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(沂南教育局 山東沂南 276399)

“未來(lái)的文盲不是不能閱讀的人，而是沒(méi)有學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的人”.未來(lái)的競(jìng)爭(zhēng)不僅僅是知識(shí)量的競(jìng)爭(zhēng)，更是學(xué)習(xí)能力的競(jìng)爭(zhēng).怎樣才能讓學(xué)生掌握“會(huì)學(xué)習(xí)”的本領(lǐng)從而具有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力呢？實(shí)施問(wèn)題解決策略是有效途徑之一.

1 對(duì)問(wèn)題解決的再認(rèn)識(shí)

“問(wèn)題解決”是1990年4月美國(guó)數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)(NCTM)在“關(guān)于行動(dòng)的議程”報(bào)告中提出來(lái)的，該報(bào)告對(duì)問(wèn)題解決的意義作了3點(diǎn)說(shuō)明：第一，問(wèn)題解決包括將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，為現(xiàn)時(shí)和將來(lái)出現(xiàn)的科學(xué)理論與實(shí)際服務(wù)，拓廣數(shù)學(xué)科學(xué)本身前沿的問(wèn)題；第二，問(wèn)題解決從本質(zhì)上說(shuō)是一種創(chuàng)造性的活動(dòng)；第三，問(wèn)題解決能力的發(fā)展，其基礎(chǔ)是虛心、好奇和探索的態(tài)度，是進(jìn)行試驗(yàn)和猜測(cè)的意向;等等.

許多數(shù)學(xué)教育學(xué)家對(duì)問(wèn)題解決的含義進(jìn)行了探討，比較一致的認(rèn)識(shí)主要有：

(1)問(wèn)題解決是心理活動(dòng).問(wèn)題解決指的是人們?cè)谌粘Ｉ詈蜕鐣?huì)實(shí)踐中，面臨新情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾卻沒(méi)有現(xiàn)成對(duì)策時(shí)，所引起的尋求處理問(wèn)題辦法的一種心理活動(dòng).

(2)問(wèn)題解決是一個(gè)過(guò)程.問(wèn)題解決是把前面學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到新的情境中的過(guò)程.

(3)問(wèn)題解決是一種教學(xué)形式.應(yīng)將“問(wèn)題解決”的活動(dòng)形式看作教和學(xué)的形式，不應(yīng)將其看成課程所附加的東西.

(4)問(wèn)題解決是目的.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問(wèn)題解決.

(5)問(wèn)題解決是一種數(shù)學(xué)能力.在1982年考克羅夫特(Cockeroft)報(bào)告中提出：“那種把數(shù)學(xué)用之各種情況的能力，叫做問(wèn)題解決.”

我國(guó)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2011年版》)提出3條課程“總目標(biāo)”后，又從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度這4個(gè)方面作出了具體的闡述，其中針對(duì)“問(wèn)題解決”，是這樣強(qiáng)調(diào)的：

(1)初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；

(2)獲得分析和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)；

(3)學(xué)會(huì)與他人合作交流；

(4)初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí).

綜上所述，問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，是一種能力，是一個(gè)發(fā)現(xiàn)、探索的過(guò)程.學(xué)生借此過(guò)程可以真正認(rèn)識(shí)、感悟和理解數(shù)學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)的一個(gè)重要手段.

2 作為“問(wèn)題解決”的數(shù)學(xué)題的特征

培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力都離不開(kāi)解題，數(shù)學(xué)能力是伴隨解題過(guò)程逐步形成和發(fā)展起來(lái)的.實(shí)施問(wèn)題解決教學(xué)的“問(wèn)題”不同于一般的數(shù)學(xué)題.羅增儒教授認(rèn)為，這樣的數(shù)學(xué)題具有如下特征：

(1)接受性：學(xué)生有解決它的知識(shí)和能力基礎(chǔ)，題目有激發(fā)解題心向的因素(比如趣味性和魅力)；

(2)障礙性：“對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征”，學(xué)生不能直接看出它的解法和答案，需要經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)思考，綜合地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法才能解決；

(3)探究性：“沒(méi)有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法”，學(xué)生不能簡(jiǎn)單地模仿現(xiàn)成的公式或沿用常規(guī)的解題套路，需要進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等探究活動(dòng)才能解決；

(4)情境性：往往不是簡(jiǎn)單的“已知—求解”模式，而常常是給出一種實(shí)際情境，通過(guò)數(shù)學(xué)化的手段，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，其中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題要學(xué)生自己去提出、求解并作出解釋；

(5)開(kāi)放性：條件可以多余，答案不必唯一(也可以沒(méi)有終極的答案)，解決方法多樣，各種水平的學(xué)生都有機(jī)會(huì)由淺入深地作出一定程度的回答，當(dāng)然不一定都能給出最終的解答.

