梁愈高， 田克純

(桂林電子科技大學研究生院 桂林 541004)

基于ARMA 模型的接收機鐘差短期預測

梁愈高， 田克純

(桂林電子科技大學研究生院 桂林 541004)

接收機鐘差預測在輔助信號的快速捕獲、輔助定位解算和接收機自主完好性監(jiān)測等領域具有實際的應用意義。詳細介紹ARMA模型建模的一般方法，對實測的鐘差數(shù)據(jù)進行ARMA模型的建模和預測，算例結果表明：建立的ARMA模型具有較好的短期預測效果。

ARMA模型； 接收機鐘差； 鐘差預測

引 言

接收機鐘差是接收機時鐘與導航系統(tǒng)時鐘兩者之間的偏差，通過求解定位定時方程組可以解算出接收機的三維坐標和接收機鐘差。當接收機的時鐘頻率保持穩(wěn)定時，可以根據(jù)歷史鐘差數(shù)據(jù)建立模型并預測后續(xù)一段時間的鐘差數(shù)據(jù)。接收機鐘差預測能夠縮小碼相位的不確定范圍，減小信號搜索范圍，有效輔助信號的快速捕獲[1]，另外，接收機鐘差預測在惡劣環(huán)境下輔助接收機定位解算[2]與接收機自主完好性監(jiān)測[3]等領域也有廣泛應用。因此，對接收機鐘差進行建模與預測具有實際應用意義。

常用的接收機鐘差模型有二次多項式模型和灰色模型[4]。二次多項式模型預報的鐘差誤差隨著時間推移有明顯的累積效應，因而適用于短期的鐘差預報?；疑Ｐ褪褂幂^少的鐘差數(shù)據(jù)建模，提高了建模速度，且灰色模型的短期預報精度與二次多項式模型基本相當，具有一定的優(yōu)越性。但是，這兩種常用模型主要是對鐘差的趨勢項進行建模，而沒有考慮鐘差的隨機項。由于鐘差數(shù)據(jù)經(jīng)過差分處理后可以得到平穩(wěn)的時間序列，因此本文利用時間序列分析理論對鐘差數(shù)據(jù)進行分析，在介紹ARMA建模的一般方法的基礎上，通過實測的接收機鐘差數(shù)據(jù)進行建模和預測。對實驗結果的分析表明，本文建立的ARMA模型在短期預測中具有比較理想的預測精度。

1 ARMA模型原理

ARMA(Autoregression and Moving Average)系列模型是研究時間序列的有效手段[5]。ARMA系列模型主要包括自回歸AR(Autoregression)模型、滑動平均MA(Moving Average)模型以及自回歸滑動平均ARMA模型。

ARMA(p，q)模型[6]的一般表達式為：

根據(jù)時間序列分析理論，用ARMA模型建模的時間序列要求為平穩(wěn)時間序列，而原始的接收機鐘差序列往往呈現(xiàn)一定的趨勢或者周期特征[7]，不能直接用ARMA模型建模，因此要通過對原始鐘差序列進行差分運算消除趨勢性和周期性，使其變成平穩(wěn)的時間序列，然后再進行ARMA模型建模。

2 ARMA模型的建立

2.1 模型的識別與定階

模型的識別主要是根據(jù)時間序列樣本的自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)的特征來判斷時間序列是AR(p)模型、MA(q)模型或者ARMA(p，q)模型。設y1，y2，…，yN是來自平穩(wěn)時間序列{yt}的一個樣本，ˉy為樣本均值，則樣本的自協(xié)方差為：

對應的樣本自相關函數(shù)為：

樣本的偏相關函數(shù)計算公式為：

將樣本的自相關函數(shù)代入式(4)，依次取s＝1，2，…，分別解出φ11，φ22，…，φss，即可得到偏相關函數(shù)的估計量。理論上平穩(wěn)AR、MA和ARMA模型的自相關和偏相關函數(shù)特征如表1所示。

