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(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 陜西西安 710062)

新課標(biāo)實(shí)施多年以來，數(shù)學(xué)教學(xué)改革取得了不少成果，但有些數(shù)學(xué)課堂的“低效”現(xiàn)象卻仍然沒有得到很好的解決.如何在數(shù)學(xué)課堂上采取切實(shí)可行的措施，改進(jìn)并提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，仍然是一個(gè)十分迫切的教學(xué)研究課題.本文結(jié)合文獻(xiàn)綜述[1]和對(duì)多所學(xué)校開展高效數(shù)學(xué)課堂的觀察與調(diào)查，著重對(duì)在課中和課后如何提高數(shù)學(xué)課堂效率進(jìn)行一些探討.

1 針對(duì)不同學(xué)情和教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建形式多樣的高效數(shù)學(xué)課堂

在建構(gòu)主義教學(xué)思想的指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)課堂便成為在教師主導(dǎo)下學(xué)生積極主動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)與認(rèn)識(shí)的主要活動(dòng)場(chǎng)所.教師通過數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的制定、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的選擇、教學(xué)活動(dòng)的組織以及教學(xué)過程的控制等，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行基于自身認(rèn)知與思維方式的主動(dòng)學(xué)習(xí).而高效的數(shù)學(xué)課堂是上述理念實(shí)現(xiàn)的基本保障.為了實(shí)現(xiàn)高效課堂，形式多樣的數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建是關(guān)鍵.而教師根據(jù)學(xué)情、學(xué)習(xí)內(nèi)容等特點(diǎn)，可以有針對(duì)性地采用形式多樣的教學(xué)方法和策略.

(1)針對(duì)探究性內(nèi)容，可以采用“學(xué)生探索，師生討論”的方法.

探究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生思維的創(chuàng)造力.對(duì)于探究性問題，可以采用學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行．例如，在北師大版必修5第3章第1.2節(jié)“不等關(guān)系與不等式”中，首先讓學(xué)生復(fù)習(xí)以前學(xué)過的且比較熟悉的簡(jiǎn)單的不等式性質(zhì)：

①若a>b,b>c,則a>c;

②若a>b,則a+c>b+c;

③若a>b>0,則a2>b2;

再在原有不等式的基礎(chǔ)上讓學(xué)生思考，將條件稍作改動(dòng)，可以得到什么結(jié)果.經(jīng)過思考，學(xué)生可能會(huì)有如下的探究性結(jié)果：

①若a>b>0,c>d>0,則ac>bd;

②若a>b>0,則an>bn(n∈N+);

在課堂上，教師可以請(qǐng)若干名學(xué)生上講臺(tái)演示自己探究的結(jié)果.對(duì)于不同學(xué)生各自不同的理解，教師可以讓學(xué)生互相討論，以期獲得共識(shí)．在這種課堂模式里，教師扮演的是引導(dǎo)者的角色.討論中，教師要把握好進(jìn)度，對(duì)學(xué)生思考、介紹以及討論的時(shí)間予以控制，并對(duì)難點(diǎn)加以分解，對(duì)重點(diǎn)予以強(qiáng)調(diào)，從而提高教學(xué)的效度．

(2)針對(duì)技巧—技能—方法型知識(shí)，采用“教師適度引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)歸納”的方法.

這一教學(xué)方法主要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)方法的掌握，要求學(xué)生在理解基本知識(shí)以后，能熟練地使用相應(yīng)的基本方法．例如，在“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”一節(jié)中，教師可以嘗試計(jì)算出一列簡(jiǎn)單的等差數(shù)列前100項(xiàng)之和：S100=1+2+3+…+98+99+100，從而引出高斯算法：

S100=1+2+3+…+98+99+100，

S100=100+99+98+…+3+2+1，

這2個(gè)等式上、下對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和均為101，2個(gè)等式相加，得

2S100=101+101+101+…+101

即

據(jù)此提問學(xué)生，你能推斷出求一般等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法嗎？讓學(xué)生自己思考．教師在學(xué)生提出的幾種方法中進(jìn)行必要的點(diǎn)評(píng)和抉擇，還可以進(jìn)一步提煉出方法的有效性、普遍性和局限性等.例如“倒序相加法”，作為高斯算法的一種一般化，其普遍性的方法論價(jià)值就得以體現(xiàn)：