具體針對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)題來(lái)說(shuō)，它不一定同時(shí)具備這些特征，但只要能具備其中的2個(gè)以上，就是一個(gè)很好的問(wèn)題.

這是2014年山東省青島市數(shù)學(xué)中考試題.本題文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，為敘述方便，我們用下面幾個(gè)部分給出：

2.1 原題呈現(xiàn)

探究問(wèn)題為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究.

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)2等分，……；

……

圖1

根據(jù)第n次分割圖可得等式：

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)3等分，……；

……

圖2

根據(jù)第n次分割圖可得等式

2邊同除以2，得

(仿照上述方法，在圖3中畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫(xiě)出探究過(guò)程.)

圖3 圖4

(在圖4中畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空.)

2.2 特點(diǎn)分析

(2)障礙性：針對(duì)要求的問(wèn)題，部分學(xué)生無(wú)從下手.一時(shí)難以直接看出它的解法和答案，需要仔細(xì)閱讀前2個(gè)探究活動(dòng)的解答過(guò)程，利用類似的方法經(jīng)過(guò)一定的數(shù)學(xué)思考，借助圖形的直觀性才能得以解決.

(4)情境性：最后就是通過(guò)一系列的探究活動(dòng)，在圖4中畫(huà)出第n次分割圖，并且根據(jù)第n次分割圖，得到等式

從而得到模型通解

(5)開(kāi)放性：可能有部分學(xué)生不能給出全部的解答，但就探究3來(lái)說(shuō)，各種水平的學(xué)生都能仿照探究1和探究2作出回答.

基于以上分析，本題對(duì)于考查學(xué)生問(wèn)題解決能力具有重要的教學(xué)價(jià)值.

2.3 分析與解答

本題分為“數(shù)學(xué)問(wèn)題—探究問(wèn)題—解決問(wèn)題—拓廣應(yīng)用”這4個(gè)部分，題目敘述篇幅較長(zhǎng)，需要學(xué)生有很強(qiáng)的閱讀理解能力.

并且在它2邊同除以2，得

這2個(gè)探究活動(dòng)是第二部分的關(guān)鍵，相當(dāng)于教科書(shū)中的“例題”，目的是讓學(xué)生掌握探究一類計(jì)算問(wèn)題的通用方法，學(xué)會(huì)根據(jù)面積的大小分割圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，積累探究經(jīng)驗(yàn).

2邊同除以3，得

從而

這是一個(gè)關(guān)于這類問(wèn)題的模型通解.

然后在上面的模型通解中令m=5即可.

2.4 試題點(diǎn)評(píng)

本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、觀察分析能力以及書(shū)面表達(dá)能力，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力非常有益.從思想方法角度看，主要用到了數(shù)形結(jié)合的思想，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它在處理一些問(wèn)題時(shí)，具有“柳暗花明又一村”的功效.這樣的考題體現(xiàn)了《課標(biāo)2011年版》的課程理念，應(yīng)成為教師培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、發(fā)現(xiàn)能力、探究等綜合數(shù)學(xué)能力的首選例題.

3 培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力的主要方法

3.1 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

愛(ài)因斯坦有句至理名言：“興趣是最好的老師.”如果一個(gè)學(xué)生連學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣都沒(méi)有，那么培養(yǎng)他的問(wèn)題解決能力是不可能的.《課標(biāo)2011年版》非常注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，指出“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.”學(xué)生原本對(duì)客觀世界就有濃厚的好奇心，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該努力把學(xué)生的這種好奇心引導(dǎo)到探索事物的數(shù)量關(guān)系和空間位置關(guān)系上來(lái)，有了這種探索精神，就很容易自覺(jué)地去創(chuàng)新一些方法，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的目的.

3.2 強(qiáng)化“四基”教學(xué)

“四基”是指《課標(biāo)2011年版》界定的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).強(qiáng)調(diào)“四基”有兩重含義：首先，中學(xué)教育是基礎(chǔ)教育，許多知識(shí)將在學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)中得到應(yīng)用，有為學(xué)生進(jìn)一步深造打基礎(chǔ)的任務(wù)，因而不能要求所學(xué)的知識(shí)立即在實(shí)際中都能得到應(yīng)用.其次，要解決任何一個(gè)問(wèn)題，必須具有相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并且會(huì)利用一些基本的數(shù)學(xué)思想，能借鑒基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).事實(shí)上，學(xué)生問(wèn)題解決能力和學(xué)習(xí)能力是伴隨著他對(duì)“四基”的掌握程度而逐漸提高的.因此，必須強(qiáng)化“四基”的教學(xué)，為此，教師應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程、運(yùn)算法則及定律的歸納過(guò)程、數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、解(證)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)思路的分析過(guò)程等充分地“暴露”給學(xué)生.

例2無(wú)理數(shù)的建立過(guò)程.

