)為基于點堆動力學(xué)的零功率核功率動態(tài)特性的傳遞函數(shù)；F1(s)與F2(s)分別為燃料與慢化劑溫度反饋傳遞函數(shù)；αF和αM分別為反應(yīng)性燃料溫度系數(shù)和反應(yīng)性慢化劑溫度系數(shù)；Δρex(s)為外部引入的反應(yīng)性變化；ΔρF1(s)與ΔρF2(s)分別為燃料和慢化劑溫度變化引起的反應(yīng)性變化；ΔρF(s)為總的溫度變化引起的反應(yīng)性變化；Δρ(s)為Δρex(s)和ΔρF(s)的差值；ΔP(s)為核反應(yīng)堆的功率變化。

具有溫度反饋的反應(yīng)堆系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(1)

(2)

式中：n0為t=0時刻的中子密度；Λ為平均中子代時間，Λ=l/keff，l為中子壽命，keff為核反應(yīng)堆有效增殖因子；λ為等效單組緩發(fā)中子先驅(qū)核的衰變常量，s-1；β為緩發(fā)中子份額。

F(s)為總的溫度反饋傳遞函數(shù)，有：

αFF1(s)+

(3)

將式(2)和式(3)代入式(1)便可得到具有溫度反饋核功率動態(tài)特性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(4)

式中，A=ωF+ωM+λ；B=ωFωM+λωF+λωM；C=λωFωM；D=ωF+ωM+β/Λ；E=an0αF+ωFωM+(ωF+ωM)β/Λ；F=[ωFωMβ+an0(αFωM+bαM+λαF)]/Λ；G=an0(αFωM+bαM)/Λ為模型的結(jié)構(gòu)特性參數(shù)。

1.2 核功率動態(tài)特性離散ARX模型

由n階差分方程：

y(k)+a1y(k-1)+…+any(k-n)=

b0u(k)+…+bnu(k-n)+e(k)

(5)

可將描述的系統(tǒng)寫為：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+e(k)

(6)

其中：A(z-1)=1+a1z-1+…+anz-n；B(z-1)=b0+b1z-1+…+bnz-n。式(6)稱為ARX模型。

將具有溫度反饋核功率動態(tài)特性的傳遞函數(shù)離散化可得到如下差分方程[17]：

(1+a1z-1+a2z-2+a3z-3+a4z-4)y(k)=

(b0+b1z-1+b2z-2+b3z-3)u(k)

(7)

令：

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+a3z-3+a4z-4，

B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+b3z-3。

則式(7)可寫為：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)

(8)

考慮到系統(tǒng)受噪聲的影響，式(8)中可加入隨機干擾ε(k)，得到：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+ε(k)

(9)

式(9)即為具有溫度反饋核功率動態(tài)特性對應(yīng)的ARX模型。

2 小區(qū)域線性化動態(tài)ARX模型參數(shù)估計

對非線性系統(tǒng)來說，穩(wěn)態(tài)增益是系統(tǒng)非線性特性的一個關(guān)鍵因素。當(dāng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益在整個工作區(qū)間變化不大時，可用一個近似線性化模型來代替非線性系統(tǒng)進行控制[2]。對于核反應(yīng)堆，不同功率水平的n0不同，該系統(tǒng)的非線性問題可通過小區(qū)域劃分功率段，建立各功率段模型加以解決，本文根據(jù)不同功率水平分100%FP～95%FP、95%FP～90%FP、90%FP～85%FP、85%FP～80%FP、80%FP～75%FP 5個工作區(qū)域(FP為滿功率)。

式(9)中的y(k)和u(k)是由輸出與輸入量不同時刻的測量值組成的離散時間序列的單元，ε(k)為不可測量的隨機干擾序列的單元。方程階數(shù)已知，只需通過帶有噪聲的輸出和輸入觀測數(shù)據(jù)估計模型的未知參數(shù){a1,a2,a3,a4,b0,b1,b2,b3}。

將待估計的模型參數(shù)和k時刻之前的na次采樣數(shù)據(jù)記為向量Θ與xT(k)，Θ=[a1,a2,a3,a4,b0,b1,b2,b3]T，xT(k)=[-y(k-1),…,-y(k-na),u(k),…,u(k-nb+1)]，其中，na、nb為ARX模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)，具有溫度反饋核功率動態(tài)特性ARX模型中，na=4、nb=3。

則具有核反應(yīng)堆核功率動態(tài)特性差分方程可寫為：

y(k)=xT(k)Θ+ε(k)

(10)

其中，ε(k)為觀測噪聲和模型不準(zhǔn)等形成的誤差。將k=na+1,na+2,…,na+N共N步采樣數(shù)據(jù)代入式(10)，組成N個方程，并用矩陣形式表示為：

YN=XNΘ+εN

(11)

(YN-XNΘ)T(YN-XNΘ)

(12)

(13)

(14)