設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，即

Sn=a1+a2+a3+…+an,

根據(jù)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，上式可以寫成

Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d],

再把項(xiàng)的次序反過來，Sn又可以寫成

Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d],

將以上2個(gè)式子相加，可得：

可以讓學(xué)生自己總結(jié)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算方法和“倒序相加法”的特點(diǎn)，并把方法的特點(diǎn)總結(jié)出來，這樣，學(xué)生對(duì)“倒序相加法”的本質(zhì)會(huì)有更好地認(rèn)識(shí)．

(3)針對(duì)習(xí)題課內(nèi)容，采用“學(xué)生做練，教師總結(jié)”的方法.

習(xí)題課是數(shù)學(xué)課中不可缺少的一種課堂類型.通過處理習(xí)題，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有更深層次的理解，更加熟練地掌握對(duì)應(yīng)的計(jì)算方法，對(duì)相應(yīng)的思維模式也更熟練．

例如，在習(xí)題課上有這樣一道題目：

學(xué)生通常會(huì)選擇使用正弦定理和余弦定理進(jìn)行解決，并最終得到等腰直角三角形的結(jié)論.習(xí)題做完后，教師可以進(jìn)行解題方法的分析：采用正弦定理，從邊到角，運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單；而采用余弦定理，從角到邊，運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜.但殊途同歸，要根據(jù)題型進(jìn)行綜合判斷，選擇最佳解題方案.

2 合理使用信息技術(shù)，擴(kuò)大數(shù)學(xué)教學(xué)的覆蓋面

信息技術(shù)與多媒體在數(shù)學(xué)課堂上使用得當(dāng)，會(huì)為課堂效率加分不少，在使用的過程中要注意合理使用，避免偏差，使多媒體的使用達(dá)到最佳狀態(tài)[2].通過擴(kuò)大數(shù)學(xué)教學(xué)的覆蓋面，進(jìn)而提高教學(xué)效率.

(1)針對(duì)適合的內(nèi)容應(yīng)用多媒體課件，增大課堂容量與授課的效率.

在數(shù)學(xué)課堂上，一些內(nèi)容若輔之以多媒體演示，則會(huì)收到事半功倍的效果，既加大了課堂容量，又能讓學(xué)生易于理解．例如，在研究“二次函數(shù)圖像的性質(zhì)”一節(jié)，如果采用幾何畫板來研究，就能快速實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)：

①畫出y=x2和y=2x2的圖像，再作出y=ax2的圖像，其中a是變量，通過a值的變化，觀察a>0和a<0分別對(duì)圖像有什么影響？

如果順利實(shí)現(xiàn)第一步，還可以進(jìn)入較深入的討論：

②畫出y=2x2與y=2(x+1)2的圖像，再作出y=a(x+h)2的圖像，其中a,h是參數(shù)，觀察a,h對(duì)圖像的影響．

這樣可以用較少的時(shí)間討論更多的內(nèi)容，比在黑板或小黑板上展示的效果要好.不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以讓學(xué)生更直觀地觀察參數(shù)的變化對(duì)圖像變化的影響．

(2)發(fā)揮多媒體課件的直觀與動(dòng)態(tài)效果，增強(qiáng)學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)意識(shí).

多媒體課件具有直觀性和動(dòng)態(tài)性等特點(diǎn)，充分發(fā)揮其特點(diǎn)可以優(yōu)化教學(xué)過程，進(jìn)而提高課堂效果．在“任意角”的教學(xué)中，對(duì)于“終邊相同的角”這一概念，教師有時(shí)用傳統(tǒng)方法在黑板上面演示很多遍，但是還有不少學(xué)生感覺難以理解.如果制作一個(gè)課件，使始邊的運(yùn)動(dòng)和方向同步進(jìn)行，通過顏色、動(dòng)畫正確地展示概念產(chǎn)生的過程，可降低學(xué)生接受的難度．

對(duì)《幾何畫板》這樣的數(shù)學(xué)軟件的合理使用還可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題的探究意識(shí)，提高解決問題的效率.例如在北師大版教材必修5第3章第4.2節(jié)“簡(jiǎn)單線性規(guī)劃”中，有這樣一道題：

解由題設(shè)可知，滿足每個(gè)不等式的解集都可以用一個(gè)平面區(qū)域來表示，而滿足不等式組的解集是這些平面區(qū)域的公共區(qū)域(交集)(如圖1).