表1 平穩(wěn)時間序列自相關和偏相關函數(shù)特征

模型的定階[8]過程是通過考察平穩(wěn)時間序列樣本自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)的性質(zhì)選擇合適的模型擬合觀測值序列，估計自相關階數(shù)p和滑動平均階數(shù)q，而要獲得比較準確的ARMA模型階數(shù)通常使用BIC準則：

其中，k＝p+q為模型的階數(shù)，σ2為殘差方差，N為采用的序列長度。選擇不同的p和q，對原始數(shù)據(jù)進行擬合并計算相應的BIC值，使得BIC(k)取最小值的k0即是最佳的模型階數(shù)。

2.2 模型的參數(shù)估計

經(jīng)過初步識別時間序列可能適應的模型類型后，接著對模型的參數(shù)φ1，φ2，…，φp和θ1，θ2，…，θq進行估計。本文采用矩估計法，即用樣本的估計量代 替γs、ρs，從γs或者ρs與模型參數(shù)的關系中解出模型參數(shù)的估計值。ARMA(p，q)模型參數(shù)矩估計[9]計算步驟如下：

①估計自回歸系數(shù)φ1，φ2，…，φp

②對模型做變換，令y′t＝y(tǒng)t-(φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p)，則

這里，φi、φj可由第①步計算得到。

③由第②步模型的變換有y′t＝εt-θ1εt-1-…-θqεt-q，則γ′k＝σ2(-θk+θ1θk+1+…+θq-kθq)， k＝0，1，…

將第②步得到的γ′代入上式，即可得到關于θ1，θ2，…，θq的非線性方程組，解非線性方程組估計出θ1，θ2，…，θq。

2.3 模型的檢驗

當建立的模型為ARMA(p，q)時，利用估計出的模型參數(shù)可以計算出模型的殘差序列，遞推關系如下：

取εt＝0和yt＝0(t＜0)即可得到模型殘差的樣本序列ε1，ε2，…εN。

根據(jù)Box和Pierce(1970)提出的殘差序列白噪聲檢驗的統(tǒng)計量：

其中，ρs(ε)為殘差序列的自相關函數(shù)。當ε1，ε2，…εN來自白噪聲序列時，Qm漸進服從自由度為(m-pq)的χ2分布。

檢驗的零假設是殘差序列不存在自相關，即：H0：ρ1(ε)＝ρ2(ε)＝…＝ρm(ε)＝0。

3 算例與分析

算例選取IGS提供的BJFS測站從2014年3月4日至2014年3月8日五天的接收機鐘差數(shù)據(jù)進行建模和預測，其中取2014年3月4日的數(shù)據(jù)用于建模，然后用模型預測未來四天的鐘差變化，并將模型的預測值和實際的測量值對比分析。2014年3月4日的鐘差數(shù)據(jù)如圖1所示，具有一定的趨勢和周期特征，不滿足ARMA模型建模對時間序列的平穩(wěn)性要求[10]。本文通過差分運算把原始的接收機鐘差數(shù)據(jù)變成平穩(wěn)的時間序列，如圖2所示。經(jīng)過差分運算后原始數(shù)據(jù)的趨勢和周期性得到了很好的消除，根據(jù)式(3)和式(4)計算差分后序列的自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)如圖3、圖4所示。

圖1 接收機鐘差原始數(shù)據(jù)

圖2 接收機鐘差的一階差分

圖3 自相關圖

圖4 偏相關圖

由自相關圖和偏相關圖可以看出，延遲16階仍然具有較強的相關性，可以判定為自相關和偏相關表現(xiàn)拖尾的性質(zhì)。初步判斷模型的階數(shù)后，通過BIC準則最終確定模型為ARMA(2，2)。最后利用建立的模型預測2014年3月5日至3月8日四天的鐘差變化，并將預測值和原始數(shù)據(jù)值之間的差值列于表2中，對應的預測值和原始數(shù)據(jù)值之間的差值分布如圖5所示。