無(wú)理數(shù)對(duì)初學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容.在引入這個(gè)概念前，教師應(yīng)設(shè)法讓學(xué)生感受到無(wú)理數(shù)是確實(shí)存在的數(shù).我們以計(jì)算邊長(zhǎng)為突破口用下面的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去思考：

(1)作一個(gè)腰長(zhǎng)是1的等腰直角△ABC，利用勾股定理，你能計(jì)算出斜邊AB的長(zhǎng)嗎？

這樣引入無(wú)理數(shù)概念，學(xué)生自然經(jīng)歷了如下的過(guò)程：面對(duì)問(wèn)題→感受新數(shù)(體現(xiàn)出擴(kuò)充數(shù)系的必要性)→探究新數(shù)特點(diǎn)(體現(xiàn)出擴(kuò)充數(shù)系的合理性)→作出定義→數(shù)學(xué)能力得到進(jìn)一步發(fā)展.學(xué)生經(jīng)歷了上述探索過(guò)程，不僅能理解、掌握無(wú)理數(shù)的意義，而且還能借助學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)所獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，科學(xué)地探究其他相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這一點(diǎn)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力是非常必要的.我們的教學(xué)如果能盡量把教學(xué)內(nèi)容以“問(wèn)題”的形式展示給學(xué)生，引導(dǎo)他們對(duì)所給的問(wèn)題進(jìn)行觀察、分析、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證，那么學(xué)生的問(wèn)題解決能力必將得到“空前”的發(fā)展.

3.3 創(chuàng)造情境引導(dǎo)學(xué)生去探索、猜想、發(fā)現(xiàn)

學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程本身就是一個(gè)問(wèn)題解決的過(guò)程.對(duì)于一些規(guī)律性的內(nèi)容，在不違背數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律、知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，合理地設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞問(wèn)題進(jìn)行觀察、分析、綜合、推理、判斷等思維活動(dòng)，在活動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)、歸納得到有關(guān)的規(guī)律、法則等.

案例3判定一次函數(shù)關(guān)系的過(guò)程.

我們知道，世界各國(guó)溫度之間的計(jì)量單位尚不統(tǒng)一，常用的有攝氏溫度(℃)和華氏溫度(℉).它們之間的關(guān)系如表1所示：

表1 攝氏溫度和華氏溫度之間的關(guān)系

(1)觀察表1，如果把表中的攝氏溫度與華氏溫度都看作變量，那么它們之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)嗎？你是如何探索得到的？

圖5

(2)你能利用第(1)小題中的圖像，寫(xiě)出y與x的函數(shù)表達(dá)式嗎？

(3)你能通過(guò)分析表1中2個(gè)變量間的數(shù)量關(guān)系，判定它們之間是一次函數(shù)關(guān)系嗎？

(4)你能求出華氏溫度為0度(即0℉)時(shí)，攝氏溫度是多少度嗎？

(5)華氏溫度的值與對(duì)應(yīng)的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？你會(huì)用哪幾種方法解決這個(gè)問(wèn)題？與同學(xué)交流.

設(shè)計(jì)意圖探究和確定某個(gè)函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)是比較難的問(wèn)題，也是很有價(jià)值的問(wèn)題.我們以華氏溫度與攝氏溫度為素材，直接給出了它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系表，并提出了一系列的問(wèn)題.首先引導(dǎo)學(xué)生用待定系數(shù)法根據(jù)函數(shù)圖像上的點(diǎn)確定一次函數(shù)表達(dá)式.并且能根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)以表中每一對(duì)(x，y)(用x表示攝氏溫度，y表示華氏溫度)的值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出表中相應(yīng)的點(diǎn)，畫(huà)出圖5所示的圖像，根據(jù)直線上2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)確定出一次函數(shù)表達(dá)式.然后引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)算2個(gè)變量對(duì)應(yīng)數(shù)值之差的比入手，判定一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)(具體過(guò)程略).

由于問(wèn)題解決中所指的問(wèn)題比較新穎，似乎無(wú)規(guī)律可循，使得學(xué)生沒(méi)有現(xiàn)成的對(duì)策，因而需要進(jìn)行創(chuàng)造性地思考、探究、猜測(cè)等活動(dòng).只要學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，掌握一些探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和方法，就不難解決.長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的問(wèn)題解決能力將不斷得到提高，并且逐漸形成和提高自己學(xué)習(xí)的能力.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 李樹(shù)臣.淺論國(guó)際中學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的主方向[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2001(9)：3-5.

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[4] 李樹(shù)臣.展現(xiàn)過(guò)程是加強(qiáng)“四基”數(shù)學(xué)的根本途徑[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012(12)：7-11.

[5] 李樹(shù)臣.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)關(guān)注的四個(gè)核心問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013(2)：8-11.

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