圖1

(3)熟悉使用多款軟件，發(fā)揮多媒體課件的延伸功能.

隨著學(xué)生思維水平的不斷提高，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不能僅僅停留在突出直觀和形象化的層次上，而要深化至數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程、運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系等層面，使課件發(fā)揮出黑板、粉筆等傳統(tǒng)教具起不到的作用，這樣才能真正做到課件的高度有效.針對(duì)不同的教學(xué)任務(wù)、對(duì)象、難度和環(huán)境，采用不同形式和功能的軟件，是構(gòu)建課堂教學(xué)的必要形式.像《幾何畫板》作為一款數(shù)學(xué)軟件，在探索圖形關(guān)系、構(gòu)造關(guān)系、測(cè)量與計(jì)算等方面都具有很好的使用價(jià)值.在《Z+Z超級(jí)畫板》中，除了《幾何畫板》的基本功能之外，還具有智能推理等功能.“SPSS”軟件則具有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理和分析功能.對(duì)這些數(shù)學(xué)軟件的合理使用，會(huì)相應(yīng)地提高數(shù)學(xué)教學(xué)的放大效應(yīng)，延伸傳統(tǒng)教學(xué)的范圍和界限，進(jìn)而對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率有很好的作用.

3 運(yùn)用并發(fā)展元認(rèn)知策略，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率

元認(rèn)知，簡(jiǎn)單地說就是對(duì)于認(rèn)知的認(rèn)知.元認(rèn)知是建立在認(rèn)知基礎(chǔ)之上的一種較為高級(jí)的認(rèn)知活動(dòng).包括個(gè)體關(guān)于自己認(rèn)知過程的追問、回溯和調(diào)節(jié)等過程，以及對(duì)思維和學(xué)習(xí)活動(dòng)的回顧、反思與控制.自我意識(shí)和自我認(rèn)知的調(diào)節(jié)水平是元認(rèn)知能力高低的2個(gè)重要指標(biāo).在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂之后，學(xué)生、教師以及師生之間必要的元認(rèn)識(shí)活動(dòng)是十分必要的.其中數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和歸納是一個(gè)最活躍的教學(xué)因子.

(1)在教學(xué)過程中采用多種方式，促進(jìn)學(xué)生元認(rèn)知思維的發(fā)展策略.

在課堂上，小組探究和合作學(xué)習(xí)是課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式之一，教師要在教學(xué)中適時(shí)采取這些學(xué)習(xí)方式.在課堂上采用小組探究和合作學(xué)習(xí)等形式，既增加學(xué)生之間的交流，也能促進(jìn)學(xué)生的元認(rèn)知發(fā)展.例如，在學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)初步形成的基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論或合作探究來解決有一定難度的問題．此時(shí)，運(yùn)用提出猜想、情境設(shè)置等手段，激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)和探究愿望，對(duì)問題各抒己見、充分展示基思維過程，并對(duì)其他同學(xué)的想法發(fā)表見解，讓學(xué)生在合作討論中互相協(xié)作，發(fā)展學(xué)生的獨(dú)立評(píng)判能力和協(xié)作精神．

在課后，教師要鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成解題后回顧與反思的習(xí)慣，逐步提高問題解決的元認(rèn)知意識(shí).著名數(shù)學(xué)家波利亞在“怎樣解題表”中，特別提出了把回顧作為解題的一個(gè)必要階段，就說明回顧對(duì)解題具有重要的價(jià)值.波利亞還具體給出了“你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否一下子看出它來？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問題？”等操作性建議[3].在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，很多學(xué)生在解決完數(shù)學(xué)題目后，就以為萬(wàn)事大吉了.其實(shí)解題后的回顧與反思是十分必要的.教師要逐步培養(yǎng)學(xué)生在完成題目后的回顧與反思習(xí)慣.長(zhǎng)此以往，學(xué)生的元認(rèn)知能力和解題效率都會(huì)得到提高.