表2 預測值與原始數(shù)據(jù)的差值統(tǒng)計

圖5 ARMA模型預測值與原始數(shù)據(jù)差值分布

通過算例分析和模型預測值與原始數(shù)據(jù)差值統(tǒng)計表及差值分布圖可以得出：

①采用ARMA模型分析接收機鐘差數(shù)據(jù)，首先要判斷原始鐘差數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，如果原始鐘差數(shù)據(jù)不是平穩(wěn)序列，則需要預先對原始鐘差數(shù)據(jù)作平穩(wěn)化處理才能進行ARMA模型建模。

②由差值統(tǒng)計表可以看出，連續(xù)四天的預測值與原始數(shù)據(jù)差值的均值都在6ns以內(nèi)，說明建立的ARMA模型預測精度可以滿足要求。

③隨著預測天數(shù)的增加，預測值與原始數(shù)據(jù)偏差的均值逐漸增大，預測值的精度逐漸變差。因此，預測值的精度在短期預測中相對較高。

④表2中，隨著預測天數(shù)的增加，最大值和最小值整體偏移，均值逐漸增大而標準差保持不變，是由于ARMA模型預測誤差具有一定的累積效應，預測值有一定的偏離趨勢。若要進行更長天數(shù)的預測還應當對ARMA模型作改進。

4 與相關模型比較

為了評估本文建立的ARMA模型預測效果，采用相同的數(shù)據(jù)建立二次多項式模型和灰色模型，并將這三種模型的預測效果進行比較。2014年3月5日至3月8日連續(xù)四天預測值與原始數(shù)據(jù)的差值統(tǒng)計示于表3，差值分布如圖6所示。由差值統(tǒng)計表和分布圖可以得出以下結論：

①ARMA模型預測差值整體平穩(wěn)，而灰色模型和二次多項式模型預測差值波動比較大。相比另外兩種模型，ARMA模型預測值擬合原始數(shù)據(jù)值的精度較高。

②圖6中，三種模型在200個歷元以內(nèi)的預測誤差基本相同。但是，隨著時間的延長，灰色模型和二次多項式模型的預測誤差均呈現(xiàn)出不同程度的累積效應。在實際應用中，使用ARMA模型可以獲得更高的預測精度。

③二次多項式模型的預測誤差具有明顯的累積效應，隨著預測時長的增加，預測誤差越來越大，甚至有可能超過鐘差本身的量級，說明二次多項式模型只適合于很短時間的預測。

表3 連續(xù)四天預測值與原始數(shù)據(jù)的差值統(tǒng)計

圖6 三種模型預測差值分布

5 結束語

本文在介紹ARMA模型原理的基礎上，詳細說明了ARMA模型的識別和定階、參數(shù)估計以及模型的檢驗，并用實測的接收機鐘差數(shù)據(jù)進行建模，然后進行短期預測，分析表明建立的ARMA模型預測精度基本滿足要求，在短期預測中具有較好的預測效果。本文還將ARMA模型與常用的兩種預測模型進行了比較，進一步說明了ARMA模型在接收機鐘差預測中的優(yōu)越性。

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Short-term Receiver Clock Bias Prediction Based on ARMA M odel

Liang Yugao， Tian Kechun

The receiver clock bias prediction has the particularly practical application value on the fast acquisition，positioning calculation of auxiliary signal and the receiver autonomous integrity monitoring.The method of ARMA modeling is described in detail，and the ARMA model is used for clock bias prediction with the actual clock biasmeasurement data.The results show that the ARMA model is valid for the short-term receiver clock bias prediction.

ARMA model； Receiver clock bias； Clock bias prediction

P228.4

A

CN11-1780(2014)05-0042-05

梁愈高 1988年生，碩士，研究方向為衛(wèi)星導航定位定時技術。

2014-06-17 收修改稿日期：2014-07-07

田克純 1950年生，教授，碩士生導師，研究方向為無線電通信技術。