3 基于ARX模型的核功率動態(tài)特性辨識及仿真

3.1 核電站辨識數(shù)據(jù)的仿真實驗過程

本文模型辨識實驗數(shù)據(jù)基于壓水堆核電站仿真機，該核電站仿真機是以M310為參考堆芯的1 000 MW福清核電機組，對堆芯中子、反應(yīng)堆冷卻劑系統(tǒng)以及核電站主系統(tǒng)均采用物理模型模擬系統(tǒng)全部的功能，其運行功能與現(xiàn)場具有近1∶1的逼真度，在此基礎(chǔ)模型上對穩(wěn)態(tài)功率運行以不同速度升降功率和反應(yīng)堆跟蹤外負(fù)荷的正常工況提供逼真的仿真。通過仿真機實驗分別得到初始負(fù)荷為100%FP、95%FP、90%FP、85%FP、80%FP時的5組單位階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)用于模型未知參數(shù)辨識，另外，通過實驗取得97%FP、93%FP、87%FP、83%FP、77%FP時的5組單位階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)用于模型驗證。實驗時，在10 s時加入單位階躍輸入(1 pcm)，采樣時間為1 s，時長為300 s，將各功率下輸出的各自的10組數(shù)據(jù)進行對應(yīng)點求平均，如100%負(fù)荷時得到的10組數(shù)據(jù)分別為y1、y2、…、y10，其中，yi為300×1的列向量。則用于Matlab辨識仿真的數(shù)據(jù)為：

(15)

3.2 模型參數(shù)辨識結(jié)果

得到系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)后，用Matlab系統(tǒng)辨識工具箱對系統(tǒng)進行辨識，其中，th=arx(z,n)命令可一次完成最小二乘法的模型辨識。再根據(jù)非線性模型局部線性化原理可得到辨識的模型組為：

對應(yīng)傳遞函數(shù)的參數(shù)列于表1。

表1 傳遞函數(shù)模型結(jié)構(gòu)特性參數(shù)

對應(yīng)傳遞函數(shù)模型如下：

3.3 核功率動態(tài)特性模型仿真及分析

用最小二乘法結(jié)合ARX模型對反應(yīng)性單位階躍輸入與核功率變化量單位階躍響應(yīng)輸出數(shù)據(jù)進行曲線擬合，得到了圖2所示的擬合曲線，圖2還給出了曲線擬合的最終預(yù)測誤差與模型的適應(yīng)度，用于初步判斷模型的準(zhǔn)確性。用最終預(yù)測誤差與模型適應(yīng)度對所建模型進行評價說明，通過圖2可看到，模型擬合最終預(yù)測誤差(FPE)為1.301 6×10-6～2.062×10-5，模型適應(yīng)度(fit)為92.76%～96.42%，結(jié)合曲線直觀擬合效果，初步說明了模型較準(zhǔn)確。

圖2 小區(qū)域模型辨識擬合曲線

在Matlab/Simulink中搭建仿真系統(tǒng)，對各功率段模型進行驗證。通過向帶溫度反饋的核反應(yīng)堆系統(tǒng)加入外加反應(yīng)性的階躍信號，得到輸出功率變化量數(shù)據(jù)ym。記核電仿真機仿真輸出數(shù)據(jù)為y，則可設(shè)定模型驗證評價指標(biāo)e：

(16)

其中，n為所取數(shù)據(jù)點的個數(shù)。e越小，所建模型越精確。

分別取97%FP、93%FP、87%FP、83%FP、77%FP的外加反應(yīng)性單位階躍響應(yīng)輸入與核功率變化量單位階躍響應(yīng)輸出作為模型驗證數(shù)據(jù)，通過Matlab仿真可得到圖3所示的曲線。

通過以上模型驗證輸出的對比可看出，模型輸出曲線與仿真機實驗得出的數(shù)據(jù)曲線幾乎重合，以式(16)所述評價指標(biāo)進行計算，得出的誤差均較小，小于0.01，滿足建模要求。多組不同功率水平的仿真結(jié)果的辨識模型與實驗曲線擬合的結(jié)果表明，機理和辨識結(jié)合建模的方法構(gòu)建的反應(yīng)性擾動下核功率動態(tài)特性數(shù)學(xué)模型是可用的。

圖3 模型驗證輸出曲線

4 結(jié)語

本研究結(jié)合核功率動態(tài)特性機理建模與基于最小二乘法的ARX模型參數(shù)辨識，通過核電仿真機與Matlab辨識仿真實驗，得到了一組不同高功率段運行時具有溫度反饋核功率動態(tài)特性傳遞函數(shù)模型，并通過Matlab/Simulink進行了所得模型在不同功率段內(nèi)的驗證，驗證了該模型的精確性以及該辨識方法的可用性。所建立的模型能根據(jù)控制的需求更細(xì)致地劃分線性化區(qū)域，為核電站實現(xiàn)快速負(fù)荷跟蹤的先進核功率優(yōu)化控制策略提供研究的工程模型基礎(chǔ)。

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