(2)教師要提高自身的元認(rèn)知水平，進(jìn)而促進(jìn)師生主體間性的元認(rèn)知活動(dòng).

數(shù)學(xué)教學(xué)既不是上課鈴聲響起才開始，也不是隨著下課鈴聲就結(jié)束的.要做一個(gè)真正的教學(xué)有心人，就要在課前和課后，針對(duì)課程內(nèi)容、教學(xué)方法、多媒體制作等各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行反思.在反思中才能有所收獲，有所成長(zhǎng)，教師的反思活動(dòng)可以促進(jìn)教師專業(yè)化的發(fā)展.教師的元認(rèn)知水平對(duì)于師生主體間性的元認(rèn)知活動(dòng)的開展具有重要價(jià)值.所謂主體間性，就是一種建立在主體之間的互動(dòng)關(guān)系.充分激發(fā)師生主體間性的元認(rèn)知意識(shí)，是營(yíng)造高效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)氛圍的一個(gè)重要步驟.良好的教學(xué)氛圍是數(shù)學(xué)高效課堂的關(guān)鍵，是讓學(xué)生能全身心投入到學(xué)習(xí)過程的保證．作為教學(xué)的雙主體，適宜的師生主體間性能夠使師生雙方處于智力和情感的最佳狀態(tài)，進(jìn)而創(chuàng)造出促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)交流的最佳效果.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，主要就是師生之間的交流與互動(dòng)，也包括生生之間的交互作用.其中，除了認(rèn)知方式的互動(dòng)之外，情感上的交流也是必不可少的.利用情感教育構(gòu)建良好的高效課堂是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的基礎(chǔ)．

(3)重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉和概括，提高學(xué)生的元認(rèn)知解題水平.

數(shù)學(xué)思想方法是一種數(shù)學(xué)的元知識(shí).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，善于運(yùn)用并總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，常?？梢云鸬绞掳牍Ρ兜淖饔?數(shù)學(xué)教學(xué)中善于提煉數(shù)學(xué)思想方法是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率的一個(gè)有效途徑.

例2求數(shù)列{2n-1·(2n-1)}的前n項(xiàng)和Sn.

分析觀察可知數(shù)列cn=2n-1·(2n-1)是一個(gè)等比數(shù)列an=2n-1和一個(gè)等差數(shù)列bn=2n-1的乘積.怎么計(jì)算這樣一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)的和呢？之前學(xué)生學(xué)過了等差、等比數(shù)列的求和公式，能不能把這個(gè)數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化到學(xué)過的知識(shí)和方法上去.

解試著把Sn寫出來：

Sn=1·1+ 2·3+22·5+23·7+…+

2n-2·(2n-3)+2n-1·(2n-1),

式子2邊同時(shí)乘以2

2Sn=2·1+22·3+23·5+…+

2n-2·(2n-5)+2n-1·(2n-3)+

2n·(2n-1),

2個(gè)式子相減，可得

-Sn=1+2·2+ 22·2+23·2+…+2n-2·2+

2n-1·2-2n·(2n-1),

整理得

-Sn= 1+22+23+24+…+2n-2n·(2n-1)=

2n(3-2n)-3,

因此

Sn=3+(2n-3)2n.

只有把新課改理念真正融入到實(shí)際教學(xué)過程中，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，從課堂內(nèi)、外2個(gè)方面重視每一個(gè)環(huán)節(jié)以及上下環(huán)節(jié)的聯(lián)系，通過全程化的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，才能切實(shí)提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 王光明，胡慶玲.提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率的教學(xué)措施[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2005(10):1-5.

[2] 蔣國(guó)平.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中多媒體設(shè)計(jì)存在的偏差及分析[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2004(5):6-8.

[3] 波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇,譯.北京：科學(xué)出版社，1982.